常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用論文

PAGEPAGE1目錄TOC\o"1-8"\f\h\z\u摘要 11引言 22常微分方程的發(fā)展概況 23數(shù)學建模簡介 34常微分方程和數(shù)學建模結(jié)合的特點 35常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用 35.1建立微分方程的方法 45.2市場價格模型 55.3廣告模型 75.4人口預(yù)測模型 95.5混合溶液的數(shù)學模型 115.6振動模型 125.7教育問題模型 166總結(jié) 19參考文獻 20常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用摘要常微分方程是在17世紀伴隨著微積分而發(fā)展起來的一門具有重要應(yīng)用價值的學科.它是研究連續(xù)量變化規(guī)律的重要工具，是眾多實際問題與數(shù)學之間聯(lián)系的重要橋梁.在歷史上，牛頓正是通過求解常微分方程證實了地球繞太陽運動的軌道是橢圓；天文學家通過常微分方程的計算，預(yù)見了海王星的存在.隨著工業(yè)化的進展，常微分方程在航海、航空工業(yè)生產(chǎn)以及自然科學的研究中發(fā)揮了重要作用.計算機和計算技術(shù)的發(fā)展,使微分方程的求解突破了經(jīng)典方法的局限,邁向數(shù)值計算和圖像模擬,這為微分方程的應(yīng)用提供了更為廣闊的天地和有效手段,也使得建立數(shù)學模型顯得尤為重要.本文主要從市場價格模型、廣告模型、人口預(yù)測模型、混合溶液的數(shù)學模型、教育問題模型來論述常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：常微分方程；數(shù)學建模；市場價格模型；廣告模型；人口預(yù)測模型；混合溶液的數(shù)學模型；教育問題模型代入初值條件，解得所以，導(dǎo)彈的運動軌跡如下圖1所示：圖1由上圖可知，當時，即當乙艦航行到點處時被導(dǎo)彈擊中，被擊中的時間為。對于建立微分方程的方法，除了以上例子所舉出的利用運用已知規(guī)律的方法外，還有微元法、機理分析法（模擬近似法）等。5.2市場價格模型對于純粹的市場經(jīng)濟來說,商品市場價格取決于市場供需之間的關(guān)系,市場價格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價格稱為(靜態(tài))均衡價格).也就是說,如果不考慮商品價格形成的動態(tài)過程,那么商品的市場價格應(yīng)能保證市場的供需平衡,但是,實際的市場價格不會恰好等于均衡價格,而且價格也不會是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時間不斷變化的動態(tài)過程.試建立描述市場價格形成的動態(tài)過程的數(shù)學模型假設(shè)在某一時刻,商品的價格為,它與該商品的均衡價格間有差別,此時,存在供需差,此供需差促使價格變動.對新的價格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場價格形成的動態(tài)過程,假設(shè)價格的變化率與需求和供給之差成正比,并記為需求函數(shù),為供給函數(shù)（為參數(shù)）,于是其中為商品在時刻的價格,為正常數(shù).若設(shè),,則上式變?yōu)?①其中均為正常數(shù),其解為.下面對所得結(jié)果進行討論:（1）設(shè)為靜態(tài)均衡價格,則其應(yīng)滿足,即 ,于是得,從而價格函數(shù)可寫為,令,取極限得 這說明,市場價格逐步趨于均衡價格.又若初始價格,則動態(tài)價格就維持在均衡價格上,整個動態(tài)過程就化為靜態(tài)過程；（2）由于,所以,當時,,單調(diào)下降向靠攏；當時,,單調(diào)增加向靠攏.這說明：初始價格高于均衡價格時,動態(tài)價格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價格;否則,動態(tài)價格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了價格影響需求與供給,而需求與供給反過來又影響價格的動態(tài)過程,并指出了動態(tài)價格逐步向均衡價格靠攏的變化趨勢.5.3廣告模型在商品銷售中，很少有像上例中講的僅靠商品自身做廣告，而是要靠各種媒體大肆宣傳。雖然說“只要是美的，人人喜歡”，“酒香不怕巷子深”，但是人們已越來越認識到廣告的作用。本模型就從數(shù)學角度探討廣告與銷售量的關(guān)系，并指出廣告在商品的不同銷售階段的差異。無論你是聽廣播，還是看報紙，或是收看電視，?？煽吹健⒙牭缴唐窂V告。隨著社會向現(xiàn)代化的發(fā)展，商品廣告對企業(yè)生產(chǎn)所起的作用越來越得到社會的承認和人們的重視。