北師大版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)突破提升專題1.3正方形的性質(zhì)與判定【十二大題型】學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定【十二大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習(xí)】 1【題型2由正方形的性質(zhì)求角度】 2【題型3由正方形的性質(zhì)求線段長】 4【題型4由正方形的性質(zhì)求面積】 5【題型5正方形中的折疊問題】 6【題型6正方形中的證明】 8【題型7正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別與練習(xí)】 9【題型8證明四邊形是正方形】 11【題型9由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】 12【題型10由正方形性質(zhì)與判定求角度】 14【題型11由正方形性質(zhì)與判定求面積】 15【題型12由正方形性質(zhì)與判定證明】 17知識(shí)點(diǎn)1：正方形的性質(zhì)定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．性質(zhì)：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．【題型1正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習(xí)】【例1】（23-24九年級(jí)·廣西南寧·期中）學(xué)習(xí)了四邊形之后，小穎同學(xué)用如下圖所示的方式表示了四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，則圖中的“M”和“N”分別表示（

）A．平行四邊形，正方形 B．正方形，菱形 C．正方形，矩形 D．矩形，菱形【變式1-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）下列性質(zhì)中，矩形、正方形都具有，但是菱形卻不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線長度相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)角線平分一組對(duì)角【變式1-2】（23-24九年級(jí)·河南安陽·期末）用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等邊三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的圖形是（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），且AE=CF，分別連接BE、BF、DE、DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．四邊形BFDE是平行四邊形B．若四邊形ABCD是菱形，那么四邊形BFDE也是菱形C．若四邊形ABCD是正方形，那么四邊形BFDE是菱形D．若四邊形ABCD是矩形，那么四邊形BFDE也是矩形【題型2由正方形的性質(zhì)求角度】【例2】（23-24九年級(jí)·重慶江津·期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AD、AB上的點(diǎn)，連接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．當(dāng)∠DEC=α?xí)r，則∠GCF的度數(shù)為（

）A．α2 B．C．3α2?90° 【變式2-1】（23-24九年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M,N,P分別在AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN經(jīng)過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，若∠PMN=α，則

A．2α B．45°+α C．90°?12α【變式2-2】（23-24九年級(jí)·遼寧大連·期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且∠ABE=72°；延長BE交CD于點(diǎn)F，連接DE，則∠DEF的度數(shù)為．

【變式2-3】（23-24九年級(jí)·重慶九龍坡·期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，連接OF，若∠ACF=α，則∠DOF的度數(shù)為（

）A．2a B．30°+a C．45°?a D．60°?2a【題型3由正方形的性質(zhì)求線段長】【例3】（23-24·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于點(diǎn)M．若BE=DF=1，則DM的長度為（）A．2 B．5 C．6 D．12【變式3-1】（23-24九年級(jí)·河北邯鄲·期末）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為1,3，則點(diǎn)B

A．?3,1C．1+3,1?【變式3-2】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=2，CE=6，CH⊥AF于點(diǎn)H，那么CH的長是（

）A．22 B．5 C．355【變式3-3】（23-24·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB，則OM+1

A．4 B．5 C．8 D．10【題型4由正方形的性質(zhì)求面積】【例4】（23-24九年級(jí)·遼寧朝陽·期末）如圖，有一塊邊長為4的正方形（四條邊相等，四個(gè)角是直角）塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積是．

【變式4-1】（23-24九年級(jí)·四川德陽·期末）《九章算術(shù)》中有一問題：“今有勾三步，股四步，問勾中容方幾何？”意思是：如圖1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求內(nèi)接正方形DECF的邊長．我國數(shù)學(xué)家劉徽用“出人相補(bǔ)”原理將直角三角形補(bǔ)成知形ACBG（如圖1），在該圖形中發(fā)現(xiàn)一個(gè)與正方形DECF面積相等的圖形，從而求得這個(gè)正方形的邊長．若點(diǎn)A在線段AG上平移至點(diǎn)A'，連接A'C，A'B與直線ED分別相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N

A．12 B．14449 C．25 D．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山西呂梁·期末）如圖，一個(gè)正方形ABCD中有兩個(gè)小正方形，如果它們的面積分別為S1，S2，則S1S2（填“【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，以直角△ABC的每一條邊為邊長，在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，各個(gè)涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為18cm2，則③、⑤兩部分的面積和為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【題型5正方形中的折疊問題】【例5】（23-24九年級(jí)·湖北襄陽·期末）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F在AD上，沿BF折疊，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，若DE=5，則GE的長為．

【變式5-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，將邊長為8的正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折再展平，沿折痕剪開，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再將矩形ABEF繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'A．9 B．10 C．16 D．20【變式5-2】（23-24九年級(jí)·湖南懷化·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB,CD上，∠EFD=60°．若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則BE的長度為（

