概率論和數(shù)理統(tǒng)計第二章課后習題答案解析

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

第二章

1.一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只：以X表示取出的3

只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.

【解】

X：3,4,5

P(X3)0.1

P(X4)0.3

P(X5)0.6

5

故所求分布律為

X345

P0.10.30.6

2.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣,

以X表示取出的次品個數(shù)，求：

(1)X的分布律；

(2)X的分布函數(shù)并作圖；

(3)133

尸

X0X4X寸2

p{p(12{3X1p(X1

【解】

XX

1,2①.

X^

P(c-

PR(D-

c^

&春

2)

ci;—

c

伯35

故X的分布律為

X0I2

P22121

353535

(2)當x<0時，F(xiàn)(x);P(XWx)=0

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當OWx〈l時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=P(X=O)=—

35

34

當14<2時,F(x)=P(XWx)=P(X=O)+P(X=1)=—

當x22時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=1

故X的分布函數(shù)

0,x0

1,x2

(3)

3.射手向目標獨立地進行了3次肘擊，每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)

的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.

【解】

設X表示擊中目標的次數(shù)則X=0,1,2,3.

P(X0)(0.2)30.008

P(X1)00.8(0.2)20.096

P(X2)02(0.8)20.20.384

3

P(X3)(0.8)30.512

故X的分布律為

X0123

P0.0080.0960.3840.512

分布函數(shù)

0,x0

0.008,0x1

Fix)0.104,1x2

0.488,2x3

1,x3

P(X2)P(X2)P(X3)0.896

4.(1)設隨機變量X的分布律為

k

P(x=k}=a-j-p,

其中k=0,1,2,…，入＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.

(2)設隨機變量X的分布律為

P{X=k)=a/N,k=l,2,…，N,

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試確定常數(shù)a.

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解1(1)由分布律的性質知

1P(Xk)aJLae

k0k0

故aea

(2)由分布律的性質知

1NP(Xk)Na

k1k1

即a1.

5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次.求：

(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；

(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.

【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X?b(3,0.6),Y~b(3,0.7)

(1)

P(X3,Y3)

(0.4)3(03)3。0.6(0.4)2007(0.3)2+

33

0(0.6)20.402(0.7)20.3(0.6)3(07)3

33

0.32076

(2)

=0.243

6.設某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02,且設

各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即

降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降

落)？

(解】設X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則X~b(200,0.02),設機場需配備N條跑道，

則有

P(XN)0.01

200

即O(0.02)k(0.98)200k0.01

200

利用泊松近似kN1

np2000.024.

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e44K

P(XN)--2-0.01

k!

kN1

查表得N29.故機場至少應配備9案跑道.

7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的

某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過,

問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？

【解】設X表示出事故的次數(shù),則X~b(1000,0.0001)

8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P(X=1)=P{X=2},求概率P(X=4}.

【解】設在每次試驗中成功的概率為P，則

故

1210

所以RX韋Ct(^--43

9.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，

(1)進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；

(2)進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.

闡(1)設X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則)C6(5,0.3)

P(X3)50(0.3>(0.7)5k0.16308

5

k3

(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b(7,0.3)

P(Y3)7O(0.3>(0.7)7k0.35293

7

k3

10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松

分布，而與時間間隔起點無關(時間以小時計).

(1)求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；

(2)求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.

解(1)P(X0)e2(2)P(X1)1P(X0)1e2

11.設P{X=k}=C"k(ip)2k,k=0,1,2

P{Y=m}=Cmpm(1p)4m,

4

HFO,1,2,3,4

分別為隨機變量X,Y的概率分布，如果已知P{X21}=試求P{Y21}.

9

54

【解】因為P(X1)故P(X1)

99

而P(X1)P(X0)(1P)2

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4

故得(1P)2a，

J

65

從而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4rZ0.80247

81

12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書

中恰有5冊錯誤的概率.

【解】令X為2000冊書中錯誤的附數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算，

np20000.0012

e225

得P(X5)0.0018

5!

31

13.進行某種試驗，成功的概率為失敗的概率為二.以X表示試驗首次成功所需試驗的

44

次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.

【解】X1,2,,k,

P(Xk)(l)k11

??????

P(X2)P(X4)P(X2k)

品(那一

1

3.41......

41(%25

4

14.有2500■名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡

的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可

從保險公司領取2000元賠償金.求：

(1)保險公司虧本的概率；

(2)保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”為單位來考慮.

(1)在1月1日，保險公司總收入為2500X12=30000元.

設1年中死亡人數(shù)為X,則X、(2500,0.002),則所求概率為

P(2000X30000)P(X15)1P(X14)

由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松近似，有

14P5

P(X15)10.000069

k0,

(2)P(保險公司獲利不少于10000)

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P(300002000X1COOO)P(X10)

1°空_0,986305

k!

k0

即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上

P(保險公司獲利不少于2000。)P(300002000X20000)P(X5)

0.615961

k!

k0

即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%

15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為

f(x)=Aei,8<x<+8,

求(DA值；(2)P{0<X〈D;(3)F(x).

