2023年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ) 重點(diǎn)難點(diǎn)題（高分突破）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合的概念...............................................................I

1.2集合的基本關(guān)系.........................................................15

13集合的基本運(yùn)算..........................................................31

1.4充分條件與必要條件....................................................45

1.5全稱量詞與存在量詞....................................................62

1.1集合的概念

一、單選題

1.設(shè)集合A=｛周長(zhǎng)為4cm的正方形｝,B=｛面積為4cm2的長(zhǎng)方形｝,則正確的是（）

A.A,8都是有限集B.A,8都是無(wú)限集

C.人是無(wú)限集，B是有限集D.人是有限集，“是無(wú)限集

【答案】D

【解析】

先依據(jù)集合A限制條件判定其為是有限集；再依據(jù)集合B限制條件判定其為無(wú)限集，進(jìn)而得

到正確答案.

集合A：周長(zhǎng)為4cm的正方形，可以解得邊長(zhǎng)1cm,這樣的正方形只有1個(gè).

所以為有限集.

集合B：面積為4cm2的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬可以任意變化，這樣的長(zhǎng)方形有無(wú)數(shù)個(gè)，

所以為無(wú)限集.

2.下列說法：①地球周圍的行星能構(gòu)成一個(gè)集合；②實(shí)數(shù)中不是有理數(shù)的所有數(shù)能構(gòu)成一個(gè)

集合；③｛1,2,3｝與｛1,3,2｝是不同的集合.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

根據(jù)集合中元素具有的特征：互異性，無(wú)序性和確定性即可判斷.

“周圍”是一個(gè)模糊的概念，不滿足確定性，所以①錯(cuò)誤.實(shí)數(shù)中不是有理數(shù)的所有數(shù)，元素是確

定的，所以能構(gòu)成一個(gè)集合，②正確.｛1,2,3｝與｛1,3,2｝兩個(gè)集合中的元素是一樣的，所

以是相同的集合，故③錯(cuò)誤.

3.下列命題中正確的是（）

①”與｛0｝表示同一個(gè)集合

②由1,2,3組成的集合可表示為｛123｝或｛3,2,1｝

③方程(X-1)2(X-2)=0的所有解的集合可表示為{U,2}

④集合{水<x<5}可以用列舉法表示

A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都對(duì)

【答案】C

【解析】

由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點(diǎn)判斷②，③.

解：對(duì)于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而。不含任何元素，所以①不

正確；

對(duì)于②，根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，知②正確；

對(duì)于③，根據(jù)集合元素的互異性，知③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由于該集合為無(wú)限集、且無(wú)明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.

綜上可得只有②正確.

4.已知集合人={{0},0},下列選項(xiàng)中均為A的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{。}。}

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】B

【解析】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

集合A有兩個(gè)元素：{0}和0,

5.下列關(guān)于集合的說法正確的有()

①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合；

②集合卜卜=2x2+1}與集合((Xy)\y=2x2+1}是同一個(gè)集合：

③1,2,4,0.5,J這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【解析】

根據(jù)集合的定義判斷.

很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯(cuò)誤的，不滿足元素的確定性，故①錯(cuò)誤.

集合卜卜=2/+1}=卜,21}表示)，的取值范圍，而{(x,刈y=2/+l}表示的集合為函數(shù)

y=2/+l圖象上的點(diǎn)，所以不是同一集合，故②錯(cuò)誤.

1,2,~,0.5,g這些數(shù)組成的集合有3個(gè)元素，而不是5個(gè)元素，故③錯(cuò)誤.

6.已知集合知={1,帆+2,加+的，且則m的值為（）

A.1或-1B.1或3C.-1或3D.I,T或3

【答案】B

【解析】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系，得到〃?+2=5或>+4=5,從而求得〃，值，并驗(yàn)證是否符合集合

互異性即可.

解：5G{1,6+2,in2+4},

..m+2=5^m2+4=5>即加=3或加=±1.

當(dāng)相=3時(shí)，河={1,5,⑶；

當(dāng)初=1時(shí)，M=U,3,5）；

當(dāng),〃=一1時(shí)，"={1,1,5}不滿足互異性，

?.根的取值集合為{1，3}.

7.由大于?3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（）

A.x￡Z}

B.{R-3<x〈U}

C.{x|-3<x<l1,x=2k}

D.{.^-3<x<l1,x=2k,k^Z}

【答案】D

【解析】

逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，用不等式表示題中描述的內(nèi)容，在利用描述法即可得出答案.

解：大于-3且小于11的偶數(shù)，可表示為-3811,x=2k,kGZ,

所以由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是3-34V11,尸2A,右目，故D符合題意；

對(duì)于A,集合表示的是大于?3且小于11的整數(shù)，不符題意；

對(duì)于B,集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，不符題意：

對(duì)于C,集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，，但不一定是整數(shù)，不符題意.

