2024屆浙江省麗水、湖州、衢州三地市高三二模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省麗水、湖州、衢州三地市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥 B.互為對立C.相互獨立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件與能同時發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項C正確；事件與不相等，故選項D錯誤.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為，則（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可得，又，故.故選：D.3.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè),則所以，又，所以，即，所以對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)平面內(nèi)的點到點的距離，所以的最小值是.故選：B.4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.故選：D.5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，則＝（）A.3 B.9C.10 D.13〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)由題意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.故選：C【『點石成金』】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有，不妨，則，即在取得最小值，當(dāng)時，，此時，，，不合題意，當(dāng)時，，此時，，，當(dāng)，滿足題意，故選：A，7.已知橢圓為左?右焦點，為橢圓上一點，，直線經(jīng)過點.若點關(guān)于的對稱點在線段的延長線上，則的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由直線，且點關(guān)于的對稱點在線段的延長線上，如圖所示，可得點與點關(guān)于對稱，且,故在中，則,故又的傾斜角為，則，故在中，有，，，又由，可得，即，又因為，，所以.故選：B.8.已知正實數(shù)滿足,,,則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，為正實數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A二?多選題9.有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（）A.若的平均數(shù)是，則B.若的極差是，則C.若方差，則D.若，則第75百分位數(shù)是〖答案〗AC〖解析〗對于A中，由，即，所以A正確；對于B中，例如：若樣本數(shù)據(jù)，可得極差為此時數(shù)據(jù)的極差為，此時，所以B不正確；對于C中，由，若，可得，所以C正確；對于D中，由，所以數(shù)據(jù)的75分位數(shù)為，所以D不正確.故選：AC.10.已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（）A.線段上存在點，使得B.線段上存在點，使得平面平面C.直三棱柱的體積為D.點到平面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗在直三棱柱中，底面，則即為直線與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱的體積，故C錯誤；又底面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因為點在線段，設(shè)，，則，若，則，即，解得，此時為線段的中點，故在線段上存在點，使得，故A正確；當(dāng)為線段的中點時，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又，，設(shè)平面的法向量為，則，取，因為，所以平面平面，即當(dāng)為線段的中點時滿足平面平面，故B正確；又，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù)，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，則有，故，即，令，則，即恒成立，故，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，故B正確；則，又為偶函數(shù)，故，則，故A錯誤；，故C正確；，則，故函數(shù)的周期為，，則，故D正確.故選：BCD.三?填空題12.在中，角的對邊分別為邊上的高等于，則的面積是__________，__________.〖答案〗〖解析〗在中，作，垂足為點，則，又在中，，即，解得，所以，在中，，所以，由正弦定理，，即，可得.故〖答案〗為：；13.已知圓，若對于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則__________.〖答案〗〖解析〗圓，則，解得，所以圓，即，由題設(shè)，令可得，令可得，顯然兩圓相交，則兩圓方程作差可得，由，解得或，所以直線與圓相交的弦長為，所以，則.故〖答案〗為：14.已知正四面體棱長為1，若棱長為的正方體能整體放入正四面體中，則實數(shù)的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗依題意，由正四面體及正方體的幾何特征知，要使放入的正方體最大，則正方體的一個底面在正四面體的一個底面內(nèi)，令是正的中心，則底面，而，則，不妨令放入的正方體的底面在正四面體在內(nèi)，則正方體中與這個底面相對的底面正方形所在平面截正四面體所得截面是正三角形，且這個正方形是正的內(nèi)接正方形，于是，顯然三棱錐是正四面體，與平面的交點是正的中心，于是，顯然，因此，解得，所以實數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：四?解答題15.設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：由，，得，解得，由，，所以，所以或，當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；綜上可得數(shù)列的通項公式為或；（2）證明：因為，所以，則，則，所以.16.如圖，三棱錐中，為線段的中點.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，為線段的中點，所以因為，，，所以，故AB．又為線段的中點，所以．又，平面.所以平面又平面，所以平面平面．（2）解：取的中點，連接，，因為為中位線，所以，又，所以．因為，為的中點，所以．又，平面，所以平面，平面，所以，因為，為的中點，所以，又，平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)，，則，，，，，由，解得．所以.又平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對定義域內(nèi)任意的實數(shù)，恒有，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）解：（1）當(dāng)時定義域為，且，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）函數(shù)定義域為，依題意在上恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以使得，即，所以，則當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，所以，令，則且，所以為增函數(shù)，由，所以，又與均為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，所以實數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線，點在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（在左側(cè)），關(guān)于軸對稱，直線交軸于點，延長線段交軸于點，連接.（1）證明：為定值（為坐標(biāo)原點）；（2）若點的橫坐標(biāo)為，且，求的內(nèi)切圓的方程.（1）證明：設(shè)直線的方程為，則，由，消去，得，，所以，直線的方程為，化簡得，令，得，所以因此.（2）解：因為點橫坐標(biāo)為，由（1）可知，，設(shè)交拋物線于，，如圖所示又由（1）知，，同理可得，得，又，，又，則，故結(jié)合，得.所以直線的方程為又，則，所以直線的方程為，設(shè)圓心因為為的平分線，故點到直線和直線的距離相等，所以，因為，解得，故圓的半徑，因此圓的方程為.19.為保護森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認(rèn)為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進行獨立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.