重難點07 函數(shù)類綜合問題-2022年中考數(shù)學重難熱點突破精講精練（解析版）

重難點07函數(shù)類綜合問題

【命題趨勢】

首先告訴各位同學二次函數(shù)是中考必考內容之一，往往也是中考數(shù)學的壓軸大戲.涉及題目數(shù)量一般

3-4題，其中有1-2道大題.所占分值大約25分左右.二次函數(shù)在中考數(shù)學中常常作為壓軸題，而在壓軸題

中，一般都設計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大.二次函數(shù)在考查時，

往往會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形相結合，綜合性很強，技巧性也很強，同時計算量

一般很大，加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低.其實我們只要能熟練掌握二次

函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習，多多

總結.

【滿分技巧】

1.通過思維導圖整體把握二次函數(shù)所有考點

I）圖象與性質：（函數(shù)的三種表達式、開口問題、頂點坐標、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；

2）與一元二次方程（不等式）結合（交點坐標與方程的根的關系）；

3）與實際生活結合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問題）

2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向

1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）等）。

2）最值問題（線段、周長、面積）

3.熟練掌握各種常見有關二次函數(shù)的題型和應對策略

1）線段最值（周長）問題——斜化直策略

2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略

3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題

4）線段差——三角形三邊關系或函數(shù)

5）相似三角形存在性問題——根據(jù)相等角分類討論

6）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法

【限時檢測】

A卷（建議用時：90分鐘）

1.（2022?廣東越秀?九年級模擬）已知點P（幻，yi）,尸2（及，”）為拋物線y=-+4ax（中0）上兩點,

且》<X2,則下列說法正確的是（）

A.若XI+X2<4,則yi<)2B.若XI+X2>4,則yi<”

C.若a（X1+X2-4）>0,則yi>"D.若a（X1+JC2-4）<0,則

【答案】C

【分析】先求出拋物線的對稱軸為x=2,然后結合二次函數(shù)的開口方向，判斷二次函數(shù)的增減性，即可得

到答案.

【詳解】解：:拋物線y=-以2+4火+好.,?拋物線的對稱軸為：1=一2=2,

當點Pi（xi,yi）,P2（必y2）恰好關于x=2對稱時，有幺今■”=2,

.?.玉+電=4,即百+W-4=0,Vxi<%2,/.xt<2<x2；

?.,拋物線的開口方向沒有確定，則需要對〃進行討論，故排除A、B；

當a>0時，拋物線y=-a/+4ar+c的開口向卜，此時距離x=2越遠，y值越??；

*.,a（X1+X2-4）>0,.??丹+工2-4>0,.,?點尸2（及，刀）距離直線％=2較遠，.二y>%；

當代0時，拋物線y=-〃2+4依+。的開口向上，此時距離％=2越遠，y值越大；

a（XI+X2-4）>0,/.+x2-4<0,；?點尸i（xi,yi）距離直線x=2較遠,

?,?%>%;故C符合題意；D不符合題意；故選：C

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的對稱性，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質進行分析.

2.（2021?廣西?南寧市天桃實驗學校三模）如圖，在平面直角坐標系中，若折線y=-|x-2|+l與直線交

y=kx+2k（女>0）有且僅有一個交點，則k的取值范圍是（）

A.0cze1或B.無>1或幺=!C.0<女<2或左=1D.&>2或《=!

4444

【答案】B

【分析】先求出折線的最高點的坐標，然后直線經過最高點時;此時恰好有一個交點，然后分析直線與折

線x<2的那部分圖像的交點問題即可得到答案.

【詳解】解：?.?直線的解析式為y=kt+2k,.?.直線丫=丘+左經過點（-2,0）,

?.?折線的解析式為y=-|x-2|+l,.?.折線的最高點坐標為（2,1）

...當直線恰好經過（2,1）時，此時只有一個交點，；.1=2后+2左，解得#=；,

當&=1時，直線y=h+2A與折線在x<2的那部分圖像平行，此時沒有交點，

...當&〉1時直線y=Ax+2左與折線在X<2的那部分圖像有一個交點，.?.綜上所述4〉2或《=!，故選D.

4

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像的性質，解題的關鍵在于能夠利用數(shù)形結合的思想進行求解.

