高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：19 數(shù)列的求和（學(xué)生版+解析版）

專題19數(shù)列的求和

一、單選題

1

1.（2019?商丘市第一高級中學(xué)高二期中（理））數(shù)列｛4｝的前n項和為S“，若4=則S9=()

11

A.1B.—C.D.

101030

2.（2018?甘肅省武威十八中高二課時練習(xí)）化簡S.=〃+（〃—l）x2+（〃—2）x2?+…+2x2"T+2"T的結(jié)

果是（）

A.2,i+1+2-n-2B.2n+1-n+2C.T-n-2D.2n+1-n-2

3.(2020?江西省江西師大附中高三月考(理))數(shù)列J,3±5±72,…,(2"-1)+二,…的前〃項和S”的

248162

值等于()

9_1-9/17.1o

A.n+1------B.2〃-zz+1------C.〃+1-----------D.〃-71+1------

2〃2〃2〃T2〃

4.(2019?福建省莆田一中高三期中(文))等差數(shù)列｛〃〃｝中，4=9,%=15,則數(shù)列｛(—1)"4｝的前20

項和等于()

A.-10B.-20C.10D.20

4

5.（2020.珠海市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知數(shù)列｛4｝且滿足：^+i——，且4=4,則S，為數(shù)列｛?｝

2一〃〃

的前〃項和，則82020二（）

A.2019B.2021C.2022D.2023

6.（2018.廈門市華僑中學(xué)高二期中）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，若S3=7,S6=63,則數(shù)列｛次行

的前幾項和為（）

A.-3+(n+l)x2"B.3+(”+1)義2"

C.l+(〃+l)x2"D.1+(〃-1)x2”

7.（2019?福建省廈門第六中學(xué)高二期中（理））已知數(shù)歹U艇4滿足g=102,冊+工一品=4幾（neN*）,

則數(shù)列管｝的最小值是

A.25B.26C.27D.28

2

8.（2020?江蘇省高二期中）設(shè)函數(shù)/（x）=w、，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前幾項和的方法，求得

/（—5）+/（T+-一+/（O）H---F/（4）+/（5）的值為（）

c911

A.9B.11C.-D.—

22

二、多選題

9.（2020?海南省高三其他）已知數(shù)列｛q｝的首項為4,且滿足2（〃+1）%—=0（〃eN*）,則（）

A.1子;為等差數(shù)列

B.｛。"｝為遞增數(shù)列

C.｛q｝的前〃項和S〃=（“—l）-2"+i+4

D.｛券］的前九項和7；=14

10.已知數(shù)列｛〃■｝為等差數(shù)列，首項為1,公差為2,數(shù)列｛b“｝為等比數(shù)列，首項為1,公比為2,設(shè)g=a”，

G為數(shù)列｛。｝的前w項和，則當(dāng)G＜2019時，〃的取值可以是下面選項中的（）

A.8B.9C.10D.11

11.（2020?山東省高二期末）已知數(shù)列｛4｝滿足可=1,*（“eN*）,則下列結(jié)論正確的有

（）

A.＜工+3＞為等比數(shù)列

1%J

B.｛%｝的通項公式為

Z-J

C.｛q｝為遞增數(shù)列

D.的前〃項和7；=2"2—3〃—4

12.（2019?江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列｛?！保氖醉棡?,公差d=4,前”項和為S"，則

下列結(jié)論成立的有（）

A.數(shù)列的前10項和為100

B.若%,%，%.成等比數(shù)列，則根=21

及16

C.若￡----->77，則〃的最小值為6

z=i。屈+125

D.若a,"+。”=g+%o，則1的最小值為—

mn12

三、填空題

13.（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三三模（理））等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，%=3，§4=10,

1

則「S=------

k=\%

14.（2020?全國高三月考（文））已知數(shù)列｛%｝滿足:4=1,4+1=2"+4,則數(shù)列｛%｝的前〃項和

S"=---------------

15.（2020?安徽省高三一模（理））已知數(shù)列｛a“｝中，q=l,%%=2"（〃eN*）,記S“為｛a'｝的前〃項

和，貝US2n=-

16.（2020?山東省臨沂第一中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛q｝滿足q=2,??+1=1--,設(shè)｛q｝的前“項和

an

為Sn，則。6=，52017=?

四、解答題

（如9?全國高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)?。?為，計算/〔$］+/［總>…+4怒］

18.（2020?福建省高三其他（文））已知數(shù)列｛4｝為遞減的等差數(shù)列，％,4為方程爐-9尤+14=0的兩

根.

（1）求｛。"｝的通項公式；

（2）設(shè)2”,求數(shù)列｛2｝的前〃項和.