商品廣告確實是調(diào)整商品銷售量的強有力手段，然而，你是否了解廣告與銷售之間的內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？這個問題對于生產(chǎn)企業(yè)、對于那些為推銷商品作廣告的企業(yè)極為重要。下面我們介紹獨家銷售的廣告模型。我們假設(shè)：1.商品的銷售速度會因作廣告而增加，但這種增加是有一定限度的，當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于它的極限值，當速度達到它的極限值時，無論再作何種形式的廣告，銷售速度都將減慢。2.自然衰減是銷售速度的一種性質(zhì)，即商品銷售速度隨商品的銷售率增加而減小。3.令表示時刻商品銷售速度；表示時刻廣告水平（以費用表示）；為銷售的飽和水平，即市場對商品的最大容納能力，它表示銷售速度的上極限；為衰減因子，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度，為常數(shù)。問題中涉及的是商品銷售速度隨時間的變化情況：商品銷售速度的變化=增長-自然衰減。為描述商品銷售速度的增長，由模型假設(shè)1知商品銷售速度的凈增長率應(yīng)該是商品銷售速度的減函數(shù)，并且存在一個飽和水平，使得。為簡單起見，我們設(shè)為的線性減函數(shù)，則有，其中用表示響應(yīng)系數(shù)，即廣告水平對商品銷售速度的影響能力，為常數(shù)。因此可建立如下微分方程模型：。從模型方程可知，當或時，都有 。為求解該模型，我們選擇一個廣告策略。在時間段內(nèi)，用于廣告的總費用為，則，代入模型方程有。令，，則有。其解為。若令，則。當時，模型為，其通解為，而時，所以。故。的圖形如圖3-1所示。圖2圖35.4人口預(yù)測模型由于資源的有限性,當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長,為了得到人口預(yù)測模型,必須首先搞清影響人口增長的因素,而影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進去，則無從下手.因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型.1馬爾薩斯（Malthus）模型英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯（1766—1834）在擔任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個常數(shù),于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中,凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數(shù),即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比,比例系數(shù)設(shè)為,在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時間變化的數(shù)學模型.解設(shè)時刻的人口為,把當作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據(jù)馬爾薩斯的假設(shè),在到時間段內(nèi),人口的增長量為,并設(shè)時刻的人口為,于是這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長.模型檢驗：據(jù)估計1961年地球上的人口總數(shù)為,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長,這樣,,,于是.這個公式非常準確地反映了在1700—1961年間世界人口總數(shù).因為,這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者證明這一點）．但是,后來人們以美國人口為例,用馬爾薩斯模型計算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預(yù)測較遙遠的未來地球人口總數(shù)時,發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問題,如按此模型計算,到2670年,地球上將有36000億人口.如果地球表面全是陸地（事實上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非?；闹嚨?因此,這一模型應(yīng)該修改.2邏輯Logistic模型馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測未來的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著,如果當人口較少時,人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話,那么當人口增加到一定數(shù)量以后,這個增長率就要隨人口的增加而減小.