）A．1 B．2 C．5 D．2【變式5-3】（23-24九年級(jí)·湖南永州·期末）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：(1)【課本再現(xiàn)】第一步：如圖1，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF，把紙片展平；第二步：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接PM，BM，根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠PBM=___________(2)【類比應(yīng)用】如圖2，現(xiàn)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，求∠MBQ的度數(shù)；(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，正方形紙片的邊長為4，改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），沿BP折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接PM，BM，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．當(dāng)QF=1cm【題型6正方形中的證明】【例6】（23-24九年級(jí)·安徽安慶·期末）如圖，在正方形紙片ABCD中，P為正方形邊AD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．(1)求證：PB平分∠APG；(2)求證：BP=EF；(3)探究CH，AP與PH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）已知；正方形ABCD的邊長是4，F(xiàn)是DC邊的中點(diǎn)，E是BC上的點(diǎn)，且CE=14BC【變式6-2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）正方形ABCD的邊長為6，正方形DEFG的頂點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的對(duì)角線AC和BC邊上，BF=2CF，連接CG．(1)求證：AE=CG；(2)求AE【變式6-3】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期末）【閱讀材料】在學(xué)習(xí)正方形時(shí)，我們遇到過這樣的問題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、AD、AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？分別過點(diǎn)G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分別為P、Q，通過證明△GPE≌△HQF，得到GE=HF．根據(jù)閱讀材料，完成下面探究1、探究2中的問題．【探究1】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，使用無刻度的直尺和圓規(guī)作BF⊥AE，交CD于點(diǎn)F（要求直尺、圓規(guī)各使用一次），保留作圖痕跡，并標(biāo)出點(diǎn)F，不要求寫作法；【探究2】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將正方形ABCD沿著EF翻折，點(diǎn)B、C分別落在B'、C'處，且B'C'經(jīng)過點(diǎn)D，將紙片展開，延長C'F交BC于點(diǎn)G（1）求證：DF=GF；（2）求證：AE+CG=DF．知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進(jìn)行判定．【題型7正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別與練習(xí)】【例7】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）甲，乙兩位同學(xué)采用折疊的方法，判斷兩張四邊形紙片是否為正方形．甲：如圖①進(jìn)行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形；乙：如圖②進(jìn)行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形．下列判斷正確的是（

）

A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤【變式7-1】（23-24九年級(jí)·重慶榮昌·期末）下列命題：①對(duì)角線相等的菱形是正方形；②對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式7-2】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD，回答問題（1）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．（2）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．（3）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【變式7-3】（12-13九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形【題型8證明四邊形是正方形】【例8】（23-24九年級(jí)·四川樂山·期末）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．(1)求證：BE=DE；(2)如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥BE，交邊CD于點(diǎn)F，以BE，EF為鄰邊作矩形BEFG，連接CG．①求證：矩形BEFG是正方形；②若正方形ABCD的邊長為6，CG=22，求正方形BEFG【變式8-1】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB的延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，已知BF=DE，AF⊥AE．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形．(2)若∠DAE=30°，DE=1，求四邊形AECB的面積．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·湖北荊門·期末）問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動(dòng)（每個(gè)小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AD=6．

(1)如圖1，A小組將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AF，連接EF，然后將紙片展平，得到四邊形AEFD．求證：四邊形AEFD是正方形；(2)如圖2，B小組將矩形紙片ABCD對(duì)折使AB與DC重合，展平后得到折痕PQ，再次過點(diǎn)A折疊使點(diǎn)D落在折痕PQ上的點(diǎn)N處，得到折痕AM，連結(jié)MN，展平后得到四邊形ANMD，求四邊形ANMD的面積；【變式8-3】（23-24九年級(jí)·山西臨汾·期末）綜合與實(shí)踐問題解決：（1）如圖1，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF∥AC，交CE的延長線于點(diǎn)F，連接AF．求證：四邊形類比遷移：（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)AB=BC時(shí)，試判斷四邊形ADBF的形狀，并說明理由．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADBF是正方形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明．【題型9由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江湖州·期末）正方形工整、勻稱、美觀，設(shè)計(jì)方便，在人們的生活和生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用．如圖1為某園林石窗，其外框?yàn)檫呴L為6的正方形ABCD（如圖2），點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊上的中點(diǎn)，以四邊形EFGH各邊的三等分點(diǎn)的連線為邊，分別向內(nèi)作等邊三角形（如△IJK），四個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)恰好是正方形MNPQ各邊的中點(diǎn)，則點(diǎn)H，M之間的距離是．【變式9-1】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，CD=6，AD=8，則對(duì)角線BD的長為．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·山西太原·期末）綜合與實(shí)踐問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在?ABCD中，∠ADC=90°，點(diǎn)O是邊AD的中點(diǎn)，連接AC．保持?ABCD不動(dòng)，將△ADC從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，點(diǎn)A，D，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G．當(dāng)線段AB與線段FG相交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B，F(xiàn)，G重合）時(shí)，連接OM．老師要求各個(gè)小組結(jié)合所學(xué)的圖形變換的知識(shí)展開數(shù)學(xué)探究．(1)初步思考：如圖2，連接FD，“勤學(xué)”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)FD∥(2)操作探究：如圖3，連接BG，“善思”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)OM垂直平分BG，請(qǐng)你證明這一結(jié)論；(3)拓展延伸：已知AD=22，CD=2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)F，C，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段AM【變式9-3】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB=42，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG，AE2【題型10由正方形性質(zhì)與判定求角度】【例10】（23-24九年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝22，CE＝2，求CG(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【變式10-1】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知：BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝BC，過點(diǎn)E作EF∥AC，交BD于點(diǎn)F，連接(1)如圖1，求證：四邊形CDEF是菱形；(2)如圖2，當(dāng)∠DEF=90°，AC=BC時(shí)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中度數(shù)為【變式10-2】（23-24九年級(jí)·貴州黔南·期末）如圖，用四個(gè)完全相同的矩形拼成了一個(gè)大正方形，AB是其中一個(gè)小矩形的對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖笳叫沃型瓿上铝挟媹D，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖中畫出一個(gè)以AB為邊的正方形；(2)在圖中畫出一個(gè)以點(diǎn)A或點(diǎn)B為頂點(diǎn)，AB為一邊的45°角，并說明理由．【變式10-3】（23-24九年級(jí)·天津和平·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ABC將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，DE與BC相交于點(diǎn)F，連接(1)求證：DC平分∠ADE；(2)試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若BE=BD，求∠ABC的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）【題型11由正方形性質(zhì)與判定求面積】【例11】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期中）【問題一】如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖②：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對(duì)稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且，若正方形④直角梯形，其中對(duì)角直角四邊形是（只填序號(hào)）；(2)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，在菱形ABCD的外部以CD為斜邊作等腰直角△CDN，連接MN．①求證：四邊形DMCN是對(duì)角直角四邊形；②若點(diǎn)N到BD的距離是2，求四邊形DMCN的面積．【題型12由正方形性質(zhì)與判定證明】【例12】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在AB,BC上且AE=BF．

