高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)3.4　數(shù)學(xué)建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點(原卷版+解析)

3.4數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點一、單選題1．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系圖象如圖，則時，汽車已行駛的路程為（

）A．100km B．125kmC．150km D．225km2．如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若處有一棵樹與兩墻的距離分別是和，不考慮樹的粗細(xì)．現(xiàn)用長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃．設(shè)此矩形花圃的最大面積為，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)（單位）的圖像大致是（

）.A． B．C． D．3．某物體一天中的溫度T是關(guān)于時間t的函數(shù)：，時間單位是小時，溫度單位是℃，表示中午12：00，其前t值為負(fù)，其后t值為正，則上午8時的溫度是（

）A．8℃ B．12℃ C．58℃ D．18℃4．如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖①是產(chǎn)品日銷售量y（單位：件）與時間t（單位；天）之間的函數(shù)關(guān)系，圖②是一件產(chǎn)品的銷售利潤z（單位：元）與時間t（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系，已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤，下列結(jié)論錯誤的是A．第24天的銷售量為200件B．第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C．第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等D．第30天的日銷售利潤是750元5．把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．6．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2020年5月1日12350002020年5月15日6035600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每百千米平均耗油量為（

）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升7．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過的，按每立方米元收費；用水超過的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費元，則該職工這個月實際用水為（

）A． B． C． D．8．某學(xué)校制定獎勵條例,對在教育教學(xué)中取得優(yōu)異成績的教職工實行獎勵,其中有一個獎勵項目是針對學(xué)生高考成績的高低對任課教師進(jìn)行獎勵的.獎勵公式為f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任課教師所在班級學(xué)生的該任課教師所教學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差,f(n)的單位為元),而k(n)=現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師,甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分,而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分,則乙所得獎勵比甲所得獎勵多()A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700元二、多選題9．在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度隨著時間變化的情況由計算機(jī)記錄后顯示的圖像如圖所示給出下列說法，其中正確的是（

）A．前5min溫度增加的速度越來越快B．前5min溫度增加的速度越來越慢C．5min以后溫度保持勻速增加D．5min以后溫度保持不變E．溫度隨時間的變化情況無法判斷10．某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲廠的總費用（千元）乙廠的總費用（千元）與印制證書數(shù)量x（千個）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則（

）A．甲廠的制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元B．甲廠的費用與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為1.5元D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為E．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用三、填空題11．某數(shù)學(xué)練習(xí)冊，定價為40元.若一次性購買超過9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈送10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優(yōu)惠10元，并且贈送20元代金券.某班購買x(x∈N*，x≤40)本，則總費用與x的函數(shù)關(guān)系式為____(代金券相當(dāng)于等價金額).12．某廠日產(chǎn)手套總成本y（元）與手套日產(chǎn)量x（副）的關(guān)系式為，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少________副.13．能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達(dá)到最小值時，隔熱層厚度__________厘米.14．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當(dāng)速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為________海里/小時時，總費用最?。?、解答題15．以貫徹“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為目的，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(百元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（提示：平均處理成本為）(2)該單位每月處理成本的最小值和最大值分別是多少百元？16．某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)1百臺時又需可變成本（即需另增加投入）0.25萬元，市場對此商品的需求量為5百臺，銷售收入（單位：萬元）的函數(shù)為，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)并售出的數(shù)量（單位：百臺）.（1）把利潤表示為產(chǎn)量的函數(shù).（2）產(chǎn)量為多少時，企業(yè)才不虧本（不賠錢）；（3）產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所得利潤最大？3.4數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點一、單選題1．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系圖象如圖，則時，汽車已行駛的路程為（