19.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）已知數(shù)列伍“｝是等差數(shù)列，其前〃項和為5”/=3><53=6.

（1）求數(shù)列｛4“｝的通項公式；

111

（2）求和：—+—+???+—.

20.（2020?合肥市第十一中學(xué)高一期中）數(shù)列｛〃｝滿足：bn+l=2bn+2,bn=an+l-an,且％=2,a2=4.

（1）證明數(shù)列仍"+2｝為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式.

21.（2020?合肥市第十一中學(xué)高一期中）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和S“滿足聞=6,1=15.

（1）求｛。”｝的通項公式；

（2）設(shè)包=果,求數(shù)列｛2｝的前〃項和

22.（2011?安徽省高三一模（文））設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意“CR都有f（x）=/（x-1）+=.

（1）求/（鄉(xiāng)和+/（呼）（k=0.1,2，,…兀）的值；

（2）數(shù)列｛冊｝滿足：冊=/（。）+/（；）+/（：）+??,/（詈）+/⑴-/（3數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列嗎？請給予

證明；

專題19數(shù)列的求和

一、單選題

1

1.（2019?商丘市第一高級中學(xué)高二期中（理））數(shù)列｛4｝的前力項和為S“，若4=小+］）,則$9=(

【答案】C

【解析】

n[n+\]??+19122391010

故選：C

2.(2018.甘肅省武威十八中高二課時練習(xí))化簡'="+("—l)x2+(〃—2)x2?+…+2x2"T+2"T的結(jié)

果是()

A.2"+1+2-0-2B.2n+l-n+2C.V-n-2D.2,!+1-n-2

【答案】D

【解析】

2n-2n-1

VSn=n+(n-1)x2+(n-2)x2+...+2x2+2①

2Sn=nx2+(n-1)x22+(n-2)義23+...+2、25]+2n②

23nn+1

；?①-②式得；-Sn=n-(2+2+2+...+2)=n+2-2

2n-2nn+1n+1

.,.Sn=n+(n-1)x2+(n-2)x2+...+2x2+2-'n+2-2=2-n-2

故答案為：D

3.(2020?江西省江西師大附中高三月考(理))數(shù)列1工,3±5』,7',…,(2〃-1)+],…的前〃項和Sn的

248162"

值等于()

B.2〃-n+1----C.加+1-----D.n~n+l----

2""'2"

【答案】A

【解析】

S”=(1+3+...+2w-1)+(-+-+

故選：A

4.（2019?福建省莆田一中高三期中（文））等差數(shù)列｛%｝中，%=9,%=15,則數(shù)列卜—1）0%｝的前20

項和等于（）

A.-10B.-20C.10D.20

【答案】D

【解析】

%—&=3d=15—9=6,解得d=2,q=3,所以

20

fln——+4—。3+。4—…—%9+〃20=10d—20,故選D.

Z=1

4

5.（2020.珠海市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝且滿足：4+1--，且卬=4,貝U為數(shù)列｛2｝

Z-an

的前〃項和，則82020二（）

A.2019B.2021C.2022D.2023

【答案】D

【解析】

4

由—，4=4,

2—4

40J，,

所以夕虧=一2,%

2一%

所以數(shù)列｛%｝是以3為周期的數(shù)列，S3=q+4+%=3，

5*202()—

所以673S3+6=673x3+4=2023.

故選：D

6.（2018?廈門市華僑中學(xué)高二期中）已知等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，若S3=7,$6=63,則數(shù)列｛w,J

的前幾項和為（）

A.—3+(〃+l)x2"B.3+(H+1)X2"

C.l+(〃+l)x2"D.l+(〃—1)x2"

【答案】D

【解析】

]3]7

'兩式相除得行&'解得

當(dāng)4=1時，不成立，當(dāng)時,"=2

nx

%=1即?！?axq~=2"T,"?冊=n?2'LT,

5?=1+2-2+3-22+……+〃.2"T,

2s〃=1,2+2,22+.....+(〃—1),2"i+〃?2〃,兩式相減得到：—=1+2+22+......+2,z1—n,2H

—〃2=(1—1,所以％=1+仇一1)?2〃，故選D.

1—2

7.(2019?福建省廈門第六中學(xué)高二期中(理))已知數(shù)列'/滿足gMlOZ,an+i—anMM.(nCM),

則數(shù)列｛爭的最小值是

A.25B.26C.27D.28

【答案】B

【解析】

因為數(shù)列｛/｝中,a2=102,an+1-an=4n(neN*),所以an-=4(九一1),......,

a4—a3=4x3,Q?一。二=4乂2,上式相加，可得一Q?=4x2+4x3H-----F4x(n—1)

=4(2+3+4+-+n-1)=2(n+l)(n-2),所以冊=2十一2九+98,所以，=2/+/-2

>2j2?x^-2=26,當(dāng)且僅當(dāng)2n=浮即兀=7時，等式相等，故選B.