(1)試探索線段AF,DE的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；(2)連接EF,DF，分別取AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)H,I,J,K，順次連接，得到四邊形HIJK：①請(qǐng)?jiān)趫D②中補(bǔ)全圖形；②四邊形HIJK是什么特殊平行四邊形？請(qǐng)說明理由．【變式12-1】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=26，PB=52，PC=24，則∠BPC=【變式12-2】（23-24九年級(jí)·山東臨沂·期末）如圖，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CM=DN．試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結(jié)論．【變式12-3】（23-24九年級(jí)·廣東云浮·期中）問題情境：通過對(duì)《平行四邊形》一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有各自的特殊性質(zhì)．根據(jù)它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的判定定理．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出了一道題：如圖①，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連接初步探究：（1）判斷四邊形CODP的形狀，并說明理由．深入探究：（2）如圖②，若四邊形ABCD是菱形，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．拓展延伸：（3）如圖③，若四邊形ABCD是正方形，四邊形CODP又是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由．專題1.3正方形的性質(zhì)與判定【十二大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習(xí)】 2【題型2由正方形的性質(zhì)求角度】 5【題型3由正方形的性質(zhì)求線段長】 9【題型4由正方形的性質(zhì)求面積】 14【題型5正方形中的折疊問題】 18【題型6正方形中的證明】 25【題型7正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別與練習(xí)】 32【題型8證明四邊形是正方形】 35【題型9由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】 42【題型10由正方形性質(zhì)與判定求角度】 51【題型11由正方形性質(zhì)與判定求面積】 59【題型12由正方形性質(zhì)與判定證明】 65知識(shí)點(diǎn)1：正方形的性質(zhì)定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．性質(zhì)：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．【題型1正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習(xí)】【例1】（23-24九年級(jí)·廣西南寧·期中）學(xué)習(xí)了四邊形之后，小穎同學(xué)用如下圖所示的方式表示了四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，則圖中的“M”和“N”分別表示（

）A．平行四邊形，正方形 B．正方形，菱形 C．正方形，矩形 D．矩形，菱形【答案】B【分析】本題考查了特殊的平行四邊形，正確理解矩形，菱形，正方形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)特殊的平行四邊形的概念判斷即可．【詳解】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四邊形，正方形即是菱形也是矩形，∴M是正方形，N是菱形，故選：A【變式1-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）下列性質(zhì)中，矩形、正方形都具有，但是菱形卻不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線長度相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】A【分析】利用正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)依次判斷可求解．【詳解】解：∵菱形具有的性質(zhì)是：兩組對(duì)邊分別平行，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；矩形具有的性質(zhì)是：兩組對(duì)邊分別平行，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線相等；正方形具有菱形和矩形的性質(zhì)，故選項(xiàng)B，C，D不符合題意；∴菱形不具有的性質(zhì)為：對(duì)角線長度相等，故選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，注意熟記各性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·河南安陽·期末）用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等邊三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的圖形是（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）【答案】B【分析】通過不同的組合方法，得出不同的圖形．【詳解】解：用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片可以拼成下列圖形：（1）平行四邊形

（3）正方形

（5）等腰直角三角

故選B．【點(diǎn)睛】本題是開放題，可以針對(duì)各種特殊的等腰三角形的組合方法，得出不同的圖形．解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），且AE=CF，分別連接BE、BF、DE、DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．四邊形BFDE是平行四邊形B．若四邊形ABCD是菱形，那么四邊形BFDE也是菱形C．若四邊形ABCD是正方形，那么四邊形BFDE是菱形D．若四邊形ABCD是矩形，那么四邊形BFDE也是矩形【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．連接BD交AC于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），AE=CF，可得OE=OF，進(jìn)一步即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，進(jìn)一步即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BD⊥AC，進(jìn)一步即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD，再根據(jù)E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），可得EF≠BD，進(jìn)一步可判斷【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），AE=CF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形，故A不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故B不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故C不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，AC=BD，∵E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），∴EF≠BD，∴四邊形BFDE不是矩形，故D符合題意，故選：D．【題型2由正方形的性質(zhì)求角度】【例2】（23-24九年級(jí)·重慶江津·期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AD、AB上的點(diǎn)，連接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．當(dāng)∠DEC=α?xí)r，則∠GCF的度數(shù)為（

）A．α2 B．C．3α2?90° 【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)可得CD=CB，∠CDE=∠CBF=∠BCD=90°，，進(jìn)而由∠DEC=α可得∠DCE=90°?α，∠ECB=90°?∠DCE=α，再由角平分線的定義得∠GCB=12∠ECB=12【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠CDE=∠CBF=∠BCD=90°，∵∠DEC=α，∴∠DCE=90°?α，∴∠ECB=90°?∠DCE=90°?90°?α∵CG平分∠ECB，∴∠GCB=1在Rt△CDE和RtCD=CBCE=CF∴Rt△CDE≌∴∠DCE=∠BCF=90°?α，∴∠GCF=∠GCB?∠BCF=1故選：D．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M,N,P分別在AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN經(jīng)過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，若∠PMN=α，則

A．2α B．45°+α C．90°?12α【答案】B【分析】證明△OMB≌△OND，可得OM=ON，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得OP=OM，則可得∠OPM=α，利用三角形外角和定理，即可得到∠AMP的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠BDC=45°，∵M(jìn)N經(jīng)過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，∴OB=OD，在△OMB與△OND中，∠MBO=∠NDOBO=DO∴△OMB≌△ONDASA∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OP=1∴∠OPM=∠PMN=α，∴∠AMP=∠MPO+∠ABO=α+45°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角和定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟知上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·遼寧大連·期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且∠ABE=72°；延長BE交CD于點(diǎn)F，連接DE，則∠DEF的度數(shù)為．