3.（2021?四川樂山市?中考真題）如圖，直線4與反比例函數(shù)y=3（x>0）的圖象相交于4、3兩點，線段

x

AB的中點為點C,過點C作x軸的垂線,垂足為點。.直線4過原點。和點C.若直線12上存在點尸（加,〃），

滿足/4尸8=/4。8，則相+〃的值為（）

3

A.3-75B.3或5C.3+6或3-逐D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得A（l,3）,3（3,1）,直線4y根據(jù)一次函數(shù)性質，得加="；根據(jù)勾股定理，

得PC=12（九一2）2；連接R4，PB，F(xiàn)8,根據(jù)等腰三角形三線合一性質，得C（2,2）,OCA.AB-.

根據(jù)勾股定理逆定理，得NA8￡>=90°；結合圓的性質，得力:A、B、D、P共圓，直線乙和交于點凡

萬

點尸為圓心：根據(jù)圓周角、圓心角、等腰三角形的性質，得FC=注；分尸C=PR+FC或PC=PE—EC

2

兩種情況，根據(jù)圓周角、二次根式的性質計算，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，得A（|,3）,8（3,|）,即A（l,3）,8（3,1）

?.?直線4過原點。和點C直線，2：y=XP（m，〃）在直線I］上.??機=〃PC=52（%2）2

連接94，PB,FB:.PA=PB，線段A3的中點為點C，C（2,2）,OC±AB

過點C作x軸的垂線，垂足為點。AD（2,0）

,AD=J（2-Ip+（（）—3）2=M，AB=J（l_3j+（3-=2近，BD=,J（3-2）2+l=0

二點A、B、D、P共圓，直線&和A8交于點F,點F為圓心COSNADB=/=￡

ADM

VAC=BC.FB=FA=-AD：.ZBFC=-ZAFB

22

■:ZAPB=ZADB，且NAPB=-ZAFB：.ZAPB=ZADB=NBFC

—2

FCFC-Jlr-

..cosZAPB=cosZBFC=百=而=旃.?./。=等PC=PF+FC或PC=PF-FC

2一

當PC=PE-尸。時，NAP3和NADB位于直線A3兩側，即NAPB+NADB=180°

...PC=P尸一尸C不符合題意尸。=尸尸+尸。=巫+也，旦“<2

22

,PC=,2（刀-2）2=0（2-機），^2（2-m）-

二加+〃=2/〃=3一百故選：A.

【點睛】本題考查圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識；解

題的關鍵是熟練掌握圓心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質，從而完成求解.

4.（2021?山東棗莊市?中考真題）二次函數(shù)丫="2+加+4。*0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為苫二萬,且

經過點（2,0）.下列說法：?abc<0-,?-2b+c=0；?4a+2b+c<0-,④若（一；,/），（g,%）是拋

物線上的兩點，則》|<>2；⑤;b+c>根（。根+8）+c（其中加工；）.正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線開口向下、與y軸的交點位于>軸正半軸a<o,c>o,再根據(jù)對稱軸可得。=-。>0,

由此可判斷結論①；將點（2,0）代入二次函數(shù)的解析式可判斷結論②③；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得其增減

性，由此可判斷結論④；利用二次函數(shù)的性質可求出其最大值，由此即可得判斷結論⑤.

【詳解】解：?.?拋物線的開口向下，與y軸的交點位于y軸正半軸，...a<o,c>o.

bi

?.,拋物線的對稱軸為x=----=:.b=-a>0,:.abc<0,則結論①正確；

2a2

將點（2,0）代入二次函數(shù)的解析式得：4a+2b+c=0,則結論③錯誤；

將a=-b代入得：-28+c=0,則結論②正確；

?.?拋物線的對稱軸為x=L,.?.彳=3和*=-t時的函數(shù)值相等，即都為必，

222

135

又?.?當xz—時，y隨x的增大而減小，且一<一,.?.,>%,則結論④錯誤；

222

由函數(shù)圖象可知，當x時，了取得最大值，最大值為工a+'b+c=—+++

242424

11,1

.:.—b+c>am'+bm+c,即一〃+c>/〃（a/n+b）+c,結論⑤正確：

244

綜上，正確的結論有①②⑤，共3個，故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵.

