浙教版九年級(jí)下冊(cè)第一章解直角三角形單元測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章解直角三角形單元測(cè)試卷一、選擇題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分）

1.在正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置，則等于()A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查利用網(wǎng)格求銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義式是解題的關(guān)系．先確定直角三角形，再根據(jù)余弦的定義式求解即可．【詳解】解：在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)直角三角形，如圖所示：觀察圖形可得：，，∴∴，故選：D．2.直升飛機(jī)在離地面2000米的上空測(cè)得上海東方明珠底部的俯角為，此時(shí)直升飛機(jī)與上海東方明珠底部之間的距離是()A.2000米 B.20003米 C.4000米 D.40003米【答案】C【解析】【分析】由題意可知，在直角三角形中，已知角的對(duì)邊求斜邊，可以用正弦函數(shù)來計(jì)算．【詳解】根據(jù)題意得：直升飛機(jī)與上海東方明珠底部之間的距離是==4000米．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．3.已知為銳角，且，那么的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵sin=，sin2+cos2=1，∴cos2=，又∵為銳角，∴cos>0，∴cos=.故選D.4.在中，，，，且，則的度數(shù)為()A.53.48° B.53.13° C.53.13' D.53.48'【答案】B【解析】【詳解】解：由銳角三角函數(shù)的定義可知：tanA=，∴∠A≈53.13°．故選B．5.在中，，，，則cosA等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出c的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出∠A的余弦值即可．【詳解】∵在△ABC中，∠C=90°，,，∴c=，cosA=．故選：D．考點(diǎn):銳角三角函數(shù)的定義．6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則∠A的度數(shù)是（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求得結(jié)果．【詳解】∵，，∴∠A=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7.已知為銳角，下列結(jié)論：①；②如果，那么；③如果，那么；④，正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義、互余角的三角函數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性、特殊角的三角函數(shù)值及絕對(duì)值的定義求解．【詳解】①如果α=30°，那么sinα=，cosα=，sinα+cosα=≠1，錯(cuò)誤；②∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°α），∴sinα＞cosα，正確；③∵cos60°=，銳角余弦函數(shù)隨角增大而減小，∴如果cosα＞，則α＜60°，正確；④∵sinα≤1，∴sinα1≤0，∴=|sinα1|=1sinα，正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、互余角的三角函數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性、特殊角的三角函數(shù)值及絕對(duì)值的定義，綜合性較強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，須認(rèn)真仔細(xì)．8.下列式子正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先把余弦函數(shù)化為正弦函數(shù)得到cos36°=sin54°，而根據(jù)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。詓in55°＞sin54°，于是得到sin55°＞cos36°．【詳解】∵cos36°=cos（90°54°）=sin54°，而sin55°＞sin54°，∴sin55°＞cos36°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：銳角三角函數(shù)值都是正值，當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。部疾榱嘶ビ喙剑?.一段斜坡公路的坡度為，這段公路長(zhǎng)為，則從坡底到坡頂這段公路升高()A.75m B.50m C.752m D.502m【答案】B【解析】【分析】利用坡度設(shè)出垂直高度與水平寬度，利用勾股定理可求得垂直距離．詳解】設(shè)公路升高了x米，則水平前進(jìn)了22x米，根據(jù)勾股定理可得x2+（22x）2=1502，解得x=50．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平寬度，綜合利用了勾股定理．10.如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD與地面成30°角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為2米，則電線桿的高度為（）A.9米 B.28米 C.米 D.（14+2）米【答案】D【解析】【分析】延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于E點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可；【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于E點(diǎn)．DE=8sin30°=4（米）；CE=8cos30°=4（米）；∵測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為2米．∴EF=2DE=8（米），∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4（米），∴電線桿AB的長(zhǎng)度是（28+4）=14+2米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分）11.在中，，當(dāng)已知和時(shí)，求，則________．【答案】【解析】【分析】作出圖形，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊解答．【詳解】如圖，∵已知∠A和a，求c，∴sinA=，∴c=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，作出圖形更形象直觀．12.在中，，，，則的長(zhǎng)為________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)正切的定義得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：在ΔABC中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理，掌握銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關(guān)鍵．13.如圖，漁船在處看到燈塔在北偏東方向上，漁船向正東方向航行了海里到達(dá)處，在處看到燈塔在正北方向上，這時(shí)漁船與燈塔的距離是________．【答案】海里【解析】【分析】此題易得∠BAC＝30°，在Rt△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)求得漁船與燈塔C的距離BC．【詳解】解：由已知得：∠BAC＝90°?60°＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB?tan30°＝12×＝4（海里）．故答案為4海里．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是先得∠BAC＝30°，再解直角三角形ABC即可．14.