8.由實(shí)數(shù)x,-x，k|,G■，-#7所組成的集合中，最多含有元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

從集合中元素的互異性出發(fā)，按照x=0、x>0,x<0分類，即可得解.

由于行=卜|,=

因此當(dāng)K=0時(shí)，這幾個(gè)實(shí)數(shù)均為0,集合含有1個(gè)元素；

當(dāng)x>0時(shí)，它們分別是集合有2個(gè)元素；

當(dāng)工<0時(shí)，它們分別是集合有2個(gè)元素；

所以集合中最多含有元素的個(gè)數(shù)為2.

9.若xwA,則gwA,就稱A是伙伴集合.其中“二12,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具

有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.7D.31

【答案】B

【解析】

根據(jù)伙伴集合的定義利用列舉法即可求出結(jié)果.

???若xeA,則，eA,就稱A是伙伴集合，

X

.知=卜2,一1,0,；,2,3},

卜2,-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合有{嗎，{-1},{-1，嗎.

??河=卜2,-1,0，,2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是3.

10.已知集合尸={x|x=2%MwZ},Q={x|x=2Z+l,kwZ},M={x|x=4A+L%€Z},且

。撾戶力。，則（）

A.a+b?PB.。+力？Q

C.a+b?MD.a+b不屬于P,Q,M中的任意一個(gè)

【答案】B

【解析】

設(shè)出。，力的值，相加再判斷得解.

asP,:.a=2K，吊wZ.

.bwQ,:.b=2kl+1,eZ.

..a+b=2（K+&）+l=2攵+leQ（占,七,%wZ）.

xyxy

11.已知x,y都是非零實(shí)數(shù)，7=凡+凡+前可能的取值組成集合4,則（）

A.2GAB.3cAC.-1EAD.1GA

【答案】C

【解析】

先求出集合A,再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

①當(dāng)x>0,)>0時(shí)，z=1+1+1=3；

②當(dāng)x>0,yvO時(shí)，z=l-l-l=-l；

③當(dāng)x<0,)>0時(shí)，z=-l+l-l=-l；

④當(dāng)x<0,)，<0時(shí)，z=-l-l+l=-l,

工集合A={-1,3}.A-ieA.

12.對(duì)于集給出如下三個(gè)結(jié)論：①如果

P={"|b=2〃+l,〃eZ},那么P=M；②如果c=4〃+2,〃wZ,那么c/M；③如果4eM,a2eM,

那么gwM.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

①根據(jù)2〃+1=(〃+1)22,得出2〃+le”,即P=M；

②根據(jù)c=4〃+2,證明4〃+2?M,即c居M；

③根據(jù)qeM，02GM,證明q/eM.

解：集合M={。|。=*2-)?，XGZ,ywZ},

對(duì)于①，b=2n+l,〃wZ,

則恒有2/i+l=(n+1)2-n2,

+^P={b\b=2n+\fneZ}t則P=①正確;

對(duì)于②，c=4n+2,neZt

若4〃+2?M,則存在x,ywZ使得y2=4,2+2,

..4〃+2=(x+y)(x-y),

又工+y和x—y同奇或同偶，

若x+y和x-y都是奇數(shù)，則(x+y)(x-y)為奇數(shù)，而4〃+2是偶數(shù)；

若x+y和x-y都是偶數(shù)，則(x+y)(x-y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除,

.1.4n+2eM,即c足M,②正確;

對(duì)于③，,

可設(shè)q=x”>3a2=xl-y1f陽(yáng).、y,eZ；

則4a2=5-父)(￥-￡)

=(斗弓)2+(人為)2-a%)?一(吃城

2

=a占+>跖)2—(西必+X2yt)GM

那么4%GM,③正確.

綜上，正確的命題是①@③.

二、多選題

13.(多選題)下列各組中M,P表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1)1

B.A/={(3,1)),P={(1,3)}

C.M={y|y=/+1,xGR),P={x|x=/2+l,f￡R}

D.M={y|y=f—1,x《R},P={(x,y)|y=f-l,%￡R}

【答案】ABD

【解析】

選項(xiàng)A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；

選項(xiàng)B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn)，故M$；

選項(xiàng)C中，解出集合M和夫

選項(xiàng)D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.

選項(xiàng)A中，M是由3,一1兩個(gè)元素構(gòu)成的集合，而集合戶是由點(diǎn)(3,—1)構(gòu)成的集合；

選項(xiàng)B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn)，故MrP；

選項(xiàng)C中，M={*=f+1,xeR}=[h-Bx>),p={4r=?+i,zeR}=[l,+oo),故小尸；

選項(xiàng)D中，M是二次函數(shù)x￡R的所有因變量組成的集合，而集合尸是二次函數(shù)y

=f-1,x￡R圖象上所有點(diǎn)組成的集合.