【答案】54°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，再根據(jù)SAS又證得△ADE≌△ABE，得∠ADE=∠ABE=72°，∠AED=∠AEB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠AED=63°，最后根據(jù)平角定義求得答案．【詳解】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，又AE=AE，∴△ADE≌△ABESAS∴∠ADE=∠ABE=72°，∠AED=∠AEB，∴∠AED=180°?∠DAC?∠ADE=180°?45°?72°=63°，∴∠AEB=63°，∴∠DEF=180°?∠AED?∠AEB=180°?63°?63°=54°，故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·重慶九龍坡·期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，連接OF，若∠ACF=α，則∠DOF的度數(shù)為（

）A．2a B．30°+a C．45°?a D．60°?2a【答案】C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角以及三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，取CD中點(diǎn)G，連接OG，F(xiàn)G，設(shè)CF與BD交于點(diǎn)Q，證明OG=FG=CG，得∠GOF=∠GFO，證明∠CFG=∠FCG=45°?α，求出∠OFG=∠OFC+∠GFC=90°?∠DOF?α+45°?α，根據(jù)∠GOF=∠GFO可得45°+∠DOF=90°?∠DOF?α+45°?α，整理后可得結(jié)論【詳解】解：取CD中點(diǎn)G，連接OG，F(xiàn)G，設(shè)CF與BD交于點(diǎn)Q，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ODC=∠OCD=45°，BO=DO∴OG=12CD又CF⊥DE，∴FG=∴OG=FG=CG∴∠GOF=∠GFO∵∠ACF=α，∴∠FCD=45°?α，∵FG=CG∴∠CFG=∠FCG=45°?α在△COQ和△DFQ中，∠DQF=∠CQO,∠DFQ=∠COQ=90°∴∠FDQ=∠OCQ=α，∵∠OFE=∠DOF+∠FDO=∠DOF+α，且∠CFE=90°，∴∠OFC=90°?∠OFE=90°?∠DOF?α∴∠OFG=∠OFC+∠GFC=90°?∠DOF?α+45°?α而∠GOF=45°+∠DOF又∠GOF=∠GFO∴45°+∠DOF=90°?∠DOF?α+45°?α∴∠DOF=45°?α．故選：D．【題型3由正方形的性質(zhì)求線段長】【例3】（23-24·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于點(diǎn)M．若BE=DF=1，則DM的長度為（）A．2 B．5 C．6 D．12【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB=AD=CD=BC=4，再證明△ABE≌△ADFSAS得到AE=AF，進(jìn)一步證明△AEM≌△AFMSAS得到EM=FM，設(shè)在Rt△CEM中，由勾股定理得x+1【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，又∵BE=DF=1，∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF，∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，又∵AM=AM，∴△AEM≌△AFMSAS∴EM=FM，設(shè)DM=x，則EM=FM=DF+DM=x+1，在Rt△CEM中，由勾股定理得E∴x+12解得x=12∴DM=12故選：D．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·河北邯鄲·期末）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為1,3，則點(diǎn)B

A．?3,1C．1+3,1?【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)B作BF⊥EA的延長線于F，交y軸于點(diǎn)M，由AAS可證△AOE≌△BAF，可得OE=AF=1，BF=AE=3【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)B作BF⊥EA的延長線于F，交y軸于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3，∴AE=3，OE=1∵x軸⊥y軸，∴四邊形OEFM是矩形，∴MF=OE=1∵四邊形OABC是正方形，∴BA=OA，∠BAO=90°，∵AE⊥OE，BF⊥AE，∴∠BFA=∠AEO=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°=∠OAE+∠BAF，∴∠BAF=∠AOE，在△AOE和△BAF中，∠AEO=∠BFA∠AOE=∠BAF∴△AOE≌△BAFAAS∴OE=AF=1，BF=AE=3∴EF=3+1，BM=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1?3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，垂線定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=2，CE=6，CH⊥AF于點(diǎn)H，那么CH的長是（

）A．22 B．5 C．355【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的面積，連接CF、AC，由正方形的性質(zhì)得到∠B=∠E=90°，∠ACF=90°，利用勾股定理可求得AC=22，CF=62，AF=45，再根據(jù)三角形的面積得到S【詳解】解：連接CF、AC，∵正方形ABCD和正方形CEFG，∴∠B=∠E=90°，∠ACD=∠FCG=45°，∵BC=2，CE=6，∴AC=22+22∴AF=A∵CH⊥AF，∴S△ACF即12解得CH=6故選：D．【變式3-3】（23-24·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB，則OM+1

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明△ADE≌△BAFSAS得到∠ADE=∠BAE，進(jìn)而得到∠DOF=90°，則由直角三角形的性質(zhì)可得OM=12DF，如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG，連接FH，易證明△FBG≌△FBHSAS，則FH=FG，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)OM+12FG有最小值，最小值即為DH的長的一半，求出【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，又∵AE=BF，∴△ADE≌△BAFSAS∴∠ADE=∠BAF，∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴OM=1如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG，連接FH，

∵∠FBG=∠FBH=90°，∴△FBG≌△FBHSAS∴FH=FG，∴OM+1∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)OM+12FG∵AG=2GB，AB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=∴OM+1故選：A．【題型4由正方形的性質(zhì)求面積】【例4】（23-24九年級(jí)·遼寧朝陽·期末）如圖，有一塊邊長為4的正方形（四條邊相等，四個(gè)角是直角）塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積是．