5.（2020?四川自貢市?中考真題）如圖，直線y=與>軸交于點A，與雙曲線丁=公在第三象

x

限交于8、C兩點，且ABAC=16；下列等邊三角形VO￡>g,^E,D2E2,AE2D3E3,……的邊。罵，

EJE2E3.....在x軸上，頂點。八。2，心....在該雙曲線第一象限的分支上，貝必=一,前25個

【分析】設8（%,乂）,。（工2，%），設直線與％軸的交點為H,先求解”,A的坐標，得到/HAO=30。，用含小々

的代數(shù)式表示A&AC,聯(lián)立函數(shù)解析式利用根與系數(shù)的關系得到關于知它的方程，從而可得第一空的答

案；過。，2,2，???分別向》軸作垂線，垂足分別為…先根據(jù)等邊三角形的性質與反比例函數(shù)的

性質求解VOA&的邊長，依次同法可得后面等邊三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再前25個等邊三角形的周長

之和即可.

【詳解】解：設5（玉，x）,C（z，>2），設直線與X軸的交點為H,

令y=0,則一JJx+/>=0,.?.x=乂電，令x=0,則y=b,

3

AH（^-,0）.又A（0,b）,OH=-^-,OA^-b,.，.tanZHAO=-,；./HAO=30°,

333

過3作軸于M,過C作CN_Ly軸于N,；.AB=2BM,AC=2CN,VBM--X,,CN=-x2,

y=->/3x+b

聯(lián)立《k得到①；2一"+2=00

.".AB=-2XI,AC=-2X2,/.AB-AC=4^,%2,

y=-

X

???當々=4，由己知可得4%々=16，...％=4若，.??反比例函數(shù)的解析式為y=延

V3%

過。,2,4,…分別向x軸作垂線，垂足分別為心，耳，…設A%

4J34百

由等邊三角形的性質得：O&LEoELxQEon—J/AO&LGOO..fc?！獂_R

x..【anou----------

x

得：X2=4,X=2,X=-2（舍去）經檢驗：工=2符合題意，，。。=4,

可得VQDE的邊長為4,同理設2〃,生色，.?.罵&'=〃—4,4&'=延

473

2

nrrH——4=0,解得：n=24-2V2,n=2—2\/2（舍去）

—=tan60°=73,

〃一4

經檢驗：“=2+20符合題意，?.?44=244'=2（2+2應-4）=4忘-4,

△。2月芻的邊長為4血_4，同理可得：△2當外的邊長為46—40,

AD“E”E”+I的邊長為4j〃+1-46?

前25個等邊三角形的周長之和為3[4+(4A/2-4)+(4百—4上)+…+(4725-4724)]

=4725x3=20x3=60.

故答案為：473,60.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質，考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，等邊三角形的性質的應

用，銳角三角函數(shù)的應用，同時考查與反比例函數(shù)相關的規(guī)律題，掌握以上知識是解題的關鍵.

6.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為3,將AABO繞點A逆

3

時針旋轉到的位置，使點B的對應點4落在直線y=--x±,再將VAB.繞點Bt逆時針旋轉到

4

3/、

△4片。2的位置，使點。I的對應點。2也落在直線y=—jx上，以此進行下去……若點B的坐標為（（）,3）,

則點斗的縱半標為.

【分析】計算出的各邊,根據(jù)旋轉的性質，求出。歷,」當,...,得出規(guī)律，求出再根據(jù)一次

函數(shù)圖像上的點求出點B2I的縱坐標即可.

3

【詳解】解：???A3_Ly軸，點5(0,3),：.OB=3,則點A的縱坐標為3,代入y二一一X,

4

得：3=--x,得：44即A(-4,3),???。8=3,A8=4,OA=732+42=5?

由旋轉可知：OB=O\B1=0281=0282=..,=3fOA=O\A=O2AI=...=5,AB=AB\=AiB\=A2B2=...=4f

：.OBi=OA+ABi=4+5=9,B&=3+4+5=12,二。&尸OB+B歷i=9+(21-1)4-2x12=129,

設(a,-(a),則0比尸Ja2+(_(aj=129,解得：〃=-段或半(舍)，

則-]a=-《x'學)=2|Z,即點的縱坐標為牛，故答案為：手.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，旋轉以及直角三角形的性質，求出△OAB的各邊，計算

出。&1的長度是解題的關鍵.