14.下列各組中集合P與Q,表示同一個(gè)集合的是()

A.尸是由元素1,6萬(wàn)構(gòu)成的集合，。是由元素兀，1,卜&構(gòu)成的集合

B.P是由乃構(gòu)成的集合，。是由3.14159構(gòu)成的集合

C.P是由2,3構(gòu)成的集合，。是由有序數(shù)對(duì)(2,3)構(gòu)成的集合

D.P是由滿足不等式-1M1的整數(shù)構(gòu)成的集合，。是由方程工(無(wú)+1)(六1)=0的解構(gòu)成的集合

【答案】AD

【解析】

根據(jù)題意分析即可.

由于A,D中P,。的元素完全相同，所以P與。表示同一個(gè)集合，

而B,C中P,。的元素不相同，所以尸與。不能表示同一個(gè)集合.

15.(多選)設(shè)集合M={x|x=2/〃+l,〃?WZ},P={y\y=2m,若xoWM,yoWP,a

=切+光，b=xoyo,則()

A.aEMB.aGP

C.b￡MD.bGP

【答案】AD

【解析】

利用整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)集合M,N中元素的性質(zhì)判定。力的性質(zhì)，進(jìn)而判定〃力與M,N的

關(guān)系，即可作出判定.

設(shè)初=2帆+1,yo=2n,m,nGZ,

則。=xo+yo=2m+1+2〃=2（，"+〃）+1,

*.*m+nWZ,：.aWM,

b=xoyo=2n（2m+1）=2（2mn+〃），

?J2mn+n￡z、：.bGP,

即。WM,b￡P(guān),

16.當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集廠滿足條件“若"，bwF,則a+b,a—b,abwF,且當(dāng)6工0時(shí)，

b

時(shí)，稱尸為一個(gè)數(shù)域，以下說法正確的是（）

A.0是任何數(shù)域的元素

B.若數(shù)域尸有非零元素，則2023戶

C.集合P={x|x=3A/wZ}為數(shù)域

D.有理數(shù)集為數(shù)域

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)新定義，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

解：對(duì)于A,若awF,則a-a=Oe尸，故A正確；

對(duì)于B,若aw尸且。*0,貝心=色￡尸，2=1+1GF,3=1+2GF,依此類推，可得2021G尸，

a

故B正確；

3

對(duì)丁C,P={x\x=3k.k^Z},3七尸，6<=尸，但三丈尸，故產(chǎn)不是數(shù)域，C錯(cuò)誤；

6

對(duì)于D,若。，。是兩個(gè)有理數(shù)，則a+〃，a-b,ab,楙作工0）都是有理數(shù)，所以有理數(shù)集

是數(shù)域，D正確.

17.已知集合人={X”=加+島,川/eZ},則下列說法中正確的是（）

A.OeA但（1-2月>任4

B.若與=4+石4，9=叫+百4，其中嗎,〃I，叫,％cZ,則芭士々《4

C.若內(nèi)=町+，5〃],9二〃22+，5%，其中犯，勺，嗎，電eZ,則玉fwA

D.若％=町+75〃],巧=“+6%,其中嗎,〃],外,巧€Z,則—

【答案】BC

【解析】

A選項(xiàng)，求出帆=13,〃=T,故(1-2石尸6A；BC選項(xiàng)，通過計(jì)算可以得到4±巧€A,

X]-x2eA；D選項(xiàng)，毛=也+\/5的=0時(shí)，不符合要求，D錯(cuò)誤.

(1一26)2=13-46，故m=13,〃=T,所以(1一2石/wA,A錯(cuò)誤；

石±七=S+G〃i±(，丐+6丐)=(明士嗎)+G(〃i±〃2),其中班土，々eZ,n}±n2eZ,故

x}±x2eAtB正確；

X[-x2=(〃?]+Ga1)?(7%+V3?2)=，即巧+3〃I〃2+(町八2+"4〃i)&，其中川j%+3〃]/eZ,

叫巧+叫勺62，故C正確;

因?yàn)镺cA,^x2=/n,+5/3/23=0,此時(shí)受無(wú)意義，故土史A,D錯(cuò)誤.

々“2

18.設(shè)集合“二{。|。=%2_y2,x,y?z},則對(duì)任意的整數(shù)〃，形如4小4〃+1,4〃+2,4〃+3的

數(shù)中，是集合M中的元素的有

A.4〃B.4n+1C.4〃+2D.4〃+3

【答案】ABD

【解析】

將4〃,4〃+1,4〃+3分別表示成兩個(gè)數(shù)的平方差，故都是集合M中的元素，再用反證法證明

4w+2?M.

V4/?=(〃+I)2-(/I-I)2,A4/zIM.

V4H+1=(2〃+1尸-(2n)2,???4"+1?M.

V4/2+3=(2〃+2>.(2n+I)2,:.4〃+3?M.

若4〃+2?M,則存在KyfZ使得--丫2=4〃+2,

貝IJ4〃+2=(x+y)(x-y1x+y和與一、的奇偶性相同.

