2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三下學期模擬監(jiān)測（三）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學期模擬監(jiān)測（三）數(shù)學試題一、選擇題1.已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個平面，且∥，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗如圖，在長方體中，設取為直線，取為平面，取為直線，滿足但，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)的實部、虛部分別為3，2，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為復數(shù)的實部、虛部分別為3，2，所以，所以，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.3.假設在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，則，所以是首項為和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.4.《九章算術》是我國古代的數(shù)學專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，的中點分別為，，連接，取的中點．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．5.設為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點與各棱中點所構成的點集，若從中任選兩點連成線段，則與垂直的線段數(shù)目是（）A.12 B.21 C.27 D.33〖答案〗C〖解析〗如圖正方體，設直線為直線，如下圖所示，對應棱上點為對應棱的中點，連接，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可證，又，平面，平面，故所有與垂直直線在平面內或與平面平行，易知與平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，所以滿足條件的且與對角線垂直的線段共（個）.故選：C.6.設A，B，C，D為拋物線上不同的四點，A，D關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點D處的切線l.設點D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可設，，，.拋物線方程，即，由，所以點D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，，則點D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.7.設函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，即，所以，又，所以在上單調遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，故.令，則.當時，，單調遞減，則，即.故.故選：A.二、多項選擇題9.某電影藝術中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調查問卷，共回收有效問卷4000份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效問卷中，短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人C.估計短視頻觀眾的平均年齡為32歲D.估計短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲〖答案〗CD〖解析〗對于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖，短視頻觀眾年齡在10～20歲的對應頻率為0.15，∴短視頻觀眾年齡在10~20歲的有4000×0.15=600(人)，故B錯誤；對于C，平均年齡為＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(歲)，故C正確；對于D，設75%分位數(shù)為x，由年齡在10~20歲和20~30歲兩組頻率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年齡在10~20歲和20~30歲，30~40歲三組頻率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位數(shù)位于年齡在30~40歲這一組，則0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正確.故選：CD.10.如圖，將一塊邊長為4m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，下列說法正確的是（）A.當時，正四棱錐的側面積為B.當時，正四棱錐的體積為C.當時，正四棱錐外接球的體積為D.正四棱錐的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器如圖所示：對于A：當時，即，由題意可得的邊上的高為2，所以側面面積為，故A錯誤；對于B：當時，由題意可得側面斜高，，可得，所以，故B正確；對于C：當時，可得，，正四棱錐外接球的球心在直線上，設外接球的半徑為，則，解得，所以正四棱錐外接球的體積為，故C正確；對于D：可得，，，令，則，求導得，令，則，解得，當，，，，所以，此時時取等號，故D正確.故選：BCD.11.已知，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.點的軌跡圍成的圖形面積為B.的最小值為C.是的任意兩個位置點，則D.過點的直線與點的軌跡交于點，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗由得：，即，點的軌跡為圓心，半徑的圓.對于A：面積為，故A正確；對于B：點B在圓內，由圖知，當共線的時候等號成立，所以最小值為，故B正確，對于C：因為，，所以過A向圓引切線，切線長等于，則兩條切線夾角為，故C不正確.對于D：斜率不存在時，過點的直線方程為，此時；斜率存在時，過點的直線方程為，即，則圓心到該直線的距離，由圓的幾何性質，，當時，；當時，；當時，，當且僅當即時取等號，綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知，則最小值為____________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.，表示點與點的距離之和.如圖，點關于x軸的對稱點為，連接，則，當且僅當三點共線時等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：13.若存在實數(shù)及正整數(shù)使得在內恰有2024個零點，則滿足條件的正整數(shù)的值有______個．〖答案〗5〖解析〗由題意知，，令，，此時，而，，，則上述方程在實數(shù)范圍內一定有兩個異號的根，當時，，一個周期內有兩個零點，則或；當時，，一個周期內有三個零點，，則需要個周期，即；當時，此時，解得，若，此時，則一個周期內有四個零點，則需要個周期，即；若，此時，，則一個周期內有三個零點，，個周期恰好個零點，個周期是個零點，個周期則個零點，此時不符題意，若，此時，一個周期內有兩個零點，則或.綜上所述，這樣的正整數(shù)有個，分別是.故〖答案〗為：14.設，則的最大值為___________.〖答案〗2〖解析〗設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故〖答案〗為：2.四、解答題15.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）試討論函數(shù)的單調性．