7.(2021?浙江柯橋?九年級階段練習)如圖，“心”形是由拋物線y=-丁+6和它繞著原點O,順時針旋轉60。

的圖形經過取舍而成的，其中頂點C的對應點為。，點4，B是兩條拋物線的兩個交點，點E,F,G是拋

物線與坐標軸的交點，則AB=.

【答案】68

【分析】連接。。做軸，垂足為M,作軸，垂足為N,AP.8P相交于點P.根據(jù)旋轉作圖

和“心''形的對稱性得到NCOB=30。，N8OG=60。,設得到點8坐標為(/?,也響,把點2代入y=-x2+6,

求出“，即可得到點4、8坐標，根據(jù)勾股定理即可求出48.

【詳解】解：如圖，連接。力，做BPLx軸，垂足為M,作APJ_)，軸，垂足為N,AP,8p相交于點P.

?.?點C繞原點O旋轉60。得到點D,：.ZCOD=60°,

由“心'’形軸對稱性得AB為對稱軸，平分NCOO,/.ZCOB=30°,AZBOG=60°,

設0M=m,在RtAOBM中，BM=OM.tanNBOM=島??.點B坐標為,

,?*點B在拋物線y=-x2+6_t,-m2+6=?n，解得碼==-2>/3,

???點8坐標為（0,3）,點A坐標為（一26,-6）,.MP=3#,BP=9,

在RtAAB尸中，AB=dAP°+BP'=,）河+夕=66.故答案為：66

【點睛】本題考查/拋物線的性質，旋轉、軸對稱、勾股定理、三角函數(shù)等知識，綜合性較強，理解題意，

表示出點B坐標是解題關鍵.

8.（2021?湖南?中考模擬）如圖，函數(shù)>=幺（左為常數(shù)，%>0）的圖象與過原點的O的直線相交于A,B兩點，

X

點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸于C,。兩點，連接

8”分別交x軸，y軸于點E,F.現(xiàn)有以下四個結論：①△ODM與△OC4的面積相等；②若&于點

M,則NMBA=30°；③若M點的橫坐標為1,4OAM為等邊三角形，則&=2+6；④若MF=；MB,

則"。=2MA.其中正確的結論的序號是.

【答案】①③④

【分析】①設點A（m,—M（n,-構建一次函數(shù)求出C,D坐標，利用三角形的面積公式計算即

mn

可判斷.②^OMA不一定是等邊三角形，故結論不一定成立.③設M（l,k）,由AOAM為等邊三角形,

k2

推出OA=OM=AMi可得l+k2=m2+——,推出m=k,根據(jù)OM=AM,構建方程求出k即可判斷.

m

④如圖，作MK〃OD交OA于K.利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

【詳解】①設點A(m,—),M(n,一),則直線AC的解析式為y=------xH-----1?

mnmnnm

(m+n)k

：.C(m+n,0),D(0,---------—),

mn

1(m+ri)k(m+n)k1、k(m+n)k

z〃)

,?S、ODM=—xnx-------------=-------------—xQ"+x—=

2mn2m2m2m

???△ODM與aOCA的面積相等，故①正確;

??,反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關于原點對稱，??.O是AB的中點,

VBM±AM,/.OM=OA,k=mn,.*.A(m,n),M(n,m),fi^/[—y/2(n-tn).OM=yjm24-n2?

JAM不一定等于OM,???NBAM不一定是60。，JNMBA不一定是30。.故②錯誤,

k2

?；M點的橫坐標為1,?,?可以假設M(l,k),???△OAM為等邊三角形，AOA=OM=AM,l+k2=m2+—,

m

k

Vm>0,k>0,/.m=k,VOM=AM,(l-m)2+(k——)2=l+k2,Ak2-4k+l=0,.\k=2±V3，

m

???m>l,??.k=2+Ji，故③正確，如圖，作MK〃OD交OA于K.

FMOK2OK2OK2OK2

VOF/7MK,...----二--，??---二二一，VOA=OB,.?----=—,??