若x+y和x-y都是奇數(shù)，則(x+y)(x-y)為奇數(shù)，而4〃+2是偶數(shù)，不成立；

若x+y和工一丁都是偶數(shù)，則(x+y)(x—y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除，不成立，，

4〃+2?M.

三、填空題

19.用符號(hào)和“住”填空：

⑴I-—N；(2)1___z.；(3)-2——R；

(4)冗—_Q+；(5)32____N；(6)0__0.

【答案】任任G任任

【解析】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

由MZ_,R,Q+，0所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷

(1)/(2)右(3)e(4)任(5)e(6)電.

故答案為：(1)史(2)/(3)e(4)史(5)e(6)史.

20.設(shè)集合A={a)，)|x+y=3,x￡N\)，wN*},則用列舉法表示集合A為.

【答案】{(1,2),(2,1)}

【解析】

x>0

根據(jù)題意可得{,八，則0cx<3,對(duì)x=l,2代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo).

y=3-x>0

x>0

Vx+y=3,A-GN\>'eNr,則可得{,則0cx<3

y=3-x>0

則當(dāng)”=1,y=2成立，當(dāng)x=2,y=1成立，

AA=((1,2),(2,1)}

故答案為：{(1,2),(2,1)}.

21.若3e{m-l,3肛M-l},則實(shí)數(shù)/"=.

【答案】4或±2

【解析】

分三種情況討論即得.

:3e)〃一1,3/〃,nr-11,

Am-1=3,即機(jī)=4,此時(shí)3〃?=12,〃?2T=15符合題意；

3m=3,即m=1,此時(shí)m-1=0,疝-1=0,不滿足元素的互異性，故舍去；

加2_』3,即加=±2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,

綜上，加=4或12.

故答案為：4或±2.

22.給定集合A,若對(duì)于任意a,有且a-6￡A,則稱集合A為閉集合，給

出如下四個(gè)結(jié)論：

①集合A={0}為閉集合；

②集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合；

③集合A={川〃=32,ZWZ}為閉集合；

④若集合A/、4為閉集合，則A/U4為閉集合.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①③

【解析】

根據(jù)新定義和集合知識(shí)綜合的問題，分別判斷。+力￡4且a-6WA是否滿足即可得到結(jié)論.

?0+0=0,0-0=0,0￡A,故①正確；

②當(dāng)。=-4,b=?2時(shí)，a+b=-4+(-2)=?6色4,故不是閉集合，.??②錯(cuò)誤；

③由于任意兩個(gè)3的倍數(shù)，它們的和、差仍是3的倍數(shù)，故是閉集合，，③正確：

④假設(shè)4={川〃=3攵，MZ},。={咖=5%,MZ},3￡A/,5WA2,但是，3+5<A/UA2,則

A/UAz不是閉集合，，④錯(cuò)誤.

正確結(jié)論的序號(hào)是①@.

故答案為：①③.

四、解答題

23.用列舉法表示下列集合：

(1){小是14的正約數(shù)}:

(2){(x,y)ke{l,2},ye{i,2}l；

(3){(x,y)a+y=2,L2)，=4}；

(4)］小=(—l)〃,〃￡N}；

(5){Uy)|3x+2y=16,x￡N,y￡N}.

【答案】(1){1,2,7,14}

(2){(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

⑶信管}

(4)(-1,1)

(5){(0,8),(2,5),(4,2))

【解析】

根據(jù)集合的列舉法的概念即得.

(1){小是14的正約數(shù)}二{1,2,7,14}.

(2){8加心(1,2),yG{l,2)}={(l,1),(1,2),(2,1),(2,2)).

(3){Uy)k+y=2,x-2y=4}=|(1.-|)k

(4){4c=(-lXneN)={-l,1}.

(5){?y)\3x+2y=16,xeN,yeN}={(0,8),(2,5),(4,2)}.

24.把下列集合用適當(dāng)方法表示出來(lái)：

(1){2,4,6,8,10}；

(2){xeN13Vx<7}；

⑶A={X|X2=9}；

(4)={xe/V|1<x<2j；

(5)C={*|.，-3r+2=0}.

【答案】(1){x|x=2A/eZ且ld45}；(2){4,5,6}；(3){-3,3}；(4){1,2}；(5){1,2}.

【解析】

根據(jù)集合的元素個(gè)數(shù)和元素特征選擇列舉法和描述法即可解出.

(1)因?yàn)榧现械脑囟际桥紨?shù)，所以{2,468,10)=(用犬=2生4€2且1?%45}.

(2){xe/V|3<x<7}={4,5,6).

(3)由/=9得戶±3,因此力=卜|/=4={-3,3}.

(4)由xeN,且得X=1或X=2,因此夕={xeN|lSx?2}={1,2}.