【答案】16【分析】證明△AEB≌△AFDASA【詳解】∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABE=∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°，∵∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF=90°?∠BAF，∵∠BAE=∠DAFBA=DA∴△AEB≌∴S△AEB∴S△AEB∴S正方形故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的面積，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·四川德陽·期末）《九章算術(shù)》中有一問題：“今有勾三步，股四步，問勾中容方幾何？”意思是：如圖1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求內(nèi)接正方形DECF的邊長．我國數(shù)學(xué)家劉徽用“出人相補(bǔ)”原理將直角三角形補(bǔ)成知形ACBG（如圖1），在該圖形中發(fā)現(xiàn)一個(gè)與正方形DECF面積相等的圖形，從而求得這個(gè)正方形的邊長．若點(diǎn)A在線段AG上平移至點(diǎn)A'，連接A'C，A'B與直線ED分別相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N

A．12 B．14449 C．25 D．【答案】B【分析】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，正確列出方程是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)正方形DECF的邊長為x，證明S正方形DECF=S矩形DHGI，則DI=3?x，HD=4?x，得到【詳解】如圖1，設(shè)正方形DECF的邊長為x，

根據(jù)題意得，四邊形AEDG，∴S△ABC∴S∴S正方形∵IF=AC=3，HE=BC=4，DE=DF=CF=x∴DI=3?x，∴x2解得，x=12∴正方形DECF的邊長為127∴正方形DECF的邊長為127∵平行四邊形MCFN的面積=CF?DF=故選：A．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山西呂梁·期末）如圖，一個(gè)正方形ABCD中有兩個(gè)小正方形，如果它們的面積分別為S1，S2，則S1S2（填“【答案】>【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等等知識(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長為6，然后求出S1與S【詳解】解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為6，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ACB=∠DAC=45°，∠B=90°，∴AC=A又∵四邊形EFGB與四邊形MNHQ是正方形，∴EF=BG=FG=GC，MN=QM=AQ=QH=CH，∴EF=12BC=3∴S1=9∴S1故答案為：>．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，以直角△ABC的每一條邊為邊長，在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，各個(gè)涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為18cm2，則③、⑤兩部分的面積和為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)序號(hào)為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為S1，S2，S3，S【詳解】如圖所示，設(shè)序號(hào)為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為S1，S2，S3，S4，根據(jù)題意，得c2∵四邊形ABEG是正方形，∠ACB=90°，∴∠ABD=∠BEF=90°,AB=BE，∴∠EBF+∠CBA=90°，∠BAD+∠CBA=90°，∴∠EBF=∠BAD，∴△BAD≌△EBFASA∴S∴S∵②、④兩部分的面積和為18cm∴S2∵四邊形ABEG是正方形，四邊形ACMH是正方形，∴∠AHG=∠ACB=90°,AB=AG,AC=AH，∴△AGH≌△ABCHL∴S∴S1根據(jù)題意，得S===S故選B．【題型5正方形中的折疊問題】【例5】（23-24九年級(jí)·湖北襄陽·期末）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F在AD上，沿BF折疊，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，若DE=5，則GE的長為．

【答案】4913/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長度等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)．由折疊及軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△ABF≌△GBF,BF垂直平分AG,先證△ABF≌△DAE,推出AF的長，再利用勾股定理求出BF的長,最后在Rt△ADF中利用面積法可求出AM的長，可進(jìn)一步求出AG的長，GE【詳解】解：設(shè)AE與BF交于點(diǎn)M，在正方形ABCD中,∠BAD=∠D=90°,

∴∠BAM+∠FAM=90°，在Rt△ADE中,AE=∵由折疊的性質(zhì)可得△ABF≌△GBF∴AB=BG,∠FBA=∠FBG，∴BF垂直平分AG,∴AM=MG,∠AMB=90°，∵∠FAE+∠AED=∠FAE+∠AFB=90°，所以∠AED=∠AFB，又∵∠BAF=∠D=90°，AB=AD，∴△ABF≌△DAE，∴AF=DE=5，BF=AE=13，又∵S△ABF∴AM=∴AG=2AM=∴GE=AE?AG=13?故答案為：49【變式5-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，將邊長為8的正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折再展平，沿折痕剪開，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再將矩形ABEF繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'A．9 B．10 C．16 D．20【答案】D【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是勾股定理以及菱形的判定．首先根據(jù)已知條件判斷出△BGE≌△FGDAAS，得到BG=FG，EG=DG，然后可設(shè)FG的長度為x，則DG=8?x【詳解】解：如圖，設(shè)BD交EF于G，EF旋轉(zhuǎn)后交CD于點(diǎn)H，

由題意知，BE=FD=4，∠B=∠F=90°，又∵∠BGE=∠FGD，∴△BGE≌∴BG=FG，EG=DG，設(shè)BG=FG=x，則DG=8?x，在Rt△FDG中，8?x解得：x=3，∴DG=8?x=5，∵DG∥EH，∴四邊形DGEH為平行四邊形，又∵EG=DG，∴?DGEH為菱形，∴陰影部分的周長為：5×4=20，故選：D．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·湖南懷化·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB,CD上，∠EFD=60°．若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則BE的長度為（