）A．100km B．125kmC．150km D．225km【答案】C【分析】根據(jù)題中圖像，直接計算，即可得出結(jié)果.【詳解】由題中圖像可得，時，汽車行駛的路程為：.故選：C.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.2．如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若處有一棵樹與兩墻的距離分別是和，不考慮樹的粗細(xì)．現(xiàn)用長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃．設(shè)此矩形花圃的最大面積為，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)（單位）的圖像大致是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求矩形面積的表達(dá)式，又要注意點在長方形內(nèi)，所以要注意分析自變量的取值范圍，并以自變量的限制條件為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)的圖象即可．【詳解】設(shè)長為，則長為，又因為要將點圍在矩形內(nèi)，，則矩形的面積為，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由函數(shù)特征可知B選項正確.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)軌跡圖象的判斷，考查推理論證能力，考查分類與整合思想，屬于?？碱}.3．某物體一天中的溫度T是關(guān)于時間t的函數(shù)：，時間單位是小時，溫度單位是℃，表示中午12：00，其前t值為負(fù)，其后t值為正，則上午8時的溫度是（

）A．8℃ B．12℃ C．58℃ D．18℃【答案】A【分析】根據(jù)題意上午8時，即代入函數(shù)表達(dá)式即可.【詳解】求上午8時的溫度，即求時函數(shù)的值，所以.故選A.【點睛】本題考查求二次函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4．如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖①是產(chǎn)品日銷售量y（單位：件）與時間t（單位；天）之間的函數(shù)關(guān)系，圖②是一件產(chǎn)品的銷售利潤z（單位：元）與時間t（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系，已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤，下列結(jié)論錯誤的是A．第24天的銷售量為200件B．第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C．第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等D．第30天的日銷售利潤是750元【答案】C【分析】根據(jù)兩個圖像，對四個選項逐項分析，由此判斷出結(jié)論錯誤的選項.【詳解】對于A選項，在圖①中，時，，故A選項結(jié)論正確.對于B選項，根據(jù)圖②，的中點坐標(biāo)為，故B選項結(jié)論正確.對于D選項，由圖①知第天銷售件，由圖①知第天一件產(chǎn)品利潤為元，故日銷售利潤為元，故D選項結(jié)論正確.由①知的中點為，即第天和第天的銷售量相同，根據(jù)圖②，第天的一件產(chǎn)品利潤高于第天產(chǎn)品利潤，故第天與第天這兩天的日銷售利潤不相等，故C選項結(jié)論錯誤.故本小題選C.【點睛】本小題主要考查圖像分析與理解能力，考查實際生活的函數(shù)案例，屬于基礎(chǔ)題.5．把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得兩個正三角形面積之和的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，【詳解】設(shè)兩段長分別為，，其中，則這兩個正三角形的邊長分別為，，面積之和為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，時，取得最小值，所以．故選：D6．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2020年5月1日12350002020年5月15日6035600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每百千米平均耗油量為（

）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【答案】C【解析】根據(jù)表格，得出耗油量及行駛的里程之差即可得到答案.【詳解】解：因為每次都把油箱加滿，第二次加了升油，說明這段時間總耗油量為升，而行駛的路程為(千米)，故每千米平均耗油量為(升)．故選：C.7．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過的，按每立方米元收費；用水超過的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費元，則該職工這個月實際用水為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出用水量與電費發(fā)函數(shù)關(guān)系，再解方程.【詳解】設(shè)該職工用水時，繳納的水費為元，由題意得，則，解得.答：該職工這個月實際用水為.故選：A【點睛】解應(yīng)用題關(guān)鍵是找出變量之間的關(guān)系，列方程求解未知量.8．某學(xué)校制定獎勵條例,對在教育教學(xué)中取得優(yōu)異成績的教職工實行獎勵,其中有一個獎勵項目是針對學(xué)生高考成績的高低對任課教師進(jìn)行獎勵的.獎勵公式為f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任課教師所在班級學(xué)生的該任課教師所教學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差,f(n)的單位為元),而k(n)=現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師,甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分,而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分,則乙所得獎勵比甲所得獎勵多()A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700元【答案】D【詳解】k(18)=200,∴f(18)=200×(18-10)=1600(元).又∵k(21)=300,∴f(21)=300×(21-10)=3300(元),∴f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元).故選D.二、多選題9．在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度隨著時間變化的情況由計算機(jī)記錄后顯示的圖像如圖所示給出下列說法，其中正確的是（

