2024屆陜西省西安市部分學校高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3陜西省西安市部分學校2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題（理）第I卷一、選擇題1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：.2.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式得，解不等式得，所以.故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為在單調(diào)遞增，所以.因為是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以.所以.故選：C.4.四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，，高為），則四羊方尊的容積約為（）（參考公式：棱臺的體積，其中，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得：，代入公式得：.故選：A.5.已知拋物線的焦點為，是拋物線上的一點，為坐標原點，，（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗B〖解析〗拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，解得或（舍去），則．故選：B.6.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可得，所以，則．又因為，即，所以，顯然，又，所以（負值舍去）．所以，又因為，所以，所以，所以．故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，可得，則，.故選：A.8.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，（種）.所以由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分法．故選：D.9.已知函數(shù).若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，所以是上的增函數(shù)，所以若則，解得.故選：D.10.已知函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點是，若，則（）A.1 B.1或7 C.2 D.2或6〖答案〗D〖解析〗法一：令，得，則或，，解得或，.因為是函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點，由，且，則，或，解得或.法二：令，得，因為是函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點，設，則或，且，如圖可知，或.（設的最小正周期為，也即或）即或，解得或.故選：D.11.如圖,在矩形中,,,,分別在線段,上,將沿折起,使到達的位置,且平面平面,則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設的中點為，連接，由題可知為等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根據(jù)題意，，所以的外心為的中點，設四面體的外接球的球心為，則平面，作分別交于，，又，，則，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.12.如圖,已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗由題意，直線的斜率為，，又，所以為等邊三角形,故,，在中，，則為銳角，則，，由正弦定理，，，,由，得，.故〖答案〗選：.第II卷二、填空題13.已知向量，且，則向量，的夾角是______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以．因為，所以，又，所以，即向量，的夾角是．故〖答案〗為：14.設實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是______.〖答案〗〖解析〗因為實數(shù)，滿足不等式組，作出可行域如下所示：由，解得，所以，由，可得，平移直線，由圖可知，當直線經(jīng)過時直線在軸上的截距取得最大值，即取得最大值，所以．故〖答案〗為：15.若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．〖答案〗〖解析〗依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為，又，得，所以這6個數(shù)的方差為.故〖答案〗為：；.16.已知函數(shù)滿足，.則______.〖答案〗.〖解析〗由函數(shù)滿足，取，可得，令，可得，即則.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.某校組織學生進行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個數(shù)作為比賽成績（單位：個）.為了解參賽學生的比賽成績，從參賽學生中隨機抽取50名學生的比賽成績作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成績分成，，，，，這6組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計該校學生跳繩比賽成績的中位數(shù)；（2）若跳繩比賽成績不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學生跳繩比賽成績的頻率作為概率，現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記被抽取的比賽成績優(yōu)秀的學生人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）因為，，所以該校學生比賽成績的中位數(shù)在內(nèi)，設該校學生比賽成績的中位數(shù)為，則，解得，即該校學生比賽成績的中位數(shù)為．（2）由頻率分布直方圖可知比賽成績優(yōu)秀的頻率為，則從該校學生中隨機抽取人，被抽取學生比賽成績優(yōu)秀的概率是．由題意可知，則，即，，，所以的分布列為0123故．18.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）證明：．（1）解：當時，由，得，當時，，則，也適合該式，故；（2）證明：，故，由于，故，則，故.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面；（2）若，點滿足，求二面角的大?。?）證明：過作于點，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,，，,1,，，故，,所以,，設平面的法向量，則，令有，故，平面的法向量，則，又二面角所成角為銳角，二面角所成角的余弦值為，角的大小為．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，右頂點為，的面積為，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且斜率大于的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.解：（1）設橢圓的焦距為，因為，則，所以，因為的面積為，所以，即，解得（負值舍去），所以，故橢圓的標準方程為．（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，顯然，所以．從而，故點的坐標為．因為，所以．因為直線的斜率，所以，當且僅當時，等號成立，即直線與直線斜率之積的最小值為．21.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.解：（1）當時，，，則，，故所求切線方程為，即．（2）若在上單調(diào)遞減，則對恒成立．設，則，令，則，所以，由，解得或．當時，必存在，使得當時，，則在上單調(diào)遞增，所以當時，，則在上單調(diào)遞增，同理得，當時，，則在上單調(diào)遞增，這與在上單調(diào)遞減矛盾，所以不合題意．當時，，，即，所以不合題意．當時，恒有，①當時，，則在上單調(diào)遞減，②當時，，得在上單調(diào)遞增．所以，所以對恒成立．綜上，的取值范圍是．（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程是.