2024屆上海市高考模擬測數(shù)學(xué)試卷02（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2上海市2024屆高考數(shù)學(xué)模擬測試卷02一、填空題1．已知集合，全集，則．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗為：2．現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個數(shù).故〖答案〗為：3．設(shè)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的根，則．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，即，所以.故〖答案〗為：4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為.〖答案〗〖解析〗函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為．故〖答案〗為：．5．以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為：，∴以拋物線的焦點為圓心，并且與此拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的半徑是2，∴圓的方程為；，故〖答案〗為：.6．已知x，y的對應(yīng)值如下表所示：02468113若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則．〖答案〗1〖解析〗根據(jù)表格可知，，，因為y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，所以，得，解得.故〖答案〗為：17．已知，且，則．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因為，，所以.故〖答案〗為：8．已知m是與4的等差中項，且，則的值為．〖答案〗40〖解析〗由題意得，解得，則二項式的通項為，令則有，故，故〖答案〗為：.9．若從正方體的6個面的12條面對角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們成異面直線的概率是.〖答案〗〖解析〗從正方體的12條面對角線中，隨機(jī)選取兩條的試驗有個基本事件，由于任意兩個面的4條對角線中有2對異面直線，因此能成異面直線的對數(shù)是，所以它們成異面直線的概率是.故〖答案〗為：.10．已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實數(shù)的取值范圍是.〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，因此滿足題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，則，，所以，，，，，，或或；（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，；綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：11．如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則.

〖答案〗2〖解析〗過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，

由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故〖答案〗為：212．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為.〖答案〗〖解析〗以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，,即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故〖答案〗為：二、選擇題13．若：，：，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意可得：：，顯然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分條件.故選：B.14．某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．350 B．400 C．450 D．500〖答案〗B〖解析〗依題意，，而服從正態(tài)分布，因此，所以此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B15．如圖，已知直線與函數(shù)的圖象相切于兩點，則函數(shù)有（

）．A．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點〖答案〗B〖解析〗，作出與直線平行的函數(shù)的所有切線，各切線與函數(shù)的切點的橫坐標(biāo)依次為，在處的導(dǎo)數(shù)都等于，在上，,單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因此函數(shù)有三個極大值點，有兩個極小值點.故選：B.16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列選項中為假命題的是（