解：（1）若，，定義域為，則，令，可得，由，可得，所以在上單調遞增，由，可得，所以在上單調遞減，所以在處取得極小值，極小值為，無極大值；（2）的定義域為，，，當時，，則在上單調遞減，當時，令，可得或，因為，所以舍去，所以當時，，則在上單調遞減，所以當時，，則在上單調遞增，綜上，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.16.在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給出真實答復，因此需要特別的調查方法消除被調查者的顧慮，使他們能如實回答問題．某單位為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，決定采取如下隨機化回答技術進行問卷調查：隨機選取150名男員工和150名女員工進行問卷調查．問卷調查中設置了兩個問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意．調查分兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)：確定回答的問題，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球．摸到兩球同色的員工如實回答第一個問題，摸到兩球異色的員工如實回答第二個問題，第二個環(huán)節(jié)：填寫問卷（問卷中不含問題，只有“是”與“否”）．已知統(tǒng)計問卷中有198個“是”．（參考數(shù)據(jù)：）（1）根據(jù)以上的調查結果，利用你所學的知識，估計員工對新考勤管理方案滿意的概率；（2）據(jù)核實，以上的300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人，試判斷是否有97.5%的把握認為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關；參考公式和數(shù)據(jù)如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879（3）從該單位任取10人，恰有X人對考勤管理方案不滿意，利用（1）中的結果，寫出的表達式（其中，），并求出X的數(shù)學期望.解：（1）由題意摸到兩球同色的概率為，所以回答第一個問題有人，則回答第二個問題有人，由題意可知公歷生日是奇數(shù)的概率是，所以回答第一個問題，選擇“是”的同學人數(shù)為人，則回答第二個問題，選擇“是”的同學人數(shù)為人，所以員工對新考勤管理方案滿意的概率；（2）由題意，列聯(lián)表如下：對新考勤管理方案滿意對新考勤管理方案不滿意合計男員工女員工合計285，所以有97.5%的把握認為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關；（3）由題意可知，則，所以.17.已知橢圓的離心率為，長軸長為4．（1）求橢圓C的標準方程；（2）O為坐標原點，過點且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點T，使得．若存在，求出定點T的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可得，，所以，所以橢圓C的標準方程為.（2）假設存在x軸上的定點，使得.則結合圖可得，所以.由題意，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，設，，由得，，

，則，且.因為直線ET的斜率為，直線的斜率為，由得.因為，，所以，即，所以，所以，則，所以在x軸上存在一個定點，使得．18.如圖,在三棱錐中，分別是側棱的中點，，平面.（1）求證：平面平面；（2）如果，且三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.（1）證明：分別是側棱的中點，，，平面，平面，，又平面，平面，又平面，平面平面.（2）解：平面，平面，，，又由題意得是等腰直角三角形，，此時易算三棱錐體積為：，故符合題意.平面，，平面，又平面，，兩兩垂直，如圖，以點C為原點，建立空間直角坐標系，則，故設平面的法向量為，則有，可取，平面，即為平面的一條法向量，故，由三棱錐的體積和法向量的方向可知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.19.在數(shù)學中，把只能被自己和1整除的大于1自然數(shù)叫做素數(shù)（質數(shù)）.歷史上研究素數(shù)在自然數(shù)中分布規(guī)律的公式有“費馬數(shù)”；還有“歐拉質數(shù)多項式”：.但經(jīng)后人研究，這兩個公式也有局限性.現(xiàn)有一項利用素數(shù)的數(shù)據(jù)加密技術—DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議：將一個既約分數(shù)的分子分母分別乘以同一個素數(shù)，比如分數(shù)的分子分母分別乘以同一個素數(shù)19，就會得到加密數(shù)據(jù).這個過程叫加密，逆過程叫解密.（1）數(shù)列中經(jīng)DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議加密后依次變?yōu)?求經(jīng)解密還原的數(shù)據(jù)的數(shù)值；（2）依據(jù)的數(shù)值寫出數(shù)列的通項公式（不用嚴格證明但要檢驗符合）.并求數(shù)列前項的和；（3）為研究“歐拉質數(shù)多項式”性質，構造函數(shù)是方程的兩個根是的導數(shù).設.證明：對任意的正整數(shù)，都有.（本小題數(shù)列不同于第（1）（2）小題）（1）解：根據(jù)費馬數(shù)求得.（2）解：根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得數(shù)列的這項公式為經(jīng)檢驗：的數(shù)值符合該公式.數(shù)列前項的（3）證明：由依次可得（基本不等式取等條件不成立.）.重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學期模擬監(jiān)測（三）數(shù)學試題一、選擇題1.已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個平面，且∥，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗如圖，在長方體中，設取為直線，取為平面，取為直線，滿足但，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)的實部、虛部分別為3，2，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為復數(shù)的實部、虛部分別為3，2，所以，所以，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.3.假設在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，則，所以是首項為和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.4.《九章算術》是我國古代的數(shù)學專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，的中點分別為，，連接，取的中點．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．5.設為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點與各棱中點所構成的點集，若從中任選兩點連成線段，則與垂直的線段數(shù)目是（）A.12 B.21 C.27 D.33〖答案〗C〖解析〗如圖正方體，設直線為直線，如下圖所示，對應棱上點為對應棱的中點，連接，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可證，又，平面，平面，故所有與垂直直線在平面內或與平面平行，易知與平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，所以滿足條件的且與對角線垂直的線段共（個）.故選：C.6.