BMKB5OB3OA3KAT

.DMOK

?.?KM〃OD,:.----=二2,.?.DM=2AM,故④正確.故答案為①③④.

AMAK

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識,

解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，學會構造平行線，利用平行線分線段成比例定理解決問題

9.(2021?江蘇徐州市?中考真題)如圖，點A5在函數(shù)y=—/的圖像上.已知A5的橫坐標分別為一2、

4

4,直線A8與軸交于點C，連接OAOB.(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)求A4OB的面積；(3)

若函數(shù)y=的圖像上存在點使得A7%8的面積等于AAOB的面積的一半，則這樣的點p共有

4

____________個.

「

3^-2oX4x

【答案】(1)直線A8的解析式為：y=gx+2；(2)6；(3)4

【分析】(1)將AB的橫坐標分別代入y求出生意人丫的值，得到A,8點坐標，再運用待定系數(shù)

4

法求出直線AB的解析式即可；⑵求出0C的長，根據(jù)“544。8=5."+5兇℃”求解即可；

(3)分點P在宜線AB的上方和下方兩種情況根據(jù)分割法求解即可.

【詳解】解：(1)VA,8是拋物線y=-f上的兩點，

4

11,

.?.當x=—2時，y=—x(-2)92=1；當x=4時，y=—x4'=4

-44

.?.點A的坐標為(-2,1),點B的坐標為(4,4)

[-2k+b=].

設直線A8的解析式為y=fcr+b,把4,8點坐標代入得,解得，＜

4k+b=4

b=2

所以，直線A8的解析式為：y=；x+2：

(2)對于直線48：y=；x+2當x=0時，y=2:.0C=2

x

*eeSMOB=+^SBOC--2x2+—x2x4=6

(3)設點尸的坐標為(x,-x2)

4

；AR43的面積等于AAOB的面積的一半，...ARAB的面積等于‘X6=3,

2

①當點?在直線48的下方時，過點A作ADLx軸，過點P作PFLx軸，過點8作8E_Lx軸，垂足分別為

D,F,E,連接力，PB,如圖，

?'S四邊形ADEB=S四邊形+S四邊形戶莊8+

ADFP\PAB

111,11,

A-X(1+4)X(2+4)=-(X+2)(1+-X2)+-(-X2+4)(4-X)+3

2

整理，得，X-2%-4=0解得，芭=1+石，%=1一6

...在直線AB的下方有兩個點P,使得AR43的面枳等于AAOB的面積的一半；

②當點P在直線AB的上方時，過點4作軸，過點P作軸，過點8作軸，垂足分別為

D,F,E,連接以，PB,如圖,

?'5四邊形PAOF=S四邊形A￡)￡B+S四邊形SEFP+&PAB

11,111,

.,.-(1+-X2)(X+2)=-X(1+4)X(2+4)+-(4+-X2)(X-4)+3

24224

2

整理，得,X-2X-12=0解得，X1=1+713，X2=1-V13

在直線AB的上方有兩個點P,使得小池的面積等于AAO3的面積的一半；

綜上，函數(shù)丁=」/的圖像上存在點p,使得的面積等于AAOB的面積的一半，則這樣的點P共有

4

4個，故答案為：4.

【點睛】此題主要考查了運用待定系數(shù)法示直線解析式，二次函數(shù)與圖形面積，注意在解決(3)問時要注

意分類討論.

10.(2021?遼寧沈陽?中考真題)如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線y=kx+15(k+0)經過點C(3,6),

與X軸交于點A，與〉軸交于點B.線段平行于X軸，交直線y=；x于點Q,連接OC,AD.

(1)填空：k=.點A的坐標是(,)；(2)求證：四邊形OADC是平

行四邊形；(3)動點尸從點O出發(fā)，沿對角線0。以每秒1個單位長度的速度向點。運動，直到點。為止；

動點。同時從點。出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點O運動，直到點O為止.設兩個點

的運動時間均為f秒.①當，=1時，ACPQ的面積是.

②當點P,Q運動至四邊形CA4Q為矩形時，請直接寫出此時f的值.

【答案】(1)-3,5,0；(2)見解析；(3)①12；②5—屈或5+J16.