(5)由爐一34+2=0得x=l或工=2,.因此C=卜|V_3x+2=0}={1,2}.

25.判斷下列集合是有限集還是無(wú)限集：

(1)A=(x||x|<10,XGZ}；

(2)卜x=—N)；

(3)S={P|4P+P5=45}(A,B為平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)).

【答案】⑴有限集;(2)無(wú)限集；(3)無(wú)限集.

【解析】

(1)由已知得4={劃-10〈工<10)￡2},可得出集合A中的元素，由此可得結(jié)論；

(2)由已知得該集合的元素有0,；,j,由此可得結(jié)論；

(3)由S={P|4P+P5=表示線段AB上的點(diǎn)組成的集合可得結(jié)論.

解：(1)因?yàn)锳={.qk|<10,x€=z}={x|-10<xv1O,X€=Z},

所以集合A中的元素為±9,±8,土7,±6,±5,±4,±3,±2,±1,0,所以集合4是有限集；

(2)因?yàn)椋酃す?」7，〃￡%］中的元素有0。,2,…無(wú)限個(gè)元素，所以集合=

n+\J23n+\J

是無(wú)限集；

(3)因?yàn)镾={P|AP+PB=A8}表示線段4B上的點(diǎn)組成的集合，線歿48上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，

所以集合S={P|AP+P8=A8}為無(wú)限集.

26.(1)已知集合4=}6"丁=痣62卜試用列舉法表示集合A；

(2)已知集合5={yeZy=蕓,XEN},試用列舉法表示集合B.

【答案】(1){0,1,3,9}；(2){1,2,3,4}.

【解析】

12

(1)由xeN,y=--eZ,可列舉出x+3的值，得出力的值，即可?寫出集合A；

x+3

12

(2)由y==￡Z且xwN,可列舉出x的值，得出相應(yīng)的丁的值，即可寫出集合8.

x+3

12

解：(1)由xwN,y=--eZ,知x+3可為3,4,6,12,即x為0,1,3,9,

x+3

所以集合A用列舉法表示為{0,1,39}；

12

(2)因?yàn)閥=-且xeN,所以x=0,l,3,9,則相應(yīng)》的值為4,3,2,1,

x+3

所以集合8用列舉法表示為{1,2,3,4}.

27.己知集合A=k|o?+2x+l=0MeR},若A中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值集合.

【答案】{電訊.

【解析】

分類討論集合中恰有一個(gè)元素和恰有兩個(gè)元素的情況，即可得解.

集合A中至少有一個(gè)元素，即A中只有一個(gè)元素，或A中有兩個(gè)元素.

當(dāng)A中有一個(gè)元素時(shí)，a=0,或即a"；

(a±0,

當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí)，由A//八解得avl,且〃工0.

[A=4-4t/>0,

綜上，得。W1.

即實(shí)數(shù)。的取值集合為{。卜4}.

28.已知集合人二,仁叫好?-3%+l=0,aeR}.

⑴若leA,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的值；

(3)若集合4中僅含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)。=2

9

⑵a=0或a=-

4

⑶卜a<\,aw。)

【解析】

(1)將4=1代入方程求解即可；

（2）分。=0、兩種情況求解即可；

（3）由條件可得。工0,且△=（一3）2-44>0,解出即可.

（1）

VIGA,Aaxl2-3X14-1=0.

a=2；

（2）

當(dāng)a=0時(shí)，x=1,符合題意；

9

當(dāng)。工0時(shí)，△=（一3—一4〃=0,/.?=—.

4

9

綜上，〃=0或。=:；

4

（3）

集合A中含有兩個(gè)元素，即關(guān)于x的方程依2一3工+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

且△=（一3-一4a>0,

9

解得且”0,

4

.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍為

29.已知集合A=卜卜=加+小萬(wàn)，且帆:一3〃2=l,"?,〃tZ}.

（1）判斷（夜+卡）2是否為A中元素

（2）設(shè)ciA,求證：—~~石GA

（3）證明：若xwA,則％是偶數(shù)；

X

【答案】（1）（血+癡）2不是集合A中元素；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)集合元素的屬性判斷;

根據(jù).A'由笠膂化簡(jiǎn)'

(2)由集合元素的屬性判斷;

⑶根據(jù)反4由=M+〃石+小化簡(jiǎn)判斷.

（1）因?yàn)椋?+石>=8+4百，

此時(shí)：m=8,w=4,不滿足裙-37

所以（女+指門不是集合A中元素.

(2)因?yàn)閏iA,則二尸=生邛,

2+x/32+V3

=(m+n-73)(2-V5)，

=(2m-3〃)+(2n-m)\/3,

因?yàn)?m-3〃,2〃-加都是整數(shù)，

所以占

(3)因?yàn)閤wA,

所以x+'=/w+〃6+---7=,

x〃?+〃x/3

01m-n4i

=m+〃V3+-；---7=2m,

m~-3n

因?yàn)閙w/?,所以2m為偶數(shù)即x為偶數(shù).

r

14-r

30.己知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A滿足：若xtA,且工工±1、0,則當(dāng)6A.