如圖，為了使電線桿穩(wěn)固的垂直于地面，兩側(cè)常用拉緊的鋼絲繩索固定，由于鋼絲繩的交點(diǎn)在電線桿的上三分之一處，所以知道的高度就可以知道電線桿的高度了．要想得到的高度，需要測(cè)量出一些數(shù)據(jù)，然后通過計(jì)算得出．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出要測(cè)量的對(duì)象：________；請(qǐng)你寫出計(jì)算高度的思路：________．【答案】①.和線段②.見解析．【解析】【分析】根據(jù)解直角三角形方法即可得到結(jié)論．【詳解】要測(cè)量的對(duì)象：∠BCE和線段BC；①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC?tan∠BCE，②由AE=AB，可求BE=AB，求得AB=BE=BC?tan∠BCE．故答案為∠BCE和線段BC，①在中，由，求出，②由，可求，求得．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則等于________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，OA=3，OB=4．根據(jù)勾股定理得AB=5．運(yùn)用三角函數(shù)的定義求解．【詳解】∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），∴OA=3，OB=4，根據(jù)勾股定理得AB=5，∴cos∠OAB=．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，余弦等于鄰邊比斜邊．16.已知一斜坡的坡度，坡角為，那么________．【答案】【解析】【分析】坡度即為坡角的正切值．【詳解】有坡度角定義可得：tanα=i=．故答案為【點(diǎn)睛】此題考查的是坡度和坡角的關(guān)系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．17.若，為銳角，則的值是________．【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系sin2α+cos2α=1進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)換來求解．【詳解】∵sinA+cosA=，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，即1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)是考查．18.小芳為了測(cè)量旗桿高度，在距棋桿底部米處測(cè)得頂端的仰角是，小芳的身高不計(jì)，則旗桿高_(dá)_______米．【答案】【解析】【分析】利用所給角的正切函數(shù)即可求得旗桿高．【詳解】根據(jù)題意可得：旗桿高為6×tan60°=63（米）．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．19.如圖，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹的高度，在距離樹的底端米的處，測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫椋瑒t樹的高度為________米（用三角函數(shù)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO為α，利用三角函數(shù)求解．【詳解】在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO為α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故答案為30tanα．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．20.在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地出發(fā)，要到地的北偏東方向的處，他先沿正東方向走到地，再沿北偏東方向走，恰能到達(dá)目的地，已知，兩地相距，由此可知，，兩地相距________．【答案】【解析】【分析】先求出∠BAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C，從而得到∠BAC=∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=AB，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖：∵B在A的正東方，C在A地的北偏東

60°方向，∴∠BAC=90°60°=30°，∵C在B地的北偏東30°方向，∴∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°∠BAC∠ABC=180°30°120°=30°，∴∠BAC=∠ACB，∴∠CBD=60°，∵BC=AB=150km，∴CD=BC=75，∴AC=150km，故答案為150．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，方向角的定義，根據(jù)角的度數(shù)求出∠BAC=∠C是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．三、解答題（本題共計(jì)6小題，每題10分，共計(jì)60分）21.計(jì)算：．【答案】2．【解析】【詳解】試題分析：原式==2．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算．22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝求cosA，sinB，tanB的值．【答案】cosA==，sinB=cosA=，tanB==．【解析】【分析】根據(jù)sinA==設(shè)AB=13x，BC=12x，根據(jù)勾股定理求出AC=5x，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【詳解】∵，∴設(shè)，，由勾股定理得：，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．23.如圖，一海倫位于燈塔的西南方向，距離燈塔海里的處，它沿正東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，求航程AB的值（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】海里【解析】【詳解】試題分析：過P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與PC長(zhǎng)，在直角三角形BCP中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CB的長(zhǎng)，由AC+CB求出AB的長(zhǎng)即可．試題解析：過P作PC⊥AB于點(diǎn)C，在Rt△ACP中,PA=海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cos∠APC=，∴AC=AP?sin45°=×=40(海里),PC=AP?cos45°=×=40(海里)，在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=，∴BC=PC?tan60°=(海里)，則AB=AC+BC=(40+)海里．24.一艘輪船自西向東航行，在處測(cè)得北偏東方向有一座小島，繼續(xù)向東航行海里到達(dá)處，測(cè)得小島此時(shí)在輪船的北偏東方向上，而小島方圓海里的范圍內(nèi)有暗礁，輪船繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)呢？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】輪船繼續(xù)向東航行無觸礁的危險(xiǎn)，理由見解析.【解析】【分析】首先過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得：AB=22海里，∠CAB=21.3°，∠CBD=63.5°，然后在Rt△CBD中，tan∠CBD=，可得BD=CD，又由在Rt△ACD中，tan∠CAB=，可得，繼而求得CD的長(zhǎng)，則可知輪船繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)．【詳解】輪船繼續(xù)向東航行無觸礁的危險(xiǎn)．理由：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，在中，，即，∴，在中，，即，解得：，∴輪