因此,應(yīng)對馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設(shè)進行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù),用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說來,一個國家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而就越大）,并假設(shè)將增長率等于,即凈增長率隨著的增加而減小,當時,凈增長率趨于零,按此假定建立人口預(yù)測模型.解由韋爾侯斯特假定,馬爾薩斯模型應(yīng)改為上式就是邏輯模型,該方程可分離變量,其解為,.下面,我們對模型作一簡要分析.（1）當,,即無論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當時,,這說明是時間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由于,所以當時,,單增；當時,,單減,即人口增長率由增變減,在處最大,也就是說在人口總數(shù)達到極限值一半以前是加速生長期,過這一點后,生長的速率逐漸變小,并且遲早會達到零,這是減速生長期；（4）用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計算的結(jié)果與實際人口在1930年以前都非常吻合,自從1930年以后,誤差愈來愈大,一個明顯的原因是在20世紀60年代美國的實際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀初所設(shè)的極限人口.由此可見該模型的缺點之一是不易確定,事實上,隨著一個國家經(jīng)濟的騰飛,它所擁有的食物就越豐富,的值也就越大；(5）用邏輯模型來預(yù)測世界未來人口總數(shù).某生物學家估計,,又當人口總數(shù)為時,人口每年以2%的速率增長,由邏輯模型得,即,從而得,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物,因此,上面關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.5.5混合溶液的數(shù)學模型設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學模型.設(shè)時刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時間內(nèi)容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量－抽出的鹽水中所含鹽量容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設(shè)到時間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變（事實上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時刻在變,由于時間很短,可以這樣看）.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因為時,容器內(nèi)有鹽kg,于是得該問題的數(shù)學模型為這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為.下面對該問題進行一下簡單的討論,由上式不難發(fā)現(xiàn):時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,且當時,,即長時間地進行上述稀釋過程,容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量注入質(zhì)量濃度為的溶液（指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同）,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時間的數(shù)學模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為,原來的初始質(zhì)量為,=0時溶液的體積為,在d時間內(nèi),容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量,即,其中是流入溶液的質(zhì)量濃度,為時刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,于是,有混合溶液的數(shù)學模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.5.6振動模型振動是生活與工程中的常見現(xiàn)象.