）A．1 B．2 C．5 D．2【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用以上性質(zhì)；根據(jù)AB∥CD可得∠EFD=∠BEF=60°,根據(jù)折疊后對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，可得∠BEF=∠B'EF=60°,BE=B'E，進(jìn)而可得∠AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD,∠A=90°∴∠EFD=∠BEF=60°∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，∴∠BEF=∠B∴∠AE∴∠A∴AE=設(shè)BE=x，則B'∴3?x=1∴x=2，∴BE=2，故選：D．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·湖南永州·期末）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：(1)【課本再現(xiàn)】第一步：如圖1，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF，把紙片展平；第二步：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接PM，BM，根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠PBM=___________(2)【類比應(yīng)用】如圖2，現(xiàn)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，求∠MBQ的度數(shù)；(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，正方形紙片的邊長為4，改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），沿BP折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接PM，BM，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．當(dāng)QF=1cm【答案】(1)30(2)15°(3)125cm【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得AM=BM，AE=BE，AB=BM，∠ABP=∠PBM，從而得到△ABM是等邊三角形即可求解；（2）同（1）可證∠ABM=60°，再利用折疊的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明Rt△BMQ≌Rt△BCQHL，推出（3）分點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方、上方兩種情況，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接AM，∵對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF，∴EF垂直平分AB,∴AM=BM，AE=BE，∵沿BP折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，∴AM=BM=AB，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠PBM=∠ABP=30°，故答案為：30；（2）解：如圖，同（1）可證∠ABM=60°，∴∠CBM=∠ABC?∠ABM=90°?60°=30°，在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，由折疊知AB=BM，∠PMB=∠A=90°，∴BC=BM，∠BMQ=∠C=90°，在Rt△BMQ和RtBC=BMBQ=BQ∴Rt△BMQ≌∴∠MBQ=∠CBQ，∴∠MBQ=（3）解：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，∵正方形ABCD中，AD=CD=4，∴DQ=QF+DF=1+1∴CQ=CD?DQ=4?3=1，由（2）知Rt△BMQ≌∴MQ=CQ=1，設(shè)AP=x，由折疊知MP=AP=x，∴PQ=MP+MQ=x+1，PD=AD?AP=4?x，在Rt△PDQ中，P∴(4?x)2解得x=125，即當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，則DQ=DF?QF=1∴CQ=CD?DQ=4?1=3，∴MQ=CQ=3，設(shè)AP=MP=x，則PD=AD?AP=4?x，PQ=MP+MQ=x+3，在Rt△PDQ中，P∴(4?x)2解得x=47，即綜上可知，AP的長為125cm或【點(diǎn)睛】本題考查正方形折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．【題型6正方形中的證明】【例6】（23-24九年級(jí)·安徽安慶·期末）如圖，在正方形紙片ABCD中，P為正方形邊AD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．(1)求證：PB平分∠APG；(2)求證：BP=EF；(3)探究CH，AP與PH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)PH=AP+CH．理由見解析【分析】該題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）由題意，得PE=BE，則∠EBP=∠EPB．根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠EPH=∠EBC=90°，得出∠PBC=∠BPH．結(jié)合AD∥BC，得出∠APB=∠PBC，即可證明∠APB=∠BPH，即PB平分（2）如圖1，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，設(shè)EF交BP于點(diǎn)O．證明四邊形BCFK是矩形，得出KF=BC=AB．根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于EF對(duì)稱，得出EF⊥PB，證明△ABP≌△KFE，即可證明BP=EF．（3）如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知，∠APB=∠BPH．證明Rt△ABP≌Rt△QBP，得出AP=QP．證出BC=BQ．再證明Rt△BCH≌Rt△BQH，得出【詳解】（1）證明：由題意，得PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH?∠EPB=∠EBC?∠EBP，即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥∴∠APB=∠PBC，∴∠APB=∠BPH，即PB平分∠APG．（2）證明：如圖1，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，設(shè)EF交BP于點(diǎn)O．∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，∴四邊形BCFK是矩形，∴KF=BC=AB．∵點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于EF對(duì)稱，∴EF⊥PB，∴∠BOE=90°，∴∠ABP+∠BEO=90°．∵∠BEO+∠EFK=90°，∴∠ABP=∠EFK．∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABP≌△KFEASA∴BP=EF．（3）解：PH=AP+CH．理由：如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知，∠APB=∠BPH．∵∠BQP=∠A=90°，∴BA=BQ．∵BP=BP，∴Rt△ABP≌∴AP=QP．又∵AB=BC，∴BC=BQ．∵∠C=∠BQH=90°，∴Rt△BCH≌∴CH=QH，∴QP+QH=AP+CH，即PH=AP+CH．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）已知；正方形ABCD的邊長是4，F(xiàn)是DC邊的中點(diǎn)，E是BC上的點(diǎn)，且CE=14BC【答案】見解析【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，連接AE，延長EF交AD延長線于點(diǎn)G，由正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠ADC=90°，設(shè)AB=BC=4a，則CE=a,BE=3a，由勾股定理求出AE=5a，再證明△CEF≌△DGF，得出AE=AG即可求證，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【詳解】證明：連接AE，延長EF交AD延長線于點(diǎn)G，如圖：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠ADC=90°，∵CE=1∴設(shè)AB=BC=4a，則CE=a,BE=3a，在Rt△ABE中，AE=∵點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，∴CF=DF，∵∠C=∠ADCCF=DF∴△CEF≌△DGFASA∴EF=FG,CE=DG=a,，∴AG=AD+DG=5a，∴AE=AG，又∵EF=FG,∴AF⊥EF,∴∠AFE=90°．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）正方形ABCD的邊長為6，正方形DEFG的頂點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的對(duì)角線AC和BC邊上，BF=2CF，連接CG．(1)求證：AE=CG；(2)求AE【答案】(1)見解析(2)AE【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合等角的余角相等求得AD=CD，DE=DG，∠ADE=∠CDG，再利用SAS證明△ADE≌△CDG，即可得到AE=CG；（2）先求得CF=2，利用勾股定理求得EG=DF=210，由△ADE≌△CDG得到∠DCG=∠DAE=45°，推出∠ECG=90°【詳解】（1）證明：∵正方形ABCD和DEFG，∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=90°?∠EDC=∠CDG，∴△ADE≌△CDGSAS∴AE=CG；（2）解：連接GE和DF，∵正方形ABCD的邊長為6，且BF=2CF，∴CF=2，CD=6，∠FCD=90°，∴EG=DF=2由（1）得△ADE≌△CDG，AE=CG，∴∠DCG=∠DAE=45°，∴∠ECG=∠DCG+∠DCE=90°，∴AE【變式6-3】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期末）【閱讀材料】在學(xué)習(xí)正方形時(shí)，我們遇到過這樣的問題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、AD、AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？分別過點(diǎn)G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分別為P、Q，通過證明△GPE≌△HQF，得到GE=HF．根據(jù)閱讀材料，完成下面探究1、探究2中的問題．【探究1】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，使用無刻度的直尺和圓規(guī)作BF⊥AE，交CD于點(diǎn)F（要求直尺、圓規(guī)各使用一次），保留作圖痕跡，并標(biāo)出點(diǎn)F，不要求寫作法；【探究2】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將正方形ABCD沿著EF翻折，點(diǎn)B、C分別落在B'、C'處，且B'C'經(jīng)過點(diǎn)D，將紙片展開，延長C'F交BC于點(diǎn)G（1）求證：DF=GF；（2）求證：AE+CG=DF．【答案】[探究1]見解析；[探究2]（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：[探究1]以B為圓心，AE為半徑畫弧，交CD于F，連接BF即可；[探究2]（1）利用翻折的性質(zhì)和ASA證明△CFG≌△C（2）連接CC'，過F作FN⊥AB于N，可得四邊形BCFN是矩形，得出CF=BN，∠NFD=90°，NF=BC=CD，AN=DF，利用翻折的性質(zhì)，等邊對(duì)等角以及外角的性質(zhì)可得∠FDG=∠FC'C，進(jìn)而得出DG∥C【詳解】解∶[探究1]如圖，BF即為所求，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，AB=DC，由作圖知：AE=BF，∴Rt△ABE≌∴∠BAE=∠CAF，∵∠CAF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴BF⊥AE；[探究2]（1）證明：∵翻折，∴∠C=∠C'=90°又∠CFG=∠C∴△CFG≌△C∴FG=DF；（2）連接CC'，過F作FN⊥AB于則四邊形BCFN是矩形，∴CF=BN，∠NFD=90°，NF=BC=CD又AB=DC，∴AN=DF，∵翻折，∴EF⊥CC∵DF=GF，CF=C∴∠FDG=∠FGD，∠FCC又∠DFC=∠FDG+∠FGD=∠FCC∴∠FDG=∠FC∴DG∥又EF⊥CC∴DG⊥EF，∴∠GDC+∠DFM=90°，∵∠NFD=90°，∴∠EFN+∠DFM=90°，∴∠EFN=∠GDC，又NF=CD，∠ENF=∠C=90°，∴△ENF≌△GCDASA∴EN=GC，又AN=AE+EN，AN=DF，∴DF=AE+GC知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進(jìn)行判定．【題型7正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別與練習(xí)】【例7】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）甲，乙兩位同學(xué)采用折疊的方法，判斷兩張四邊形紙片是否為正方形．甲：如圖①進(jìn)行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形；乙：如圖②進(jìn)行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形．下列判斷正確的是（