闡⑴由f(X)dx1得

1Aewdx2Ae心2A

o

1

故A

2,

1

11(1e

⑵P(0X1)AeMx

202

x1.1

⑶當x<o時，F(xiàn)(x)一e*dx一①

22

oxleMx

當x20時，F(xiàn)(x)x-eNdx

2o2

1

1-ex

2

1

Xx0

故

F(x)

x0

1ex

2

16.設某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電了管，電了管使用壽命X的密度函數(shù)為

100

x100,

f(x)=x2，

0,x100.

求(D在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；

(2)在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率;

(3)F(x).

【解】

(1)P(X150)15o40Gdx京

iooX23

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R[P(X150)?(|)3A

124

⑵P2C；3(3)29

(3)當x<100時F(x)=0

當x2100時F(x)xf(t)dt

100f(t)dtxf(t)dt

100

X雪巴

100t2X

100

1?x100

故F(x)X

0,x0

17.在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質點，以X表示這質點的坐標，設這質點落在[0,a]

中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).

【解】由題意知X~U[0,a],密度函數(shù)為

1

\一,0xa

f(x)a

0,其他

故當x<0時F(x)=0

xf(t)dtxf(t)dtxldtx_

當OWxWa時F(x)

00aa

當x>a時，F(xiàn)(x)=1

即分布函數(shù)

0,x0

X

F(x)Oxa

a，

1,xa

18.設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測

值大于3的概率.

【解】X?U[2,5],即

1

...—,2x5

f(x)31

0,其他

P(X3)51dxz

333

故所求概率為

21220

P對手叫327

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1

19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分鐘計)服從指數(shù)分布E(g某顧客在窗

口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次以Y表示一個月內(nèi)他未

等到服務而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y21}.

【解】依題意知X~E(：),即其密度函數(shù)為

14

f(x)X0

0,x0

該顧客未等到服務而離開的概率為

1I

P(X10)-e5dxG2

io5

Y~b(5,e2),即其分布律為

P(Yk)O(e2)k(le2)5k,k0,12,3,4,5

P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167

20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X

服從N(40,102)；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N(50,42).

(1)若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些？

(2)又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把獴大些？

解(1)若走第一條路，X~N(40,102),則

c?cX406040

PX60P-----------------------(2)0.97727

1010

若走第二條路，X~N(50,42),則

cx506050

P(X60)P------------------------(2.5)0.9938++

44

故走第二條路乘上火車的把握大些.

(2)若X~N(40,102),貝J

X404540

P(X45)P(0.5)0.6915

1010

若X~N(50,42),則

X504550

P(X45)P(1.25)

44

1(1.25)0.1056

故走第一條路乘上火車的把握大些.

21.設X~N(3,22),

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(1)求P(2〈XW5},P{4<X<10),P{IXI>2),P(X>3};

(2)確定c使P(X>c}=P{X<0.

23X353

闕（1）P(2X5)P

~2~22~

1

2-

0.841310.69150.5328

；X3103

P(4X10)P

22~

77-0.9996

22

P(|X|2)P(X2)P(X2)

23_X323

2222

1515

1---1

2222

0.691510.99380.6977

P(X3)P(2L2身(0)0.5

(2)c=3

22.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)X~N(10.05,0.06?),規(guī)定長度在10.05+0.12內(nèi)為合格

品,求一螺栓為不合格品的概率.

?CX10.0510.12

【解】P(|X10.0510.12)P-------------\——

0.060.Q6

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命K（小時）服從正態(tài)分布N（160,02）,若要求P{120VXW200}

20.8,允許。最大不超過多少？

120160X160200160

【解】H(1ZUXNUU)M

40”240

10.8

40

故31.25

T29

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24.設隨機變量X分布函數(shù)為

ABe%x0,

F(x)=0),

0,x0.

(1)求常數(shù)A,B；

(2)求P{XW2},P{X>3)；

(3)求分布密度f(x).

limF(x)1A1

解】(1)由x

hmF(x)hmF(x)B1

x0x0

(2)P(X2)F(2)1e2

P(X3)1F(3)1(1e3)e3

ex,x0

(3)f(x)F(x)

0,x0

25.設隨機變量X的概率密度為

X,0x1,

f(x)=2x,1x2,

0,其他.

求X的分布函數(shù)F(x),并畫出f(x)及F(x).

