線性代數(shù)-課件7

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)大連理工大學(xué)出版社普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材在這一章中,我們將以矩陣和向量為工具,研究一種特殊的函數(shù),即多變量的二次齊次函數(shù),通常稱為二次型.二次型的理論起源于化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題.我們知道,在平面解析幾何中,當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線中心重合時(shí),二次曲線的一般方程是為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì),可選擇適當(dāng)?shù)慕嵌圈?做旋轉(zhuǎn)變換把方程(1)化成標(biāo)準(zhǔn)方程方程(1)左邊是一個(gè)二元二次齊次多項(xiàng)式,它只含有平方項(xiàng).我們把該問題推廣到一般情況,從而建立二次型理論.本章主要討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的問題以及正定二次型的有關(guān)概念和性質(zhì).7.1.1二次型的概念

定義1

含有n

個(gè)變量x1,x2,…,xn

的二次齊次多項(xiàng)式稱為關(guān)于變量x1,x2,…,xn

的一個(gè)n元二次型.當(dāng)aij

中有復(fù)數(shù)時(shí),f稱為復(fù)二次型;當(dāng)aij全為實(shí)數(shù)時(shí),f

稱為實(shí)二次型.本章我們僅討論實(shí)二次型.下面給出二次型的矩陣表達(dá)式,令aij=aji,則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi,于是二次齊次多項(xiàng)式(1)可以寫成

已知二次型例１例2例37.1.2矩陣的合同例4A組

答案

1.寫出下列二次型的矩陣,并求出二次型的秩.A組

答案

1.寫出下列二次型的矩陣,并求出二次型的秩.A組

答案

1.寫出下列二次型的矩陣,并求出二次型的秩.A組

答案

1.寫出下列二次型的矩陣,并求出二次型的秩.A組

答案

2.寫出下列實(shí)對稱矩陣所對應(yīng)的二次型A組

答案

2.寫出下列實(shí)對稱矩陣所對應(yīng)的二次型B組

答案證明A

與B

合同,并求可逆矩陣C,使得B=CTAC.

1.設(shè)B組

答案略本節(jié)將討論用可逆的線性變換(即變換x=Py,其中P

可逆)化簡二次型的問題.二次型中最簡單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型7.2.1二次型的標(biāo)準(zhǔn)形從引例中可以看出,一個(gè)二次型經(jīng)過某種可逆線性變換后,變成不同形式的二次型,且變換后的二次型的矩陣是對角矩陣,展開式中只含有變量的平方項(xiàng),形式簡單.在代數(shù)中,稱這個(gè)只含有變量平方項(xiàng)的二次型為原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.

定義1如果二次型經(jīng)過可逆線性變換變成的二次型則稱二次型(1)是二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.

1.配方法利用代數(shù)公式如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2

將二次型通過配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法,就是拉格朗日配方法,簡稱配方法.這是一種常見的簡便方法,下面舉例說明.7.2.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的變換矩陣.例1例2求正交變換X=PY,把二次型解二次型的矩陣為求出A

的特征方程化為標(biāo)準(zhǔn)形.可求出基礎(chǔ)解系為將其正交單位化得當(dāng)λ2=-3時(shí),齊次線性方程組(A+3E)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為單位化得以p1,p2,p3,p4

為列向量作矩陣,得正交矩陣為使以p1,p2,p3,p4

為列向量作矩陣,得正交矩陣為使作正交變換X=PY,則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為例３將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的變換矩陣.解由于f(x1,x2,x3)不含變量的平方項(xiàng),只有混合項(xiàng),故要先做一個(gè)輔助變換使其出現(xiàn)平方項(xiàng),然后再按照例1的方式進(jìn)行配方.因f(x1,x2,x3)中含有x1x2,所以令即再配方,有則原二次型化為令即即有二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所用線性變換為即所用線性變換矩陣為一般地,任何二次型都可以通過上述配方法求得可逆變換,把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,且可驗(yàn)證,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的項(xiàng)數(shù)等于該二次型的秩.例4用初等變換法將例3中的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的線性變換.解該二次型的矩陣為則于是令x=Cy,則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形對比例3與例4中的標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)果可見,對二次型用配方法和初等變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)形是不一樣的.也就是說,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形一般不唯一,它與所用的可逆線性變換有關(guān).但有兩點(diǎn)是相同的:一是標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),即二次型的秩;二是標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),這一點(diǎn)將在下一節(jié)加以研究說明.A組1.求正交變換,將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.答案A組1.求正交變換,將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.答案A組2.利用配方法和初等變換法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出相應(yīng)的可逆變換矩陣.

答案A組2.利用配方法和初等變換法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出相應(yīng)的可逆變換矩陣.

答案B組

答案

1.已知二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,求參數(shù)a,b及所用的正交變換.7.3.1慣性定理和規(guī)范形

引例假設(shè)某二次型f(x1,x2,x3)經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形顯然,繼續(xù)施行可逆線性變換,上式可進(jìn)一步化為下面兩種形式:及對比以上三種標(biāo)準(zhǔn)化形式,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),可以推斷:無論做何種可逆線性變換,標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)中,非零的個(gè)數(shù)不變;正、負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)不變.該結(jié)果具有一般性,這就是二次型的慣性定理.7.3.2二次型的正定性例１判斷二次型的正定性.例２A組答案(1)正定;

1.判別下列二次型的正定性:(2)負(fù)定;

(3)正定A組

答案

2.當(dāng)t滿足什么條件時(shí),下列二次型為正定的?A組

答案

2.當(dāng)t滿足什么條件時(shí),下列二次型為正定的?B組

答案1.提示:可利用特征值進(jìn)行證明.B組

答案2.提示:利用特征值進(jìn)行證明.

B組

答案3.提示:利用定義進(jìn)行證明.

答案

1.用矩陣記號表示下列二次型:

答案

1.用矩陣記號表示下列二次型: