2024屆山東省濰坊市高考三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3山東省濰坊市2024屆高考三模數(shù)學試題一、選擇題1.設復數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，A選項，當時，，不合題意，A錯誤；B選項，當時，，不合要求，B錯誤；C選項，當時，，故C正確；D選項，當時，，D錯誤故選：C2.已知集合，則的子集個數(shù)是（）A.3個 B.4個 C.8個 D.16個〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則的子集有個，故選：C．3.如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標志，該圓沿軸向右滾動，當圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點和點，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對應的扇形面積為.故選：B4.某同學在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設上、下兩圓錐的底面半徑為，高分別為，體積分別為，因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以，則得，，上圓錐的母線為，下圓錐的母線為，所以上、下兩圓錐的母線長之比為，故選：A．5.牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．6.已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.7.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價于，即，構造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.8已知，則（）A.8 B.10 C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中展開式的通項為，且，當時，，此時只需乘以第一個因式中的2，可得；當時，，此時只需乘以第一個因式中的，可得.所以故選：B二、多項選擇題9.在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線B.直線與所成的角是C.直線平面D.平面截正方體所得的截面面積為.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構成直角三角形，所以與不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”是互斥事件B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，“第一次向上的點數(shù)是1”與“兩次向上的點數(shù)之和是7”是相互獨立事件C.若的平均數(shù)是7，方差是6，則的方差是D.某人在10次射擊中，設擊中目標的次數(shù)為，且，則的概率最大〖答案〗BCD〖解析〗對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故A錯誤；對于B，設“第一次向上的點數(shù)是1”，“兩次向上的點數(shù)之和是7”，則，，，因為，所以事件A與B互相獨立，故B正確；對于C，由的平均數(shù)是7，得的平均數(shù)為8，由方差是6，則，所以，所以的方差，故C正確；對于D，由得，當時，，當時，令，即，令，解得，即，所以當時，最大，故D正確，故選：BCD．11.已知雙曲線的左、右焦點，點在上，設的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，直線交于，若，，則（）A. B.圓心的橫坐標為1C. D.的離心率為2〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，因為，且三點共線，所以，可得，所以A正確；對于B中，設切點分別為，則，又因為，所以，所以點為右頂點，圓心的橫坐標為2，所以B錯誤；對于C中，因為，所以，由角平分線定理，得，又因為，所以，由可得，所以，可得，所以，則為等腰三角形，所以，解得，所以C正確；對于D中，由離心率，所以D正確.三、填空題12.已知向量，若，則實數(shù)__________〖答案〗〖解析〗，，解得.故〖答案〗為：13.已知關于的方程的所有正實根從小到大排列構成等差數(shù)列，請寫出實數(shù)的一個取值為______〖答案〗（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角降冪公式化簡，再結合圖象求得的取值即可.【詳析】因為，所以，即，要想方程所有正實根從小到大排列構成等差數(shù)列，則需要或，所以.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）.14.已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為______；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為______．〖答案〗（1）9（2）〖解析〗（1）由的圖象過點得，，即，所以，當且僅當，即時等號成立．由恒成立得，，（2）因為的圖象過點，則，即，當時，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設，所以，當且僅當，即，則時，等號成立，故〖答案〗為：9；．四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。猓海?）取的中點，連接，由直三棱柱得，，，因為是棱的中點，點是的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設平面的一個法向量為，由得，，取，的，設平面的一個法向量為，由得，，取，的，設平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．16.已知正項等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，即，解得或，又因為，所以，所以.（2），所以，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以前項和.17.在平面直角坐標系中，為坐標原點，為直線上一點，動點滿足，.（1）求動點的軌跡的方程;（2）若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.（1）解：設點，則，因為，所以，所以，即，所以動點的軌跡方程為：；（2）證明：因為軸，所以設，，，，若要證為線段的中點，只需證即可，當直線斜率不存在或斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個交點，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點.18.某高校為了提升學校餐廳的服務水平，組織4000名師生對學校餐廳滿意度進行評分調(diào)查，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分(滿分100分)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級:滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求圖中的值，并估計滿意度評分的分位數(shù);（2）若樣本中男性師生比為，且男教師評分為80分以上的概率為0.8，男學生評分為80分以上的概率0.55，現(xiàn)從男性師生中隨機抽取一人，其評分為80分以上的概率為多少?（3）設在樣本中，學生、教師的人數(shù)分別為，記所有學生的評分為，其平均數(shù)為，方差為，所有教師的評分為，其平均數(shù)為，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，若，試求的最小值.（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得，設分位數(shù)為，由分布直方圖得，所以，解得.（2）解：設“抽到男學生”為事件，“評分80分以上”為事件，可得，由全概率公式得.（3）解：由，可得，所以，所以，即，令，則，由于，當且僅當時，等號成立，又因為，可得，即，解得或，因為且，所以，所以實數(shù)的最大值為.19.一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).