）

A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤【答案】D【分析】利用折疊的性質(zhì)和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案．【詳解】解∶①按照?qǐng)D①折疊，可得四邊形的四邊相等，原四邊形是菱形或正方形；②按照?qǐng)D②折疊，可得四邊形的四個(gè)角相等，不能得四條邊相等，原四邊形是矩形；故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形、矩形、正方形的判定等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·重慶榮昌·期末）下列命題：①對(duì)角線相等的菱形是正方形；②對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】利用正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①對(duì)角線相等的菱形是正方形，正確，是真命題，符合題意；②對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，正確，是真命題，符合題意．真命題有4個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度中等．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD，回答問題（1）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．（2）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．（3）對(duì)角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】AC⊥BDAC＝BDAC⊥BD且AC＝BD【分析】先證明四邊形EFGH是平行四邊形，（1）在已證平行四邊形的基礎(chǔ)上，要使所得四邊形是矩形，則需要一個(gè)角是直角，故對(duì)角線應(yīng)滿足互相垂直（2）在已證平行四邊形的基礎(chǔ)上，要使所得四邊形是菱形，則需要一組鄰邊相等，故對(duì)角線應(yīng)滿足相等（3）聯(lián)立（1）（2），要使所得四邊形是正方形，則需要對(duì)角線垂直且相等【詳解】解：連接AC、BD．∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝12AC，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G＝12BD，GH∥AC，GH＝12AC，EH∥BD，EH＝∴EF∥HG，EF＝GH，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)G＝EH．∴四邊形EFGH是平行四邊形；（1）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；（2）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF＝FG，由（1）得，只需AC＝BD；（3）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（1）和（2），則需AC⊥BD且AC＝BD．故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定條件【變式7-3】（12-13九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形【答案】D【分析】此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生答題時(shí)容易出錯(cuò)．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．【詳解】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【題型8證明四邊形是正方形】【例8】（23-24九年級(jí)·四川樂山·期末）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．(1)求證：BE=DE；(2)如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥BE，交邊CD于點(diǎn)F，以BE，EF為鄰邊作矩形BEFG，連接CG．①求證：矩形BEFG是正方形；②若正方形ABCD的邊長為6，CG=22，求正方形BEFG【答案】(1)見解析(2)①見解析；②2【分析】（1）證明△ABE≌△ADESAS（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，再證△FEN≌△BEMASA，得到EF=BE②證明△ABE≌△CBGSAS，得到AE=CG，∠BAE=∠BCG=45°，由∠ACB=45°，得到CE⊥CG，則CE+CG=CE+AE=AC=2AB=62，由CG=22得到CE=42，連接【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD，在△ABE和△ADE中，AB=AD∠BAE=∠DAE∴△ABE≌△ADESAS∴BE=DE；（2）①證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，則四邊形EMCN為矩形，∴∠MEN=90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM=EN，∵∠BEF=90°，∴∠BEM=∠NEF=90°?∠FEM，∵∠FNE=∠BME=90°，在△FEN和△BEM中∠FNE=∠BME=90°∴△FEN≌△BEMASA∴EF=BE，∵四邊形BEFG是矩形，∴矩形BEFG是正方形；②解：正方形BEFG和正方形ABCD中，BE=BG，AB=BC，∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABE=∠CBG=90°?∠CBE，∴△ABE≌△CBGSAS∴AE=CG，∠BAE=∠BCG=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG=CE+AE=AC=2∵CG=22∴CE=42連接EG，∴EG=C∴EF=2即正方形BEFG的邊長為25【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加合適輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB的延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，已知BF=DE，AF⊥AE．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形．(2)若∠DAE=30°，DE=1，求四邊形AECB的面積．【答案】(1)詳見解析(2)3?【分析】（1）證明△BAF≌△DAE，得出AB=AD，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形為正方形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)得出AE=2，根據(jù)勾股定理求出AD=22?【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠EAD=90°，∠ABF=∠D=90°．∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，∵BF=DE，∴△BAF≌△DAE，∴AB=AD．∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵∠DAE=30°，DE=1，∴AE=2，∴AD=2∴S【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定，得出△BAF≌△DAE．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·湖北荊門·期末）問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動(dòng)（每個(gè)小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AD=6．