）A．存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”B．存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”C．存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”D．存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”〖答案〗C〖解析〗對于A：例如，則為等差數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故A為真命題；對B：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故B為真命題；對于C：若存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵、均為嚴(yán)格增數(shù)列，則，故，取滿足，可知必存在，使得成立，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，則有；對任意正整數(shù)，則有；故不存在正整數(shù)，使得，故C為假命題；對D：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故D為真命題；故選：C.三、解答題17．在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求角，并計算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．解：(1)由，得，則，又，所以或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2)若為銳角三角形，則，有，解得.由正弦定理，得，則，所以，其中，又，所以，則，故當(dāng)時，取到最大值1，所以的最大值為.18．如圖，三角形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分別為、的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．(1)證明：連接，因為、分別為、的中點，所以且，又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)解：因為三角形與梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，,．所以，，由題意知，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．為了慶祝黨的二十大順利召開，某學(xué)校特舉辦主題為“重溫光輝歷史展現(xiàn)堅定信心”的百科知識小測試比賽．比賽分搶答和必答兩個環(huán)節(jié)，兩個環(huán)節(jié)均設(shè)置10道題，其中5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題．(1)在搶答環(huán)節(jié)，某代表隊非常積極，搶到4次答題機(jī)會，求該代表隊至少搶到1道地理環(huán)境題的概率；(2)在必答環(huán)節(jié)，每個班級從5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題各選2題，各題答對與否相互獨立，每個代表隊可以先選擇人文歷史題，也可以先選擇地理環(huán)境題開始答題．若中間有一題答錯就退出必答環(huán)節(jié)，僅當(dāng)?shù)谝活悊栴}中2題均答對，才有資格開始第二類問題答題．已知答對1道人文歷史題得2分，答對1道地理環(huán)境題得3分．假設(shè)某代表隊答對人文歷史題的概率都是，答對地理環(huán)境題的概率都是．請你為該代表隊作出答題順序的選擇，使其得分期望值更大，并說明理由．解：(1)從10道題中隨機(jī)抽取4道題，所有的基本事件的個數(shù)為，將“某代表隊沒有搶到地理環(huán)境題”的事件記為，事件的對立事件為“某代表隊搶到至少1道地理環(huán)境題”．則，(2)情況一：某代表隊先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，，，，，，，則的分布為：此時得分期望情況二：某代表隊先答地理環(huán)境題，再答人文歷史題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，,，，，，，則的分布為：此時得分期望由于，故為了使該代表隊必答環(huán)節(jié)得分期望值更大，該代表隊?wèi)?yīng)該先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題．20．已知橢圓.(1)已知橢圓的離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線過橢圓的右焦點且垂直于軸，記與的交點分別為A、B，A、B兩點關(guān)于y軸的對稱點分別為、，若四邊形是正方形，求正方形的內(nèi)切圓的方程；(3)設(shè)О為坐標(biāo)原點，P、Q兩點都在橢圓上，若是等腰直角三角形，其中是直角，點Р在第一象限，且O、P、Q三點按順時針方向排列，求b的最大值.解：(1)由題意得，，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)右焦點，左焦點，因為四邊形是正方形，不妨設(shè)點在第一象限，則，所以，由，得，正方形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，所以所求圓的方程為；（3）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，則，聯(lián)立，得，同理可得，由得，即，整理得，注意到且，則要使上述關(guān)于的一元二次方程有正數(shù)解，只需要，解得，所以b的最大值為.21．已知常數(shù)為非零整數(shù)，若函數(shù)，滿足：對任意，，則稱函數(shù)為函數(shù).(1)函數(shù)，是否為函數(shù)﹖請說明理由；(2)若為函數(shù)，圖像在是一條連續(xù)的曲線，，，且在區(qū)間上僅存在一個極值點，分別記、為函數(shù)的最大、小值，求的取值范圍；(3)若，，且為函數(shù)，，對任意，恒有，記的最小值為，求的取值范圍及關(guān)于的表達(dá)式.解：(1)是函數(shù)，理由如下，對任意，，，故(2)（?。┤魹樵趨^(qū)間上僅存的一個極大值點，則在嚴(yán)格遞增，在嚴(yán)格遞減，由，即，得，又，，則，（構(gòu)造時，等號成立），所以；（ⅱ）若為在區(qū)間上僅存的一個極小值點，則在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格增，由，同理可得，又，，則，（構(gòu)造時，等號成立），所以；綜上所述：所求取值范圍為；（3）顯然為上的嚴(yán)格增函數(shù)，任意，不妨設(shè)，此時，由為函數(shù)，得恒成立，即恒成立，設(shè)，則為上的減函數(shù)，，得對恒成立，易知上述不等號右邊的函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，此時，法1：當(dāng)時，即，由，而，所以為上的增函數(shù)，法2：，因為，當(dāng)，，所以為上的增函數(shù)，由題意得，，.上海市2024屆高考數(shù)學(xué)模擬測試卷02一、填空題1．已知集合，全集，則．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗為：2．現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個數(shù).故〖答案〗為：3．設(shè)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的根，則．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，即，所以.故〖答案〗為：4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為.〖答案〗〖解析〗函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為．故〖答案〗為：．5．以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為：，∴以拋物線的焦點為圓心，并且與此拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的半徑是2，∴圓的方程為；，故〖答案〗為：.6．已知x，y的對應(yīng)值如下表所示：02468113若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則．〖答案〗1〖解析〗根據(jù)表格可知，，，因為y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，所以，得，解得.故〖答案〗為：17．已知，且，則．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因為，，所以.故〖答案〗為：8．已知m是與4的等差中項，且，則的值為．〖答案〗40〖解析〗由題意得，解得，則二項式的通項為，令則有，故，故〖答案〗為：.9．若從正方體的6個面的12條面對角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們成異面直線的概率是.〖答案〗〖解析〗從正方體的12條面對角線中，隨機(jī)選取兩條的試驗有個基本事件，由于任意兩個面的4條對角線中有2對異面直線，因此能成異面直線的對數(shù)是，所以它們成異面直線的概率是.故〖答案〗為：.10．已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實數(shù)的取值范圍是.〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，因此滿足題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，則，，所以，，，，，，或或；（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，；綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：11．如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則.

