25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課04基本不等式

基礎(chǔ)課04基本不等式考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)基本不等式及其應(yīng)用掌握2023年天津卷T2022年新高考Ⅱ卷T★★☆邏輯推理數(shù)學(xué)運算命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，基本不等式是高考的熱點，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題中等難度.預(yù)計2025年高考的命題會與其他知識交匯一、基本不等式：ab1.基本不等式成立的條件：①a>0,2.等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)②a=3.其中③a+b2叫作正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，④ab叫作正數(shù)a二、幾個重要不等式1.a2+b2.ba+ab≥⑥2(3.ab≤⑦a4.a2+b以上不等式等號成立的條件均為a=三、利用基本不等式求最值已知x>0，1.如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+2.如果x+y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，1.若a,b>0,則212.要盡量避免多次使用基本不等式求最值.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）不等式a2+b2≥（2）函數(shù)y=x+（3）函數(shù)y=sinx+4sin（4）“x>0且y>0”是“2.（易錯題）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則當(dāng)1x【易錯點】忽視等號成立的條件致誤.[解析]因為x，y為正數(shù)，且x+2y=1，所以1x+1y=x+題組2走進教材3.（人教A必修①P49·T5改編）已知x>0，則2?[解析]因為x>0，所以3x>0，且4x>0，所以2?3x4.（人教A必修①P58·T5改編）若a>0，b>0，且ab=[解析]因為a>0，b>0，所以ab=a+b+3≥2ab題組3走向高考5.[2021·全國乙卷]下列函數(shù)中最小值為4的是(C).A.y=x2C.y=2x[解析]對于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=?1時，等號成立，所以其最小值為3，故A錯誤；對于B，因為0<sinx≤1，y=sinx+4sinx≥24=4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=考點一利用基本不等式求最值［多維探究］配湊法典例1（1）[2024·遼陽模擬]（多選題）已知x>1，則x+A.9 B.10 C.11 D.12[解析]因為x>1，所以x?1>0，所以x+25x（2）已知0<x<3，則[解析]因為0<x<3，所以2x3?x=1配湊法求解最值應(yīng)注意的問題1.配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形.2.代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo).3.拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的條件.常數(shù)代換法典例2已知a>0，b>0，a+[解析]∵a>0，b∴1a+1b=1變式設(shè)問若將本例中的條件“a+b=1”改為“a+[解析]∵a>0，b>0，a+b=∴a+b=a+b1.通過常數(shù)代換法并利用基本不等式求解最值的基本步驟（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積為定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值.2.用常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意的問題（1）條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；（2）將已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵；（3）利用基本不等式求最值時要注意基本不等式的前提條件.消元法典例3[2024·新疆聯(lián)考]設(shè)x>0,xy+y=A.43?1 B.43+[解析]由題意得x>0,xy+y=當(dāng)且僅當(dāng)3x+1=4x+1，即利用消元法求最值，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但應(yīng)注意各個元的范圍.1.（多選題）設(shè)正實數(shù)m，n滿足m+n=A.1m+1n的最小值為2C.m+n的最大值為4 D.m[解析]∵m>0,n∴1當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn，即∵m+n=2≥2∵m+n2≤2[m2m2+n2≥m+2.