8.（2020?江蘇省高二期中）設(shè)函數(shù)/（x）=]g,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項和的方法，求得

/（一5）+/（-4）+……+/（4）+/（5）的值為（）

c911

A.9B.11C.—D.—

22

【答案】B

【解析】

?.?小）=1

.?■/(x)+/(-x)=^^+^^=^-+2222(1+2」

V7V)2A+12一,+12，+l2,(2一+1)=^^+77^7=^777

設(shè)S=/(—5)+/(T)+…+〃0)+…+/(4)+/(5),

則S=〃5)+〃4)+…+/(O)+…+〃")+〃—5),

兩式相加得2s=llx[/⑸+/(—5)]=llx2=22,因此，S=H.

故選：B.

二、多選題

9.（2020?海南省高三其他）已知數(shù)列｛%｝的首項為4,且滿足2（〃+1）%—〃a“+i=0（“eN*）,則（）

B.｛q｝為遞增數(shù)列

C.｛4｝的前幾項和S“=（〃—1>2向+4

D.｛券］的前九項和（二。1

【答案】BD

【解析】

由25+1）%-"4+|=0得&=2x組，所以是以3=%=4為首項，2為公比的

n+1nLnJ1

等比數(shù)列，故A錯誤；因為組=4X2"T=2"+I,所以4=小2向，顯然遞增，故8正確；

n

34,,+2

因為S”=1x2?+2x23+…+2Sn=lx2+2x2+---+n-2,所以

23+ln+222l2，i

-5,=1x2+2+---+2"-?.-2-（-）n2"+2.故S“=（“_1）X2"+2+4,

1-2

故c錯誤；因為（r=:=〃，所以［翁1的前幾項和北=吟@=小，

ZZI乙JZZ

故。正確.

故選：BD

10.已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，首項為1,公差為2,數(shù)列｛瓦｝為等比數(shù)列，首項為1,公比為2,設(shè)%=%，

心為數(shù)列｛。｝的前〃項和，則當(dāng)八<2019時，”的取值可以是下面選項中的()

A.8B.9C.10D.11

【答案】AB

【解析】

nA

由題意，an=l+2(n-1)=2n-1,bn=2,

cn=abn=2?2"i-1=2"-1,則數(shù)列｛c“為遞增數(shù)列，

其前〃項和Tn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+...+(2"-1)

12212+1

=(2+2+...+2?)-w_()n_2"-2-n.

1-2

當(dāng)〃=9時,7；=1013<2019；

當(dāng)”=10時，〃=2036>2019.

的取值可以是8,9.

故選：AB

11.(2020?山東省高二期末)已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,4+1=:(neN,，則下列結(jié)論正確的有（）

A.|工+31為等比數(shù)列

UJ

B.｛%｝的通項公式為

Z—J

c.｛4｝為遞增數(shù)列

D.I」-的前〃項和(=2"+2—3〃—4

【答案】ABD

【解析】

12+3〃2111

因為---=-------=------1-3,所以---+3=2(-----1-3),又一+3=4w0,

a

4+i?a”all+lanq

所以,工+3,是以4為首項，2位公比的等比數(shù)列，—+3=4x2"-'^an=-l—,｛凡｝為遞減數(shù)列,

qJan2—3

<^-1的前〃項和，=(22—3)+(23—3)+-+(2"+1—3)=2(21+22+-+2")—3“

02x(1—2").c”+2c“

=2x—------3n=2',+2-3n-4.

1-2

故選：ABD

12.（2019?江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差d=4,前"項和為S",則

下列結(jié)論成立的有（）

的前10項和為100

B.若％,生，成等比數(shù)列，則加=21

〃]6

C.若Z----9則〃的最小值為6

tT64+125

D.若+%=%+〃10，則---1-----的最小值為---

mn12

【答案】AB

【解析】

由已知可得=4〃-3.=21-n,

2=2〃-1,貝IJ數(shù)歹u[工4為等差數(shù)列，則前10項和為10°+19）=100.所以A正確;

nInJ2

av%,區(qū)“成等比數(shù)歹ll廁a；=q?4“，%”=81,即4==4機-3=81,解得加=21故B正確;

11(111^11116

因為--------------------所以〉」------——1---1-----------------------=------>解

aflM4(4〃-34〃+1廣￡卬加4(5594孔-34n+lJ4n+l25'

得〃〉6,故〃的最小值為7,故選項C錯誤;等差的性質(zhì)可知相+〃=12,所以

116_1(116Y、ifn16m1x25n16m.