研究振動規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中,許多振動現(xiàn)象都可以抽象為下述振動問題.設(shè)有一個彈簧,它的上端固定,下端掛一個質(zhì)量為的物體,試研究其振動規(guī)律.假設(shè)（1）物體的平衡位置位于坐標原點,并取軸的正向鉛直向下（見圖4）.物體的平衡位置指物體處于靜止狀態(tài)時的位置.此時,作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物體離開平衡位置,并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動；（3）物體在時刻的位置坐標為,即時刻物體偏離平衡位置的位移；（4）在振動過程中,受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比,阻力的方向總是與速度方向相反,因此阻力為,為阻尼系數(shù)；（5）當質(zhì)點有位移時,假設(shè)所受的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的,而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置,也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反,因此所受彈簧恢復(fù)力為,其中為勁度系數(shù)；（6）在振動過程中受外力的作用.在上述假設(shè)下,根據(jù)牛頓第二定律得圖4,①圖4這就是該物體的強迫振動方程.由于方程①中,的具體形式?jīng)]有給出,所以,不能對式①直接求解.下面我們分四種情形對其進行討論.1無阻尼自由振動在這種情況下,假定物體在振動過程中,既無阻力、又不受外力作用.此時方程①變?yōu)? ,令,方程變?yōu)?特征方程為 ,特征根為 ,通解為 ,或?qū)⑵鋵憺槠渲?,.這就是說,無阻尼自由振動的振幅,頻率均為常數(shù).2有阻尼自由振動在該種情況下,考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時,方程①變?yōu)?令,,方程變?yōu)?特征方程為,特征根.根據(jù)與的關(guān)系,又分為如下三種情形：(1)大阻尼情形,>.特征根為二不等實根,通解為(2)臨界阻尼情形,.特征根為重根,通解為這兩種情形,由于阻尼比較大,都不發(fā)生振動.當有一初始擾動以后,質(zhì)點慢慢回到平衡位置,位移隨時間的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示.圖5圖6(3)小阻尼情形,<.特征根為共軛復(fù)根,通解為將其簡化為其中振幅隨時間的增加而減小.因此,這是一種衰減振動.位移隨時間的變化規(guī)律見圖7.3無阻尼強迫振動在這種情形下,設(shè)物體不受阻力作用,其所受外力為簡諧力,此時,方程①化為圖7,,根據(jù)是否等于特征根,其通解分為如下兩種情形：（1）當時,其通解為,此時,特解的振幅為常數(shù),但當接近于時,將會導(dǎo)致振幅增大,發(fā)生類似共振的現(xiàn)象；（2）當時,其通解為,此時,特解的振幅隨時間的增加而增大,這種現(xiàn)象稱為共振,即當外力的頻率等于物體的固有頻率時,將發(fā)生共振.4阻尼強迫振動在這種情形下,假定振動物體既受阻力作用,又受外力的作用,并設(shè),方程①變?yōu)?特征根,則不可能為特征根,特解為,其中,,還可將其化為,由此可見,在有阻尼的情況下,將不會發(fā)生共振現(xiàn)象,不過,當時,,若很小,則仍會有較大的振幅；若比較大,則不會有較大的振幅.5.7教育問題模型改革開放以來，我國的教育取得了深遠的發(fā)展，教育理念也發(fā)生了重大的變化，比如高等教育逐步采取了收費制度并相對完善了資助政策。高等教育經(jīng)費轉(zhuǎn)變?yōu)橛烧斦芸?、學校自籌、社會捐贈和學費收入等幾部分組成，一方面減輕了國家的負擔，另一方面也符合當下“誰獲益誰出資”的大眾看法。然而學費多少合適也隨之成為一個敏感而又復(fù)雜的問題?，F(xiàn)在我國各重點高校普通專業(yè)學費大約為4000-6000元，這樣的標準是否合適？現(xiàn)在的問題就是如何綜合考慮家庭可支付能力和學校的教學質(zhì)量，提出一個合理的收費標準。學費過低會影響學校的教學質(zhì)量，過高又會超過很多家庭的可支付能力，本文給出的模型要對以上兩項做到統(tǒng)籌兼顧。首先，我們看到現(xiàn)在有些高校由于收入與支出的不平衡而出現(xiàn)了大額的銀行欠款，進而影響到其在社會中的聲譽。很多教師和學生在通過比較后會選擇聲譽較好的學校教學或求學，因此上面提到的這類高校的教學質(zhì)量顯然會出現(xiàn)嚴重的下滑。所以高校教育學費的制定，首先要考慮的是保證學校的收支平衡問題。同時，大學收益的增加對其教學質(zhì)量是有正相關(guān)的作用的。其次，高校學費的制定必須考慮到家庭的可承受能力，而每個家庭的收入是不盡相同的。