【分析】(1)代入C點坐標即可得出Z值確定直線的解析式，進而求出A點坐標即可:

(2)求出點坐標，根據(jù)8=Q4,CD//OA,即可證四邊形Q4QC是平行四邊形;

(3)①作設出H點的坐標，根據(jù)勾股定理計算出C”的長度，根據(jù)運動時間求出。。的長

度即可確定ACPQ的面積:

②根據(jù)對角線相等確定PQ的長度，再根據(jù)尸、Q的位置分情況計算出f值即可.

【詳解】解：(1)?.?直線＞=履+15(b0)經過點C(3,6),；.3后+15=6,解得星=一3,

即直線的解析式為y=-3x+15,當y=0時,x=5,，A(5.0),

(2)???線段C。平行于x軸，.?.￡＞點的縱坐標與C點樣,

3

又QD點在直線丫=］》匕當y=6時，%=8,即。(8,6),.-.^=8-3=5,

?.?。4=5,：.OA=CD,又???OA//CD,.?.四邊形。AOC是平行四邊形;

由勾股定理，得CH'+DH'CD?，

3324

即（機-3）2+（二機—6）2+（加-8）2+（二川-6）2=52,整理得根=一或8（舍去），.\CH=3,

445

22

?.?（?D=>/8+6=10'-?當t=］時，PQ=OD-t-t=10-l-i=8,.-.SACPe=|pg-C//=1x8x3=12,

②?.?。￡>=10,當臉中5時，PQ=10-21,當5別10時，PQ=2-10,

當點P,Q運動至四邊形CP4Q為矩形時，PQ=AC,...AC=7（5-3）2+62=2710,

當噴ji5時，10-2r=2jiU，解得f=5-JJU,當5領）10時，2r-10=2V10.解得￡=5+而，

綜上，當點P,Q運動至四邊形CP4Q為矩形時r的值為5-J而或5+Ji6.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質和矩形的性質

是解題的關鍵.

11.（2021?內蒙古赤峰市?中考真題）閱讀理解：在平面直角坐標系中，點M的坐標為點N的坐

標為（工2，%），且箝抄”今2,若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱

該矩形為M、N的“相關矩形”.如圖1中的矩形為點M、N的“相關矩形”.（1）已知點4的坐標為（2,0）.①

若點B的坐標為（4,4）,則點A、B的“相關矩形”的周長為；②若點C在直線x=4上，且點A、

C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的解析式；（2）已知點P的坐標為（3,T）,點。的坐標為（6,-2）,

若使函數(shù)）>=七的圖象與點P、。的“相關矩形”有兩個公共點，直接寫出人的取值范圍.

X

▲y

7-7

6

5

4

3

2

1234

圖1備用圖1備用圖2

【答案】（1）①12；②y=x-2或），=一次+2：（2）—24vZv-6

【分析】（1）①由相關矩形的定義可知，要求點4、8的“相關矩形”的周長，利用點4點8的坐標求出“相

關矩形”的邊長即可；②由“相關矩形''的定義知，AC必為正方形的對角線，所以可得點C坐標，設直線AC

的解析式為y=H+6,代入A,C點的坐標，求出《，。的值即可；（2）首先確定P,。的“相關矩形'’的另

兩個頂點坐標，結合函數(shù)丁=&的圖象與點P、。的“相關矩形”有兩個公共點，求出k的最大值和最小值

X

即可得到結論.

【詳解】解：⑴①?.?點A的坐標為（2,0）,點8的坐標為（4,4）,.?.點4、8的“相關矩形”如圖所示，

.?.點A、B的“相關矩形"周長=2x（2+4）=12故答案為：12；

②由定義知，AC是點A,C的“相關矩形”的對角線，

又?.?點A,C的相關矩形是正方形，且A（2,0）.?.點C的坐標為（4,2）或（4,一2）

設直線AC的解析式為工履+匕，將（2,0）,（4,2）代入解得左=1,b=-2：.y=x-2

將（2,0）,（4,-2）代入解得攵=一1,b=2：.y=-x+2

???符合題意得直線AC的解析式為y=x-2或y=-x+2.