（1）類比三角函數(shù)的三個性質(zhì)：①倍角公式；②平方關系；③求導公式寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個正確的性質(zhì)并證明；（2）當時，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，證明：（1）解：平方關系：；倍角公式：；導數(shù)：.理由如下：平方關系，；倍角公式：；導數(shù)：，；以上三個結論，證對一個即可.（2）解：構造函數(shù)，，由（1）可知，①當時，由，又因為，故，等號不成立，所以，故為嚴格增函數(shù)，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當時，令，則，可知是嚴格增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在上為嚴格減函數(shù)，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（3）證明：因為，所以原式變?yōu)椋醋C，設函數(shù)，即證，，設，，時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，設，則，由于在上單調(diào)遞增，，所以，即，故在上單調(diào)遞增，又，所以時，，所以，即，因此恒成立，所以原不等式成立，得證.山東省濰坊市2024屆高考三模數(shù)學試題一、選擇題1.設復數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，A選項，當時，，不合題意，A錯誤；B選項，當時，，不合要求，B錯誤；C選項，當時，，故C正確；D選項，當時，，D錯誤故選：C2.已知集合，則的子集個數(shù)是（）A.3個 B.4個 C.8個 D.16個〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則的子集有個，故選：C．3.如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標志，該圓沿軸向右滾動，當圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點和點，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對應的扇形面積為.故選：B4.某同學在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設上、下兩圓錐的底面半徑為，高分別為，體積分別為，因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以，則得，，上圓錐的母線為，下圓錐的母線為，所以上、下兩圓錐的母線長之比為，故選：A．5.牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．6.已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.7.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價于，即，構造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.8已知，則（）A.8 B.10 C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中展開式的通項為，且，當時，，此時只需乘以第一個因式中的2，可得；當時，，此時只需乘以第一個因式中的，可得.所以故選：B二、多項選擇題9.在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線B.直線與所成的角是C.直線平面D.平面截正方體所得的截面面積為.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構成直角三角形，所以與不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”是互斥事件B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，“第一次向上的點數(shù)是1”與“兩次向上的點數(shù)之和是7”是相互獨立事件C.若的平均數(shù)是7，方差是6，則的方差是D.某人在10次射擊中，設擊中目標的次數(shù)為，且，則的概率最大〖答案〗BCD〖解析〗對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故A錯誤；對于B，設“第一次向上的點數(shù)是1”，“兩次向上的點數(shù)之和是7”，則，，，因為，所以事件A與B互相獨立，故B正確；對于C，由的平均數(shù)是7，得的平均數(shù)為8，由方差是6，則，所以，所以的方差，故C正確；對于D，由得，當時，，當時，令，即，令，解得，即，所以當時，最大，故D正確，故選：BCD．11.已知雙曲線的左、右焦點，點在上，設的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，直線交于，若，，則（）A. B.圓心的橫坐標為1C. D.的離心率為2〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，因為，且三點共線，所以，可得，所以A正確；對于B中，設切點分別為，則，又因為，所以，所以點為右頂點，圓心的橫坐標為2，所以B錯誤；對于C中，因為，所以，由角平分線定理，得，又因為，所以，由可得，所以，可得，所以，則為等腰三角形，所以，解得，所以C正確；對于D中，由離心率，所以D正確.三、填空題12.已知向量，若，則實數(shù)__________〖答案〗〖解析〗，，解得.故〖答案〗為：13.已知關于的方程的所有正實根從小到大排列構成等差數(shù)列，請寫出實數(shù)的一個取值為______〖答案〗（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角降冪公式化簡，再結合圖象求得的取值即可.【詳析】因為，所以，即，要想方程所有正實根從小到大排列構成等差數(shù)列，則需要或，所以.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）.14.已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為______；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為______．〖答案〗（1）9（2）〖解析〗（1）由的圖象過點得，，即，所以，當且僅當，即時等號成立．由恒成立得，，（2）因為的圖象過點，則，即，當時，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設，所以，當且僅當，即，則時，等號成立，故〖答案〗為：9；．四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。猓海?）取的中點，連接，由直三棱柱得，，，因為是棱的中點，點是的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設平面的一個法向量為，由得，，取，的，設平面的一個法向量為，由得，，取，的，設平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．16.已知正項等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，即，解得或，又因為，所以，所以.（2），所以，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以前項和.17.在平面直角坐標系中，為坐標原點，為直線上一點，動點滿足，.（1）求動點的軌跡的方程;（2）若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.（1）解：設點，則，因為，所以，所以，即，所以動點的軌跡方程為：；（2）證明：因為軸，所以設，，，，若要證為線段的中點，只需證即可，當直線斜率不存在或斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個交點，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點.18.某高校為了提升學校餐廳的服務水平，組織4000名師生對學校餐廳滿意度進行評分調(diào)查，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分(滿分100分)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級:滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求圖中的值，并估計滿意度評分的分位數(shù);（2）若樣本