〖答案〗2〖解析〗過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，

由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故〖答案〗為：212．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為.〖答案〗〖解析〗以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，,即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故〖答案〗為：二、選擇題13．若：，：，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意可得：：，顯然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分條件.故選：B.14．某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．350 B．400 C．450 D．500〖答案〗B〖解析〗依題意，，而服從正態(tài)分布，因此，所以此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B15．如圖，已知直線與函數(shù)的圖象相切于兩點，則函數(shù)有（

）．A．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點〖答案〗B〖解析〗，作出與直線平行的函數(shù)的所有切線，各切線與函數(shù)的切點的橫坐標(biāo)依次為，在處的導(dǎo)數(shù)都等于，在上，,單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因此函數(shù)有三個極大值點，有兩個極小值點.故選：B.16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列選項中為假命題的是（

）A．存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”B．存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”C．存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”D．存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”〖答案〗C〖解析〗對于A：例如，則為等差數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故A為真命題；對B：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故B為真命題；對于C：若存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵、均為嚴(yán)格增數(shù)列，則，故，取滿足，可知必存在，使得成立，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，則有；對任意正整數(shù)，則有；故不存在正整數(shù)，使得，故C為假命題；對D：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故D為真命題；故選：C.三、解答題17．在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求角，并計算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．解：(1)由，得，則，又，所以或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2)若為銳角三角形，則，有，解得.由正弦定理，得，則，所以，其中，又，所以，則，故當(dāng)時，取到最大值1，所以的最大值為.18．如圖，三角形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分別為、的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．(1)證明：連接，因為、分別為、的中點，所以且，又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)解：因為三角形與梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，,．所以，，由題意知，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．為了慶祝黨的二十大順利召開，某學(xué)校特舉辦主題為“重溫光輝歷史展現(xiàn)堅定信心”的百科知識小測試比賽．比賽分搶答和必答兩個環(huán)節(jié)，兩個環(huán)節(jié)均設(shè)置10道題，其中5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題．(1)在搶答環(huán)節(jié)，某代表隊非常積極，搶到4次答題機(jī)會，求該代表隊至少搶到1道地理環(huán)境題的概率；(2)在必答環(huán)節(jié)，每個班級從5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題各選2題，各題答對與否相互獨立，每個代表隊可以先選擇人文歷史題，也可以先選擇地理環(huán)境題開始答題．若中間有一題答錯就退出必答環(huán)節(jié)，僅當(dāng)?shù)谝活悊栴}中2題均答對，才有資格開始第二類問題答題．已知答對1道人文歷史題得2分，答對1道地理環(huán)境題得3分．假設(shè)某代表隊答對人文歷史題的概率都是，答對地理環(huán)境題的概率都是．請你為該代表隊作出答題順序的選擇，使其得分期望值更大，并說明理由．解：(1)從10道題中隨機(jī)抽取4道題，所有的基本事件的個數(shù)為，將“某代表隊沒有搶到地理環(huán)境題”的事件記為，事件的對立事件為“某代表隊搶到至少1道地理環(huán)境題”．則，(2)情況一：某代表隊先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，，，，，，，則的分布為：此時得分期望情況二：某代表隊先答地理環(huán)境題，再答人文歷史題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，,，，，，，則的分布為：此時得