這樣，學費越高，就有越多的家庭無力支付這筆費用，它們之間可以認為是一個負相關(guān)的函數(shù)。這樣看來，建立兩個目標函數(shù)進行最優(yōu)規(guī)劃是一個不錯的選擇，但兩個目標的權(quán)重卻難以確定。權(quán)衡之下，我們希望讓家庭的可支付能力在學校的收益中得到體現(xiàn)，兩個函數(shù)合并，模型會簡單很多。實際情況中，雖然現(xiàn)行學費不低，但高校入學率卻居高不下。究其原因，國家助學貸款起到很大作用。為簡化模型，本文把需要申請助學貸款的學生與因無力支付學費而放棄學業(yè)的學生歸為一類，然后建立一個高校收益的模型。這樣我們就可以把家庭的支付能力與高校的收益聯(lián)系起來，進而通過對該模型的分析，確定一個合適的學費標準。由于該問題實在太大，所以在模型的建立過程中，大量合理的假設(shè)是必不可少的，一些為了模型的簡化做出的數(shù)據(jù)的適當忽略也是情有可原的。學校的總支出與學生人數(shù)存在函數(shù)關(guān)系。學校的年固定支出與在校生人數(shù)無關(guān)。3、學校每年所接受的社會捐贈等收入與的數(shù)目與在校人數(shù)無關(guān)。4、將因家庭經(jīng)濟原因而申請助學貸款的學生和因無力承擔高校費用而輟學的學生同歸為因高校收費過高而無力承擔的一類。5、高校教育投入的多少完全量化了培養(yǎng)質(zhì)量的高低。1.模型一考慮邊際成本的收費模型假設(shè)高校的非固定成本與學生數(shù)存在函數(shù)關(guān)系，設(shè)關(guān)系式為（1）其中,c,d是待定常數(shù)，N是高校的學生數(shù)，B是高校的非固定成本。該式表明，高校的非固定成本是隨著在校生人數(shù)的增加而增長的。邊際成本是非固定成本對學生數(shù)的導(dǎo)數(shù)，公式為：,（2）式中，F(xiàn)m是邊際成本確定的培養(yǎng)一個學生需要的非固定成本。該式確定了高校需要為每位學生投入的人均非固定成本?？紤]到高校的固定成本投入，得到最優(yōu)學費標準為：,(3)其中，T是高校的固定成本，F(xiàn)是生均最優(yōu)學費標準。上面的結(jié)果明顯忽略了一些很重要的影響因素，如國家生均撥款、社會救助和區(qū)域經(jīng)濟狀況，于是必須對上面的（3）進行改進。改進方法是在方程的右邊減去一個待定常數(shù)a，常數(shù)a由上面提到的各因素決定。模型為：，（4）其中，a為待定常數(shù)，表示國家和社會對學生的平均補助。該式表明，高校中人均所承擔的費用應(yīng)是人均非固定成本與人均固定成本之和減去國家和社會平均給每位學生補助的款項。2.模型二基于盈虧平衡的學費模型考慮到學校和家庭的利益，通過學校所收學費的盈虧情況，建立一個相應(yīng)的盈虧模型。在把需借助國家助學貸款才能維持學業(yè)的學生看做與因無力支付學費而放棄學業(yè)的學生當做因高校收費過高而無力承擔的同一類后，我們可以確定在校生數(shù)與學費之間存在一個簡單的函數(shù)關(guān)系：,（5）式中，b是待定常數(shù)，e是學費彈性系數(shù)，其中e＜0.該式表明，高校的在校生人數(shù)是隨著收費的增加而減少的。學費收入為：（6）高?？偸杖霝椋?(7)將（5）帶入（1），得高校非固定成本：,(8)當總收入和非固定成本達到平衡時，學費最合理，得：即，（9）3.模型三考慮各方利益最大化的模型高等教育的學費必須兼顧高校的發(fā)展和家庭的可支付能力兩個方面，最優(yōu)學費應(yīng)該在保證盡量多的學生入學的同時盡量增加學校的收益，以使學校能有一定的資金用于學校的軟硬件建設(shè)，提高教學質(zhì)量。本文假設(shè)學費彈性系數(shù)e是學費F的函數(shù)，且衡小于零。則（6）可以改為：,(10)對（10）兩邊取對數(shù)，然后關(guān)于F求導(dǎo)，得：,(11)由于在H關(guān)于F的導(dǎo)數(shù)值為零時，高校收益取得極大值。因此令,化簡得：,(12)解上述微分方程，得：,(13)對（5）取對數(shù)，得：,(14)將（14）帶入（13），化簡得,(15)得到保證學生數(shù)的情況下的最優(yōu)學費：其中，N0是可接受學生數(shù)，k為積分常量。4.層次分析模型從學校教學質(zhì)量、學校利益、學生利益三個方面綜合選取指標對以上三個學費制定方案模型進行綜合評價。設(shè)對k個決策目標進行m項指標綜合評價，其指標集Aij(i=1,2,…，m;j=1,2,…，k)，再對其進行如下標準化取值：，其中，,.目標值：，其中，為第i個指標的權(quán)重，Bj是根據(jù)層次分析模型計算出來的第j個決策目標的目標值。目標值越大，該學費制定方案越優(yōu)。6總結(jié)本文列舉了大量的數(shù)學建模實例，通過實例可以發(fā)現(xiàn)，在生物學、經(jīng)濟學、化學、物理學等各個學科中，都能找到常微分方程的影子。微分方程作為數(shù)學科學的中心學科，已經(jīng)有300多年的發(fā)展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解提