（2）?.?點P的坐標為（3,T）,點。的坐標為（6,-2）,

二點P,。的“相關矩形”的另兩個頂點的坐標分別為（3,-2）,（6,-4）

kk

當函數(shù)y=—的圖象經過（3,-2）時?，仁6,當函數(shù)y二—的圖象經過（6,-4）時，仁24,

XX

二函數(shù)y="的圖象與點尸、。的“相關矩形”有兩個公共點時，％的取值范圍是：一24＜女＜-6

X

解答此題需要理解“相關矩形'’的定義，綜合性較高，一定

要注意將新舊知識貫穿起來.

12.（2021?四川眉山市?中考真題）如圖，直線y=°龍+6與x軸交于點A,與>軸交于點B.直線MN//AB,

4

30

且與AAOB的外接圓相切，與雙曲線丁=一一在第二象限內的圖象交于C、。兩點.

x

（1）求點A,8的坐標和OP的半徑；（2）求直線MN所對應的函數(shù)表達式；（3）求△BQV的面積.

33

【分析】（1）令v=0代入y=-x+6,令x=0代入y=-x+6,即可得到A、8的坐標，進而得到圓的半

44

徑；（2）過點4作AGLMN于點G,得AG=5,由得4￡=變，進而即可求解；

AMAB

Y

(3)聯(lián)立J349,可得。的坐標，進而即可求解.

y=—xd---

I44

33

【詳解】解：(1)令v=0代入y=—x+6,得0=—x+6,解得：x=-8,即：A(-8,0),

-44

3______

令x=0代入y=jx+6,得y=6,即：B(0,6),,6?+8?=10，，0P的半徑為:5；

(2)過點A作AGLMN于點G,

■:宜線MN/IAB,且與AAOB的外接圓OP相切,；.AG=5,NAMG=NOAB,

AGOB56252549

=

sinNAMG=sinZ_OABt即：-----.,--------——,解得：AM—，即：OM=---^8=—,

AMABAM10333

49、，…25254949

.,.M(-一，0),同理：BN=一，ON=6+一=一，N(0,—),

34444

設直線MN所對應的函數(shù)表達式為：y^kx+b,

49,3

Q=--k+bk=—

34349

則＜小，解得：1直線MN所對應的函數(shù)表達式為：產一x+%;

49,4944

——=bb7=—

[44

30

“'>一一"'x3034940

(3)聯(lián)立(，得：----=-x-\----，解得：再二-3,x2：.C(310),

349x44~T

y=—x-\---

I12512575

ABCV的面積=一8Nx|xJ二一x—x|xj=-x-x3=一

224248

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，熟練掌銳角三角函數(shù)的定義，圓的切線的性質定理,

是解題的關鍵.

13.（2021?浙江中考真題）已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數(shù)y='（x〉0）圖象上的一個

X

k

動點，連結AO,AO的延長線交反比例函數(shù)y=—伏〉0,x<0）的圖象于點5,過點A作AE,y軸于點￡.

（1）如圖1,過點8作BFLx軸于點尸，連結E/L①若攵=1,求證：四邊形AEEO是平行四邊形；

k

②連結BE，若左=4,求△8OE的面積.（2）如圖2,過點E作EP〃A8,交反比例函數(shù)y=—（左〉0,x<0）

x

的圖象于點P,連結OP.試探究：對于確定的實數(shù)攵，動點A在運動過程中，△POE的面積是否會發(fā)生

變化？請說明理由.

【答案】（1）①證明見解析，②1；（2）不改變，見解析

【分析】（1）①計算得出AE=O尸=a,利用平行四邊形的判定方法即可證明結論；

②證明△AEOs/OO,利用反比例函數(shù)人的幾何意義求得，二絲尸即可求解；

1b

（2）點A的坐標為（a,一），點P的坐標為（兒一），可知四邊形AEGO是平行四邊形，由AAEOSAG/ZP,

ab

利用相似三角形的性質得到關于2的一元二次方程，利用三角形的面積公式即可求解.

a

【詳解】（1）①證明：設點A的坐標為（。，,），

a

則當％=1時，點3的坐標為（―a,—工），==

a

?「AELy軸，..?.四邊形AMO是平行四邊形；

②解：過點3作8。，y軸于點D,

Sipc.JAL,7

???人石工丁軸，..^//^。，.?.△AEOS&BDO,??7^二（"），

'△BDO

AO即也，

.,?當％=4