九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)專項(xiàng)突破04相似三角形中的“一線三等角”模型（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破04相似三角形中的“一線三等角”模型【知識(shí)梳理】一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見(jiàn)的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過(guò)添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點(diǎn)E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長(zhǎng)．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作， 分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長(zhǎng)．AABCDEF例4.已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C．設(shè)線段AP的長(zhǎng)為x．（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)．ABABCDPABCD（備用圖）例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如圖1）(1)試求的度數(shù)；(2)若E、F分別為邊AD、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、D、C重合),且始終保持,與交于點(diǎn).（如圖2）①求證:∽；②試判斷的形狀（從邊、角兩個(gè)方面考慮），并加以說(shuō)明；③設(shè),試求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出定義域.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、填空題1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)____．3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．二、解答題4．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．5．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．6．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求證：．7．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．8．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．9．在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出的值．10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．（1）求證：；（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí)有？12．如圖，在四邊形中，，，且，，若點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，求證：．13．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長(zhǎng)．14．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．16．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．17．如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形是邊上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），連結(jié)是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的角平分線于點(diǎn)，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出為何值時(shí)，的面積最大．18．在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針?lè)较颍?）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫(xiě)出所有點(diǎn)的位置；若不存