（1）若.（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）；（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當(dāng)時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動物活動時，該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）記事件為“監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，事件為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動物活動”，（i）；（ii），則；（2），，由題意可得，即，令，，得，，故，，即，即，則，因為，所以，所以，故，即，所以，故.浙江省麗水、湖州、衢州三地市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥 B.互為對立C.相互獨立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件與能同時發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項C正確；事件與不相等，故選項D錯誤.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為，則（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可得，又，故.故選：D.3.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè),則所以，又，所以，即，所以對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)平面內(nèi)的點到點的距離，所以的最小值是.故選：B.4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.故選：D.5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，則＝（）A.3 B.9C.10 D.13〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)由題意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.故選：C【『點石成金』】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有，不妨，則，即在取得最小值，當(dāng)時，，此時，，，不合題意，當(dāng)時，，此時，，，當(dāng)，滿足題意，故選：A，7.已知橢圓為左?右焦點，為橢圓上一點，，直線經(jīng)過點.若點關(guān)于的對稱點在線段的延長線上，則的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由直線，且點關(guān)于的對稱點在線段的延長線上，如圖所示，可得點與點關(guān)于對稱，且,故在中，則,故又的傾斜角為，則，故在中，有，，，又由，可得，即，又因為，，所以.故選：B.8.已知正實數(shù)滿足,,,則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，為正實數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A二?多選題9.有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（）A.若的平均數(shù)是，則B.若的極差是，則C.若方差，則D.若，則第75百分位數(shù)是〖答案〗AC〖解析〗對于A中，由，即，所以A正確；對于B中，例如：若樣本數(shù)據(jù)，可得極差為此時數(shù)據(jù)的極差為，此時，所以B不正確；對于C中，由，若，可得，所以C正確；對于D中，由，所以數(shù)據(jù)的75分位數(shù)為，所以D不正確.故選：AC.10.已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（）A.線段上存在點，使得B.線段上存在點，使得平面平面C.直三棱柱的體積為D.點到平面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗在直三棱柱中，底面，則即為直線與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱的體積，故C錯誤；又底面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因為點在線段，設(shè)，，則，若，則，即，解得，此時為線段的中點，故在線段上存在點，使得，故A正確；當(dāng)為線段的中點時，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又，，設(shè)平面的法向量為，則，取，因為，所以平面平面，即當(dāng)為線段的中點時滿足平面平面，故B正確；又，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù)，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，則有，故，即，令，則，即恒成立，故，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，故B正確；則，又為偶函數(shù)，故，則，故A錯誤；，故C正確；，則，故函數(shù)的周期為，，則，故D正確.故選：BCD.三?填空題12.在中，角的對邊分別為邊上的高等于，則的面積是__________，__________.〖答案〗〖解析〗在中，作，垂足為點，則，又在中，，即，解得，所以，在中，，所以，由正弦定理，，即，可得.故〖答案〗為：；13.已知圓，若對于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則__________.〖答案〗〖解析〗圓，則，解得，所以圓，即，由題設(shè)，令可得，令可得，顯然兩圓相交，則兩圓方程作差可得，由，解得或，所以直線與圓相交的弦長為，所以，則.故〖答案〗為：14.已知正四面體棱長為1，若棱長為的正方體能整體放入正四面體中，則實數(shù)的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗依題意，由正四面體及正方體的幾何特征知，要使放入的正方體最大，則正方體的一個底面在正四面體的一個底面內(nèi)，令是正的中心，則底面，而，則，不妨令放入的正方體的底面在正四面體在內(nèi)，則正方體中與這個底面相對的底面正方形所在平面截正四面體所得截面是正三角形，且這個正方形是正的內(nèi)接正方形，于是，顯然三棱錐是正四面體，與平面的交點是正的中心，于是，顯然，因此，解得，所以實數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：四?解答題15.設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：由，，得，解得，由，，所以，所以或，當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；綜上可得數(shù)列的通項公式為或；（2）證明：因為，所以，則，則，所以.16.如圖，三棱錐中，為線段的中點.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，為線段的中點，所以因為，，，所以，故AB．又為線段的中點，所以．又，平面.所以平面又平面，所以平面平面．（2）解：取的中點，連接，，因為為中位線，所以，又，所以．因為，為的中點，所以．又，平面，所以平面，平面，所以，因為，為的中點，所以，又，平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)，，則，，，，，由，解得．所以.又平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對定義域內(nèi)任意的實數(shù)，恒有，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）解：（1）當(dāng)時定義域為，且，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）函數(shù)定義域為，依題意在上恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以使得，即，所以，則當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，所以，令，則且，所以為增函數(shù)，由，所以，又與均為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，所以實數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線，點在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（