數(shù)學(xué)滬科版八年級（上冊）第3課時(shí) 角平分線的判定

滬科版·八年級上冊第3課時(shí)角平分線的判定導(dǎo)入新知

寫出上面角平分線性質(zhì)定理的逆命題.

這逆命題是真命題嗎？如果是真命題請寫出已知、求證，并指出證明.【歸納結(jié)論】角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

如圖所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，則點(diǎn)P與∠AOB有什么特殊關(guān)系？例1

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，AC的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分別為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE.同理,PE=PF.∴PD=PE=PF,即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.1.如圖所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC.求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.運(yùn)用新知證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（對頂角相等）∴△BOD≌△COE（AAS）∴OD=OE.∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.（角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）2.如圖所示，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，E為OA上一點(diǎn)，∠PEO+∠PFO=180°.求證：OE+OF=2OD.證明：如圖所示，過點(diǎn)P作PM⊥OB于點(diǎn)M.∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）∴PD=PM.（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）在Rt△POD和Rt△POM中，∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）∴OD=OM.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）∠PFM+∠PFO=180°，（平角定義）∴∠PED=∠PFM.又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定義）在△PDE和△PMF中，∴△PDE≌△PMF，（AAS）∴DE=MF，（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代換）隨堂演練1.如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4，則PD＝(

)CA．4

B．3

C．2

D．12.到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的(

)A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D．三條角平分線的交點(diǎn)D3.如圖所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點(diǎn)D，若BD＝CD.求證：AD平分∠BAC.證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∴點(diǎn)D在∠BAC平分線上，A