(1)求證：當(dāng)2eA時(shí)，A中還有3個(gè)元素；

(2)設(shè)±1、0均不屬于A,問：非空集合A中至少有幾個(gè)元素？

【答案】⑴A中還有3個(gè)元素是：-3,-吳?證明見解析；(2)至少有4個(gè).

【解析】

(1)令x=2,代入產(chǎn)中計(jì)算，再根據(jù)彳64則；上wA進(jìn)行計(jì)算即可，注意集合中的元

i-x\-x

素是互異的；

14-r

(2)當(dāng)xw±l、0時(shí)，由xeA,則；式wA,進(jìn)行計(jì)算即可，注意集合中的元素是互異的.

1-x

(1)若令x=2wA,則匕=匕=-3eA,

\-x1-2

1+x14-(-3)1

止匕時(shí)即有x=-3e4,PPJ---=/*=一彳^4，

I—r1—1—31z

I1+"

即工=彳￡4,則丁上=T=2C4(出現(xiàn)重復(fù)元素2,停止計(jì)算),

3171-1

3

綜上，當(dāng)2"時(shí)?，A中還有3個(gè)元素是：-3,-；,；.

(2)當(dāng)xw±l、0時(shí)，由xeA,所以——eA,

\-x

1+X

+77T1

所以--_—=-A

\-x

X-1

x-1

4-----

所以x+~1_—Ayt(=/AI（出現(xiàn)重復(fù)元素X,停止計(jì)算）,

x-1

x+\

所以，非空集合A中至少有4個(gè)元素.

1.2集合的基本關(guān)系

一、單選題

1.下列表述正確的有（）

①空集沒有子集：

②任何集合都有至少兩個(gè)子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若0是A的真子集，則4題.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】

根據(jù)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷.

因?yàn)?。之。，故①錯(cuò)；

。只有一個(gè)子集，即它本身.故②錯(cuò)；

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③錯(cuò)；

空集是任何非空集合的真子集，故④正確，

2.下列各式中：①{0}e{0J2}；②{0,1,2}q{2,1,0}；③0G{0,1,2}；?0={O}；⑤

{O,l}={(OJ)};⑥0={0}.正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.

①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；

②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則{0,1,2}q{2,1.0},正確；

③空集是任意集合的子集，故0q{O,L2},正確；

④空集沒有任何元素，故0。{0},錯(cuò)誤；

⑤兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故{0」},{(0,1)}為不同集合，錯(cuò)誤；

⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；

，②③正確.

3.已知集合4={-2,3,1},集合5={3,〃Z2}.若則實(shí)數(shù)〃，的取值集合為()

A.{1)B.網(wǎng)C.)1,-1)D.卜瓦6}

【答案】C

【解析】

根據(jù)8是A的子集列方程，由此求得機(jī)的取值集合.

由于所以=

所以實(shí)數(shù)m的取值集合為{1,7}.

4.若集合A={小=2hH,k^Z]tB={x\x=2k~\,2」Z},。={小=4%-1,k^Z}f則A,

B,C的關(guān)系是()

A.C￡A=8B.AQCQB

C.A=B^CD.BQAQC

【答案】A

【解析】

由整數(shù)的整除性，可得A、8都表示奇數(shù)集，C表示除以4余3的整數(shù).將A、B、。盡可能

形式表達(dá)統(tǒng)一，由此利用集合間的關(guān)系求解.

VA={jdx=2(k+l)-l,kez}t8={小=2=-1,依Z},C-22AL依Z},

.?.4=5,C集合中24只能取偶數(shù)，.?.CuA=3

5.給出下列關(guān)系式：①0￡0；@-3eZ：③{0}1{#2=@；④{OkN；⑤

(、.|2x-y=1

將土a,刈1+[=5,其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

①空集中不含任何元素，由此可判斷①；

②-3是整數(shù)，故可判斷②正確；

③通過解方程可得出卜,2=@={0」},故可判斷③；

④根據(jù)N4為正整數(shù)集可判斷④；

⑤通過解方程產(chǎn)二可，得==從而可判斷⑤.

[x+4y=51[x+4y=5]1)

①0史0,故①錯(cuò)誤；

②一3是整數(shù)，所以-3wZ,故②正確；

③由/=不，得x=0或x=l,所以卜,=@={0,]},所以{0}口卜,=x}正確;

④N"為正整數(shù)集，所以{0}qN.錯(cuò)誤；

f2x-y=1_fx=l~,fif2x-y=11“f.\2x-y=\

⑤由t今=5,得所以z卜叫小二卜依此所以將小現(xiàn)十:5錯(cuò)

誤.

所以正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).