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）若，直線與曲線交于，兩點，求的值.解：（1）由（為參數(shù)），即（為參數(shù)），又，消去參數(shù)得，即曲線的普通方程為．由，又，所以，即直線的直角坐標方程為．（2）因為點在直線上，又直線的斜率，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，整理得，設對應的參數(shù)分別為、，顯然，所以，，故．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)的最小值是.（1）求的值；（2）若，，且，證明：.（1）解：當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；綜上所述，函數(shù)的最小值是2，即.（2）證明：要證，即證，即證，因為，，且，故只需證，由基本不等式可知，，當且僅當時，等號成立，故命題得證.陜西省西安市部分學校2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題（理）第I卷一、選擇題1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：.2.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式得，解不等式得，所以.故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為在單調(diào)遞增，所以.因為是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以.所以.故選：C.4.四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，，高為），則四羊方尊的容積約為（）（參考公式：棱臺的體積，其中，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得：，代入公式得：.故選：A.5.已知拋物線的焦點為，是拋物線上的一點，為坐標原點，，（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗B〖解析〗拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，解得或（舍去），則．故選：B.6.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可得，所以，則．又因為，即，所以，顯然，又，所以（負值舍去）．所以，又因為，所以，所以，所以．故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，可得，則，.故選：A.8.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，（種）.所以由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分法．故選：D.9.已知函數(shù).若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，所以是上的增函數(shù)，所以若則，解得.故選：D.10.已知函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點是，若，則（）A.1 B.1或7 C.2 D.2或6〖答案〗D〖解析〗法一：令，得，則或，，解得或，.因為是函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點，由，且，則，或，解得或.法二：令，得，因為是函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點，設，則或，且，如圖可知，或.（設的最小正周期為，也即或）即或，解得或.故選：D.11.如圖,在矩形中,,,,分別在線段,上,將沿折起,使到達的位置,且平面平面,則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設的中點為，連接，由題可知為等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根據(jù)題意，，所以的外心為的中點，設四面體的外接球的球心為，則平面，作分別交于，，又，，則，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.12.如圖,已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗由題意，直線的斜率為，，又，所以為等邊三角形,故,，在中，，則為銳角，則，，由正弦定理，，，,由，得，.故〖答案〗選：.第II卷二、填空題13.已知向量，且，則向量，的夾角是______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以．因為，所以，又，所以，即向量，的夾角是．故〖答案〗為：14.設實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是______.〖答案〗〖解析〗因為實數(shù)，滿足不等式組，作出可行域如下所示：由，解得，所以，由，可得，平移直線，由圖可知，當直線經(jīng)過時直線在軸上的截距取得最大值，即取得最大值，所以．故〖答案〗為：15.若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．〖答案〗〖解析〗依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為，又，得，所以這6個數(shù)的方差為.故〖答案〗為：；.16.已知函數(shù)滿足，.則______.〖答案〗.〖解析〗由函數(shù)滿足，取，可得，令，可得，即則.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.某校組織學生進行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個數(shù)作為比賽成績（單位：個）.為了解參賽學生的比賽成績，從參賽學生中隨機抽取50名學生的比賽成績作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成績分成，，，，，這6組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計該校學生跳繩比賽成績的中位數(shù)；（2）若跳繩比賽成績不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學生跳繩比賽成績的頻率作為概率，現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記被抽取的比賽成績優(yōu)秀的學生人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）因為，，所以該校學生比賽成績的中位數(shù)在內(nèi)，設該校學生比賽成績的中位數(shù)為，則，解得，即該校學生比賽成績的中位數(shù)為．（2）由頻率分布直方圖可知比賽成績優(yōu)秀的頻率為，則從該校學生中隨機抽取人，被抽取學生比賽成績優(yōu)秀的概率是．由題意可知，則，即，，，所以的分布列為0123故．18.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）證明：．（1）解：當時，由，得，當時，，則，也適合該式，故；（2）證明：，故，由于，故，則，故.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面；（2）若，點滿足，求二面角的大小．（1）證明：過作于點，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,，，,1,，，故，,所以,，設平面的法向量，則，令有，故，平面的法向量，則，又二面角所成角為銳角，二面角所成角的余弦值為，角的大小為．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，右頂點為，的面積為，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且斜率大于的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.解：（1）設橢圓的焦距為，因為，則，所以，因為的面積為，所以，即，解得（負值舍去），所以，故橢圓的標準方程為．（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，顯然，所以．從而，故點的坐