）A．前5min溫度增加的速度越來越快B．前5min溫度增加的速度越來越慢C．5min以后溫度保持勻速增加D．5min以后溫度保持不變E．溫度隨時間的變化情況無法判斷【答案】BC【分析】根據(jù)圖像分析溫度隨時間變化的增長情況，即可判斷出選項.【詳解】溫度y關(guān)于時間t的圖像是先凸后平即5min前每當(dāng)t增加一個單位增量，則y相應(yīng)的增量越來越小，而5min后y關(guān)于t的圖像是直線，即溫度勻速增加，則BC正確.故選BC【點睛】本題考查了圖像的辨析，解決本題的關(guān)鍵是對圖像中溫度隨時間變化而變化的趨勢.10．某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲廠的總費用（千元）乙廠的總費用（千元）與印制證書數(shù)量x（千個）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則（

）A．甲廠的制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元B．甲廠的費用與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為1.5元D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為E．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用【答案】ABCD【分析】對于A、B結(jié)合圖像便可看出是關(guān)于的一次函數(shù)，從圖中可以觀察出甲廠的制版費為1千元，一次函數(shù)的斜率為即為證書的單價；對于C，用2到6千個的費用除以證件個數(shù)計算即可得解；對于D，設(shè)函數(shù)解析式后用待定系數(shù)法解答即可；對于E，分別求出甲乙兩車的費用關(guān)于證書個數(shù)的函數(shù)，將分別代入兩個函數(shù)，可得出選項乙廠可省元；【詳解】由題圖知甲廠制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元，故A正確；甲廠的費用與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系為，故B正確；當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為元，故C正確；易知當(dāng)時，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，故D正確當(dāng)時，，因為，所以當(dāng)印制8千個證書時，選擇乙廠更節(jié)省費用，故E不正確.故選ABCD【點睛】本題考查圖像辨析題，需分別求出兩個函數(shù)表達(dá)式，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題11．某數(shù)學(xué)練習(xí)冊，定價為40元.若一次性購買超過9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈送10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優(yōu)惠10元，并且贈送20元代金券.某班購買x(x∈N*，x≤40)本，則總費用與x的函數(shù)關(guān)系式為____(代金券相當(dāng)于等價金額).【答案】，【分析】由題意，將購買x本書，按0＜x＜10、10≤x＜20、20≤x≤40有三種不同的購書方案寫出對應(yīng)的函數(shù)模型，最后將它們整合為分段函數(shù)的形式即可【詳解】當(dāng)0＜x＜10時，＝40x當(dāng)10≤x＜20時，＝35x－10當(dāng)20≤x≤40時，＝30x－20綜上，有，故答案為：，【點睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)實際問題由不同的購買方案得到不同的函數(shù)模型，最后整合為分段函數(shù)形式12．某廠日產(chǎn)手套總成本y（元）與手套日產(chǎn)量x（副）的關(guān)系式為，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少________副.【答案】800【分析】根據(jù)題意列出出廠價格和成本之間的不等關(guān)系式，解出即可.【詳解】解:由題知，解得，即日產(chǎn)手套至少800副時才不虧本.故答案為800【點睛】本題考查一次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13．能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達(dá)到最小值時，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【分析】根據(jù)題意解得參數(shù)的值，及函數(shù)的解析式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)時，，解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.14．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當(dāng)速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為________海里/小時時，總費用最?。敬鸢浮?0【詳解】設(shè)輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費為速度為，則，因為當(dāng)速度為海里/小時時，每小時的燃料費是元，所以，設(shè)這艘輪船勻速行駛海里總費用是，則，當(dāng)時等號成立，所以這艘輪船的速度為海里/小時時，費用總和最小，故答案為.【點晴】本題主要考查閱讀能力及建模能力、函數(shù)的解析式及基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.四、解答題15．以貫徹“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為目的，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為40