6.已知集合4={打-1。43},S=L|^1<ok則用韋恩圖表示它們之間的關(guān)系正確的

【答案】C

【解析】

先求出集合叢然后根據(jù)集合間的關(guān)系以及韋恩圖即可判斷正確選項(xiàng).

解：因?yàn)榧?={H言《()},

所以3={x[—l<x?3},又集合4={x|—lJW3},

所以St)A,根據(jù)韋恩圖可得選項(xiàng)C正確，

7.已知集合B={.r|0<x<6,x￡N},則滿足雇在5的集合C的個(gè)數(shù)

為()

A.4B.7C.8D.16

【答案】B

【解析】

求出集合A,B,由此利用列舉法能求出滿足A手CG8的集合C的個(gè)數(shù).

：集合2),

B={xl0<x<6,X《N}={1,2,3,4,5),

???滿足4組CG8的集合C有："，2,3),{1,2,4},{I,2,5),{1,2,3,4),(1,2,3,

5},{1,2,4,5},{1,2,3,4.5),

共7個(gè).

8.對(duì)于兩個(gè)非空集合4,B,定義集合A-8={x|xeA且工任8},若材={1,2,3,4,5},

N={0,2,3,6,7},則集合N—M的真子集個(gè)數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

先根據(jù)題意求出N-M={0,6,7},從而可求出其真子集個(gè)數(shù)

由題意，知集合={067},所以集合N-M的真子集個(gè)數(shù)為23-1=7.

9.設(shè)小力是實(shí)數(shù)，集合4={%卜一。|<1,XWR},B={x\\x-b\>3,xGR},且則|。一可

的取值范圍為()

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+oo)D.[4,-Ko)

【答案】D

【解析】

解絕對(duì)值不等式得到集合A3,再利用集合的包含關(guān)系得到不等式，解不等式即可得解.

集合A={x卜-a|</?}={x|q_]<x<a+l},

B=|x||x-Z?|)3,x€/?|={x|x<Z?-3g￡x>Z?+3}

又4=8,所以或a-lNb+3

即a-bW-4或。一力之4,即,一身工4

所以的取值范圍為[4,*o)

10.集合M={x+3x-1=0）至多有1個(gè)真子集，則4的取值范圍是（）

9QQ

A.a<—B.a>—C.a=0D.a=0或—

444

【答案】D

【解析】

由題意得M元素個(gè)數(shù)，分類討論求解

當(dāng)。=0時(shí)，A/={1）,滿足題意，

9

當(dāng)。工0時(shí)，由題意得△ug+daWO,得aW一一，

4

綜上，。的取值范圍是S，-如⑼

11.若xeA,則就稱A是伙伴集合.其中“=卜2,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具

有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.7D.31

【答案】B

【解析】

根據(jù)伙伴集合的定義利用列舉法即可求出結(jié)果.

「若xeA,則,€4,就稱A是伙伴集合，

x

.M+2,—l,0,g,2,3},

.?.聞=卜2「l,0,g,2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合有卜,；卜{-1},卜

二.M=卜2,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是3.

12.全集U={（x,y）|xeZ,yeZ},非空集合SqU,且S中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系x。），內(nèi)形成

的圖形關(guān)于x軸、y軸和直線丫=》均對(duì)稱.下列命題：

①若（1,3"S,則（T,—3）￡S；

②若（O,4）eS,則S中至少有8個(gè)元素；

③若（O,O）/S,則S中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)；

@若{（乂曠）卜+尸4/€乙），€2}6,則{（x,y）舊+|y|=4,xcZ,y€Z}aS.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

s中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系X。店形成的圖形關(guān)于x軸、y軸和直線均對(duì)稱.

所以當(dāng)(x,y)wS,則有(x,-y)w5,(T,y)wS,(y,x)eS,

進(jìn)而有：(一乂一y)eS,(-y,x)wS,(y,-x)e5,(-J,-X)G5

①若(1,3)CS,則(T,—3)wS,正確;

②若(0,4)eS,則(O,T)eS,(4,0)eS,(T,O)eS,能確定4個(gè)元素，不正確：

③根據(jù)題意可知，(x,y)wS,若x=0,丁工。能確定4個(gè)元素，當(dāng)xwO,，=0也能確定四個(gè)，

當(dāng)工工0,丁工0也能確定8個(gè)所以［0,0)￡S,則S中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)正確：

④若{(x，y)|x+y=4,xwZ,)，wZ}qS,由S中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系9,內(nèi)形成的圖形關(guān)于

%軸、V軸和直線產(chǎn)x均對(duì)稱可知，{(x,y)k-y=4,x€Z,ywZ}qS,

{(國(guó))，)|一x+y=4,xeZ,ycZ}qS,{(x,y)|-x-y=4,xeZ,yeZ}qS,即

{(x,y)M+|y|=4,xeZ,ywZ}±S,故正確,

綜上：①③④正確.