【解】當x<0時F(x)=0

f(t)dtxf(t)dt

當0Wx〈l時F(x)*f(t)dt

o

X2

xtdt

T

0

當lWx<2時F(x)Xf(tyit

of°t

f(t)dt1fodt

北xdt

1。

—Qt

tdt

03

1X22X一

-*-

-2

22

2X

1

當x22時F(X)*f(t)dt1

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0,x0

0x1

故F(x)'

_2x1,1x2

2

1,x2

26.設隨機變量X的密度函數(shù)為

(1)f(x)=aex,X>0;

bx,0x1,

1

(2)f(x)=—,1x2,

X2

0,其他.

試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).

Oo

【解】⑴由f(x)dx1知1aewdx2ae><dx_

故a

2

e，x0

即密度函數(shù)為

f(x)_

exx0

2

一斗

xx

當xWO時F(x)f(x)dx2exdx

f(x)dx°_6心*_e幻x

當x〉0時F(x)x

2oz

4

1ex

2

故其分布函數(shù)

4-

1e,x0

F(x)~

ex,x0

2

乎I11

(2)由1f(x)dx

2

得b=l

即X的密度函數(shù)為

20x1

f(x)修，1x2

0,其他

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當xWO時F(x)=0

當O〈x〈l時F(x)xf(x)dx0f(x)dxxf(x)dx

o

X?

Xxdx

oT

x1.

當lWx<2時F(x)xf(x)dx°Odx1xdxdx

01X2

3

2x

當x22時F(x)=1

故其分布函數(shù)為

0,X0

X2

0x1

N'

F(x)

31

——J1x2

2x

1,X2

27.求標準正態(tài)分布的上分位點,

(1)=0.01,求Z;

(2)=0.003,求Z,Z

12

【解】⑴P(Xz)0.01

即1(z)0.01

即(z)0.09

故z2.33

(2)由P(Xz)0.003得

1(z)0.003

即(z)0.997

查表得z2.75

由P(Xz)0.0015得

12

1(z)0.0015

/2

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即(z)0.9985

r2

查表得z

2.96

12

28.設隨前變量X的分布律為

X2I0I3-

氣-------475----------176--------175-----------I7T5----------TT73U

求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值為0,1,4,9

P(Y0)P(X0)

十十個

P(Y1)P(X1)P(X1)

61530

P(Y4)P(X2)

5

tl-

1/5+7/301/5

29.設P{X=k}=(2”,k=l,2,…，令

1,當X取偶數(shù)時

1,當X取奇數(shù)時.

求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

TTT

(2卜塞(2產(chǎn)一

TTT

(4)/(14)3

P(Y1)1P(Y1)；

30.設)CN(0,1).

(1)求丫=8的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求Y=1X1的概率密度.

陶⑴當yWO時，F(xiàn)(y)P(Yy)0

Y

當y〉0時，F(xiàn)(y)P(Yy)P(exy)P(XIny)

Y

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(x)dx

ai-(V)?'i'i2"2

故f(y)—^――fQny)---f=e,y

Ydyyx丫曬

⑵P(Y2X211])1

當yWl時F(y)P(Yy)0

Y

當y>l時F(y)P(Yy)P(2X21y)

Y

2y_2

PXPvXv-2-

22

J

型”f(x)dx

故f,(y)：hy)X六f)

(X

22

彳號1

2y12/…丫1

(3)P(Y0)1

當yWO時F(y)P(Yy)0

Y

當y>0時F(y)P(|X|y)P(y：xy)

Y

yf(x)dx

yx

故IW)￡F(y)f(y)f(y)

YnvYXX

.2

'~ey/2,y0

2兀

31.設隨機變量X~U(0,1),試求：

(1)Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；

(2)Z=21nx的分布函數(shù)及密度函數(shù).

【解】(DP(0X1)1

故P(1Yexe)1

當y1時Fy(y)P(Yy)0

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當1。<6時,(丫)P(exy)IIny)

lnydxIny

0

當y，e時F(y)P(exy)1

Y

即分布函數(shù)

0,y1

FY(y)Iny,1ye

1,ye

故Y的密度函數(shù)為

—1ye

fY(y)y,

0,其他

(2)由P(O<X<1)=1知

P(Z0)1

當zWO時，F(xiàn)g⑵P(Zz)0

當z>0時，F(xiàn)(z)P(Zz)P(2lnXz)

Z

P(lnXf)P(Xe42

1dx1ez/2

e

即分布函數(shù)

0,z0

Fz(z)1ez2z0

故z的密度函數(shù)為

1

_ez/2,z0

f(z)2

0,z0

32.設隨機變量X的密度函數(shù)為

2x-

\0X71,

f(x)二兀2

0,其他.

試求Y=sinX的密度函數(shù).

【解】P(0Y1)1

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當yWO時，F(xiàn)y(y)P(Yy)0

當O〈y〈l時，F(xiàn)(y)P(Yy)P(sinXy)

Y

P(OXarcsiny)P(兀arcsinyX兀)