(1)如圖1，A小組將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AF，連接EF，然后將紙片展平，得到四邊形AEFD．求證：四邊形AEFD是正方形；(2)如圖2，B小組將矩形紙片ABCD對(duì)折使AB與DC重合，展平后得到折痕PQ，再次過點(diǎn)A折疊使點(diǎn)D落在折痕PQ上的點(diǎn)N處，得到折痕AM，連結(jié)MN，展平后得到四邊形ANMD，求四邊形ANMD的面積；【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）證AD=AE=FD=FE，得四邊形AEFD是菱形，再由∠D=90°，即可得出結(jié)論；（2）連接DN，由折疊的性質(zhì)可得△ADN是等邊三角形，∠DAM=30°，求出DA'，由三角形面積公式可求出【詳解】（1）四邊形AEFD是正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB∥∴∠FAE=∠DFA，由第一步折疊可知：∠FAE=∠DAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，∴AD=AE=FD=FE，∴四邊形AEFD是菱形，又∵∠D=90°，∴四邊形AEFD是正方形；（2）連接DN，

由折疊得，AP=PD=∴DN=AN=6∴DN=AN=AD=6∴△ADN是等邊三角形，∴∠DAN=60°∴∠DAM=設(shè)DM=x，則AM=2x由勾股定理得，A∴6解得，x=23∴DM=2由折疊得，S△ADM∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·山西臨汾·期末）綜合與實(shí)踐問題解決：（1）如圖1，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF∥AC，交CE的延長線于點(diǎn)F，連接AF．求證：四邊形類比遷移：（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)AB=BC時(shí)，試判斷四邊形ADBF的形狀，并說明理由．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADBF是正方形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADBF是矩形，理由見解析；（3）AB=BC，∠ABC=90°【分析】（1）先證明△BEF≌△DECAAS，得到BF=CD=AD，再結(jié)合BF（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出BD⊥AC，即可證明四邊形ADBF是矩形；（3）由（2）可知，當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ADBF是矩形，再結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到BD=AD，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BF∥∴∠BFC=∠ACF，∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，在△BEF和△DEC中，∠BFE=∠DCE∠BEF=∠EDC∴△BEF≌△DECAAS∴BF=CD，∵BD是AC邊上的中線，∴AD=CD，∴AD=BF，又∵BF∥∴四邊形ADBF是平行四邊形；（2）四邊形ADBF是矩形，理由如下：∵AB=BC，BD是AC邊上的中線，∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，又∵四邊形ADBF是平行四邊形，∴四邊形ADBF是矩形；（3）當(dāng)△ABC滿足AB=BC，∠ABC=90°時(shí)，四邊形ADBF是正方形，由（2）可知，當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ADBF是矩形，在Rt△ABC中，BD是AC∴BD=1∴四邊形ADBF是正方形，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定定理，正方形的判定定理，掌握特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．【題型9由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江湖州·期末）正方形工整、勻稱、美觀，設(shè)計(jì)方便，在人們的生活和生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用．如圖1為某園林石窗，其外框?yàn)檫呴L為6的正方形ABCD（如圖2），點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊上的中點(diǎn)，以四邊形EFGH各邊的三等分點(diǎn)的連線為邊，分別向內(nèi)作等邊三角形（如△IJK），四個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)恰好是正方形MNPQ各邊的中點(diǎn)，則點(diǎn)H，M之間的距離是．【答案】3【分析】先利用勾股定理得到EH=32，進(jìn)而證明四邊形EFGH是正方形，則可得到IJ=EJ=HI=JK=13EH=2，過點(diǎn)K作KT⊥EH，延長TK分別交PQ，F(xiàn)G于L、S，則TJ=IT=12IJ=22，利用勾股定理得到TK=JK2?JT2=62；證明四邊形TSGH是矩形，得到TS=HG=HE=32，由對(duì)稱性可知LS=TK=62，則KL=TS?TK?LS=32?6；證明四邊形MQLK【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AB，∴AE=AH=3，∴∠AEH=∠AHE=45°，EH=A同理可得∠DHG=45°，∴EH=HG=FG=EF，∴四邊形EFGH是正方形，∵四邊形EFGH各邊的三等分點(diǎn)的連線為邊，分別向內(nèi)作等邊三角形，∴IJ=EJ=HI=JK=1如圖所示，過點(diǎn)K作KT⊥EH，延長TK分別交PQ，F(xiàn)G于L、∴TJ=IT=1∴TK=J∵THG=∠HJS=∠HTS=90°，∴四邊形TSGH是矩形，∴TS=HG=HE=32由對(duì)稱性可知LS=TK=6∴KL=TS?TK?LS=32∵K、L分別為正方形NMQP邊MN，∴MK=QL，∴四邊形MQLK是矩形，∴MN=MQ=KL=32?6如圖所示，過點(diǎn)M作MW⊥EH于W，則四邊形TK