二、多選題

13.下列關(guān)系中正確的是()

A.Oe0B.0e{0}

C.0c{0}D.0c{O}

【答案】BCD

【解析】

根據(jù)空集的定義和性質(zhì)，依次判斷即可

選項(xiàng)A：空集中沒有元素，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：{0}中只有一個(gè)元素0,故B正確；

選項(xiàng)C,D：空集是任意集合的子集，故C,D正確

14.下列集合是空集的是()

A.B.|xe/?|x2+x+3=o|

C.{xe/?|x+2020=2020}D.{(x,y)|x2+|>j=O,x,ye

【答案】AB

【解析】

根據(jù)各選項(xiàng)集合的描述直接判斷是否為空集即可.

A：由ycR上y22o恒成立，故卜€(wěn)/?卜2<（）}=0；

B：方程/+%+3=0無(wú)解，故卜￡林"+3=0}=0；

C：”昨+2020=2020}={0},不為空集；

D：{（若切上+3=0}={（0,0）},不為空集.

15.下列說法正確的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{。㈤共有4個(gè)子集

C.集合{x|x=3/74-l,7ieZ}={x|x=3〃-2,〃eZ}

D.集合{xlX=1+6T2,OGN*|={.dx=a2-4/7+5,.GN"}

【答案】BC

【解析】

根據(jù)集合的性質(zhì)依次判斷即可.

對(duì)A,空集不是它自身的真子集，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)榧蟵。，力}中有2個(gè)元素，所以有2?=4個(gè)子集，故B正確；

對(duì)C,因?yàn)閮蓚€(gè)集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，所以兩個(gè)集合相等，故C正確;

對(duì)D,因?yàn)閤=/-4〃+5=（。-2）2+1,當(dāng)a=2時(shí)，x=\,所以le{dA=?2-4a+5,?eN*},

但1任{x[x=l+a2MtN*},故兩個(gè)集合不相等，故D錯(cuò)誤.

16.下列選項(xiàng)中兩個(gè)集合相等的是（）

A.P=|x|x2+x=0|，C=-x\

2

B.P=[（|>}.Q={0}

C.P={Hx=10A,Z￡Z},Q={xk=2m_Kx=5〃,，〃eZ,“eZ}

D.P='xx=—+—,?e/?,Q=|x|x5-3x3-4x=oj

ab

【答案】ACD

【解析】

利用集合相等判斷.

A.因?yàn)槭?卜v+、=0}={-1,0}.。={-1,0},故兩個(gè)集合相等；

B.因?yàn)镻={囪的元素是0,Q={。}的元素為0,故兩個(gè)集合不相等；

C.因?yàn)槭?{x|x=l。4/eZ},Q={xk=2An^x=5〃,meZ,〃eZ}={xk=10NMeZ},故兩

個(gè)集合相等；

D.尸={-2,0,2},。={-2,0,2},故兩個(gè)集合相等；

17.（多選）集合4={幻/+公+1>0},6={幻/+辦+2>0},下列說法正確的是（）

A.對(duì)任意心6是鳥的子集B.對(duì)任意a,R不是E的子集

C.存在。，使得《不是2的子集D.存在4,使得鳥是耳的子集

【答案】AD

【解析】

討論6、名均為非空或空集，研究集合6、鳥之間的包含關(guān)系.

當(dāng)6、8均不為空集時(shí)，/?={x|<+av>-l},鳥=卜次2+6>一2},此時(shí)[是鳥的

子集：

當(dāng)4、2均為空集時(shí)，6=6，4與6互為子集，

18.己知集合A={x|lc<2},E={x|2a—3Vx〈a—2},下列說法正確的是（）

A.不存在實(shí)數(shù)〃使得A=3

B.當(dāng)。=4時(shí)，AaB

C.當(dāng)0KaK4時(shí)，

D.存在實(shí)數(shù)〃使得BqA

【答案】AD

【解析】

選項(xiàng)A由集合相等列方程組驗(yàn)算；選項(xiàng)B由。=4得3=0,故不滿足A=B；選項(xiàng)C、D通

過假設(shè)bqA求出實(shí)數(shù)a的取值范圍可判定.

選項(xiàng)A：若集合A=8,則有產(chǎn)二二“，因?yàn)榇朔匠探M無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)。使得集合A=8,

[a-2=2,

故選項(xiàng)A正確.

選項(xiàng)B：當(dāng)a=4時(shí)，B={x|5<x<2）=0,不滿足低3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

若8=則

①當(dāng)6=0時(shí)，有2〃一32〃一2,a>l；

a<1,

②當(dāng)BW0時(shí)，有?2a-3>1,此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解；

a-2<2

所以若5工A,則有故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

三、填空題

19.一個(gè)〃（〃eN）元集合有個(gè)子集，有個(gè)非空子集，有

個(gè)非空真子集.

【答案】2"（2"