已知0<x<1,則[解析]y=當(dāng)且僅當(dāng)1?x3x=x1?3.設(shè)正實數(shù)x,y滿足x2+2xy?1[解析]根據(jù)題意可得y=1?x22x=所以3x2+4y2=考點二基本不等式的綜合問題［師生共研］典例4（1）[2024·河南模擬]在△ABC中，D是AB邊上的點，AD=2DB，E在線段CD上（不含端點），且AE=xA.3+22 B.4+2[解析]因為D是AB邊上的點，AD=2DB，所以AD=因為E在線段CD上（不含端點），所以存在實數(shù)λ∈0,所以AE=又因為AE=xAB+yACx,y因為λ∈0,1，所以所以x+2yxy=2所以x+2yxy的最小值為4（2）若正實數(shù)x,y滿足x+2y=4，且不等式m2A.?43,C.?1,4[解析]因為2x+1y+1=要使不等式m2+1所以m∈?∞,?4基本不等式的綜合問題的解題思路基本不等式的綜合問題多與其他知識交匯，其核心思路是利用其他知識得到利用基本不等式求最值的條件，如兩個數(shù)的和為定值、兩個數(shù)的積為定值等，然后根據(jù)此定值求其他代數(shù)式的最值.1.[2024·葫蘆島模擬]已知在△ABC中,點P滿足2BP=PC,過點P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點M,N,若AM=xABA.3 B.32 C.1 D.[解析]如圖,由題意可知,AP=又AM=xAB∴AP=2AM3x+AN∴23x+13y=1,∴2x+2.[2024·黑龍江模擬]已知正數(shù)x，y滿足x+y=4，若a≤[解析]已知正數(shù)x,y滿足x+所以x+1+則x======≥12當(dāng)且僅當(dāng)4x+17y要使a≤x2x+1+y2考點三基本不等式的實際應(yīng)用［師生共研］典例5[2024·安徽模擬]某企業(yè)計劃2023年引進新型環(huán)保設(shè)備生產(chǎn)新能源汽車，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百輛）汽車，需另投入成本Cx萬元，且C（1）求2023年的利潤L（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系式Lx（其中利潤=（2）當(dāng)2023年新能源汽車的產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求最大利潤.[解析]（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)0<x<當(dāng)x≥20時，L（2）當(dāng)0<x<∴當(dāng)x=15時，當(dāng)x≥20時，當(dāng)且僅當(dāng)x=400x綜上，當(dāng)x=15時，即當(dāng)2023年新能源汽車的產(chǎn)量為1500輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1250萬元.1.利用其他知識點進行條件轉(zhuǎn)化，表示出要求最值的式子，根據(jù)條件，利用基本不等式求最值.2.利用基本不等式解決實際問題的步驟（1）先理解題意,設(shè)變量.設(shè)變量時,一般把要求的最大值或最小值的變量定為函數(shù).（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.（3）在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值.（4）正確寫出答案.[2024·哈爾濱模擬]某農(nóng)場發(fā)現(xiàn)有400平方米的農(nóng)田遭遇洪澇，每平方米農(nóng)田受災(zāi)造成直接損失400元，且滲水面積將以每天10平方米的速度擴散，相關(guān)部門立即組織人力進行搶修，每位搶修人員每天可搶修農(nóng)田5平方米，勞務(wù)費為每人每天400元，還為每位搶修人員提供240元物資補貼.若安排x位搶修人員參與搶修，則需要t天完成搶修工作，滲水造成的總損失（總損失=因滲水造成的直接損失+各項支出費用）為y元.（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；[解析]因為每位搶修人員每天可搶修農(nóng)田5平方米，需要t天完成搶修工作，所以可得400+10t=5xt，即t=80x因為總損失=因滲水造成的直接損失+各項支出費用，所以y=將t=80x（2）應(yīng)安排多少位搶修人員參與搶修，才能使總損失最小，并求出總損失.[解析]y=當(dāng)且僅當(dāng)240x?2所以應(yīng)安排42位搶修人員參與搶修，才能使總損失最小，此時總損失為211680元.基本不等式鏈若a>0,則21a+其中21a+1bab叫作a,b的幾何平均數(shù)；a+b2叫作aa2+b22這一結(jié)論，稱為基本不等式鏈.典例（一題多解）若a>0,b>[解析]（法一：直角模型）分別以a+b2,a?b2為直角邊作直角三角形ABC，其中AB=a+b2,AC=a?b2，再分別以則根據(jù)勾股定理可得BC=a2再利用△ADE～△BAD從而DE<AD<當(dāng)a=b時,綜上，結(jié)論成立.（法二：切割線模型）如圖2，設(shè)MP=a,MQ=b,a>由圓的切割線定理MG2=由射影定理MG2=由勾股定理可得RM=從而HM<MG<當(dāng)a=b時,綜上，結(jié)論成立.