設A，B，C，D為拋物線上不同的四點，A，D關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點D處的切線l.設點D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可設，，，.拋物線方程，即，由，所以點D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，，則點D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.7.設函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，即，所以，又，所以在上單調遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，故.令，則.當時，，單調遞減，則，即.故.故選：A.二、多項選擇題9.某電影藝術中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調查問卷，共回收有效問卷4000份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效問卷中，短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人C.估計短視頻觀眾的平均年齡為32歲D.估計短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲〖答案〗CD〖解析〗對于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖，短視頻觀眾年齡在10～20歲的對應頻率為0.15，∴短視頻觀眾年齡在10~20歲的有4000×0.15=600(人)，故B錯誤；對于C，平均年齡為＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(歲)，故C正確；對于D，設75%分位數(shù)為x，由年齡在10~20歲和20~30歲兩組頻率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年齡在10~20歲和20~30歲，30~40歲三組頻率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位數(shù)位于年齡在30~40歲這一組，則0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正確.故選：CD.10.如圖，將一塊邊長為4m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，下列說法正確的是（）A.當時，正四棱錐的側面積為B.當時，正四棱錐的體積為C.當時，正四棱錐外接球的體積為D.正四棱錐的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器如圖所示：對于A：當時，即，由題意可得的邊上的高為2，所以側面面積為，故A錯誤；對于B：當時，由題意可得側面斜高，，可得，所以，故B正確；對于C：當時，可得，，正四棱錐外接球的球心在直線上，設外接球的半徑為，則，解得，所以正四棱錐外接球的體積為，故C正確；對于D：可得，，，令，則，求導得，令，則，解得，當，，，，所以，此時時取等號，故D正確.故選：BCD.11.已知，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.點的軌跡圍成的圖形面積為B.的最小值為C.是的任意兩個位置點，則D.過點的直線與點的軌跡交于點，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗由得：，即，點的軌跡為圓心，半徑的圓.對于A：面積為，故A正確；對于B：點B在圓內，由圖知，當共線的時候等號成立，所以最小值為，故B正確，對于C：因為，，所以過A向圓引切線，切線長等于，則兩條切線夾角為，故C不正確.對于D：斜率不存在時，過點的直線方程為，此時；斜率存在時，過點的直線方程為，即，則圓心到該直線的距離，由圓的幾何性質，，當時，；當時，；當時，，當且僅當即時取等號，綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知，則最小值為____________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.，表示點與點的距離之和.如圖，點關于x軸的對稱點為，連接，則，當且僅當三點共線時等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：13.若存在實數(shù)及正整數(shù)使得在內恰有2024個零點，則滿足條件的正整數(shù)的值有______個．〖答案〗5〖解析〗由題意知，，令，，此時，而，，，則上述方程在實數(shù)范圍內一定有兩個異號的根，當時，，一個周期內有兩個零點，則或；當時，，一個周期內有三個零點，，則需要個周期，即；當時，此時，解得，若，此時，則一個周期內有四個零點，則需要個周期，即；若，此時，，則一個周期內有三個零點，，個周期恰好個零點，個周期是個零點，個周期則個零點，此時不符題意，若，此時，一個周期內有兩個零點，則或.綜上所述，這樣的正整數(shù)有個，分別是.故〖答案〗為：14.設，則的最大值為___________.〖答案〗2〖解析〗設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故〖答案〗為：2.四、解答題15.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）試討論函數(shù)的單調性．解：（1）若，，定義域為，則，令，可得，由，可得，所以在上單調遞增，由，可得，所以在上單調遞減，所以在處取得極小值，極小值為，無極大值；（2）的定義域為，，，當時，，則在上單調遞減，當時，令，可得或，因為，所以舍去，所以當時，，則在上單調遞減，所以當時，，則在上單調遞增，綜上，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.16.在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給出真實答復，因此需要特別的調查方法消除被調查者的顧慮，使他們能如實回答問題．某單位為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，決定采取如下隨機化回答技術進行問卷調查：隨機選取150名男員工和150名女員工進行問卷調查．問卷調查中設置了兩個問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意．調查分兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)：確定回答的問題，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球．摸到兩球同色的員工如實回答第一個問題，摸到兩球異色的員工如實回答第二個問題，第二個環(huán)節(jié)：填寫問卷（問卷中不含問題，只有“是”與“否”）．已知統(tǒng)計問卷中有198個“是”．（參考數(shù)據(jù)：）（1）根據(jù)以上的調查結果，利用你所學的知識，估計員工對新考勤管理方案滿意的概率；（2）據(jù)核實，以上的300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人，試判斷是否有97.5%的把握認為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關；參考公式和數(shù)據(jù)如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879（3）從該單位任取10人，恰有X人對考勤管理方案不滿意，利用（1）中的結果，寫出的表達式（其中，），并求出X的數(shù)學期望.解：（1）由題意摸到兩球同色的概率為，所以回答第一個問題有人，則回答第二個問題有人，由題意可知公歷生日是奇數(shù)的概率是，所以回答第一個問題，選擇“是”的同學人數(shù)為人，則回答第二個問題，選擇“是”的同學人數(shù)為人，所