一+—=——+一(m+n)=—1+—++162二z(17+2x4)=二,當(dāng)且僅當(dāng)一二時，R即n

mn12\mn)mn71212mn

4848

n=4m=y時取等號，因為加/wN*,所以n=4m=y不成立，故選項D錯誤.

故選:AB.

三、填空題

13.（2020.寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三三模（理））等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，%=3，§4=1°，

則2e不1=

k=l°%

2n

【答案】

n+1

【解析】

。3=。1+22=3,=4q+6d=10,故q=d=l,故s〃=—---

71n0

k=l?kk=l十

故答案為：烏

n+1

14.（2020?全國高三月考（文））已知數(shù)列｛為｝滿足：q=l,?！?]=2"+。"，則數(shù)列｛為｝的前幾項和

50

【答案】2,,+1-?-2

【解析】

由已知，。八+1=2",當(dāng)〃N2時,

l—2n

+(〃2—4)+(〃3—^2)+...+(〃〃—an-\)=1+2+22+---+2〃一=~——=2〃—],

1-Z

又6=1滿足上式，所以4=2"-1,

2(1-2")

S=2+22+---+2n-n，=-^----^--n=2',+1-n-2-

“1-2

故答案為：2田-2

15.(2020.安徽省高三一模(理))已知數(shù)列｛4｝中，q=l,%%=2"(〃eN*),記S”為｛為｝的前〃項

和，貝US2n=-

【答案】3-2"-3

【解析】

(1nCL2"1

“+1〃+2=

因為％=1,01a,=2,所以出=2.又=——=2,

an2

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項是以%為首項，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以出為首項，2為公比的等比數(shù)列.

工,1x(1—2")2x(1—2")

故S,=—^------%—-------^=32—3?

2"1-21-2

故答案為：3?2"-3.

16.(2020?山東省臨沂第一中學(xué)高二期中)已知數(shù)列卜%｝滿足q=2,4+1=1-----,設(shè)｛4｝的前幾項和

an

為Sn,則a6=_________,S20"=_________.

【答案】-11010

【解析】

,1,11

由4=2,an+1=1-----,有4=1------=-

4q2

,1,1c

%=]------—19/=]------=2,...............

則數(shù)列｛為｝是以3為周期的數(shù)列.

3

又%+%+%=5，2017=3x672+1

3

,

所以4=%=-1，52017=672x—+=1010

故答案為：(1).-1(2).1010

四、解答題

gx

17.(2019?全國高一課時練習(xí))設(shè)函數(shù)〃%)=§71m,

【答案】2011

【解析】

9%91-x9X99X3

解:由已知/1（無）+/（1-九）=-----1------二-------1-------二-------1-----=1,

9'+39「'+39'+39+399*+33+9'

124022

設(shè)S=/+/

402340234023

402240211

-.S=f+f

402340234023

(

c14022、2402140221

.?.2S=f+f+f+??■+f+f

402340237\40234023402340237

.-.25=4022,

...s=2on,

124022

即/+,?,+/=2011

402340234023

18.（2020?福建省高三其他（文））已知數(shù)列｛4｝為遞減的等差數(shù)列，1,在為方程V-9x+14=0的兩

根.

（1）求｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)〃=?！啊?",求數(shù)列｛%｝的前”項和.

)+2H.

【答案】(1)%=8—〃；(2)Sn=

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因為%,6為方程式-9%+14=0的兩根，且數(shù)列｛凡｝為遞減的等差數(shù)歹！J,

a=7

所以《1

，=2'

”ti—42—7v

所以d=-------=-------二—1,

6-16-1

所以=q+(〃—l)d=7-(〃-1)=8-〃,

即數(shù)列｛4｝的通項公式為?！?8-〃.

(2)由(1)得4=8—〃，所以2=8—〃—2",

所以數(shù)列也｝的前〃項和S”=[7+6+…+(8—初―(2+2?+…+2")

”(7+8—“)2x(l—2")

一21^2

=15?-?-+2_2?+i,

2

19.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列,其前幾項和為=gxS3=6.

（1）求數(shù)列｛4“｝的通項公式；

111

（2）求和：—+—+1??+—.

n

【答案】（1）4=2”.（2）——

n+1

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為4則有：

S3=3a2=12=>%=4,d=q—。2=6-4=2,e=a2—d=4—2=2,

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為：g=2+25—1）=2〃.

（2）由（1）可知：S〃=+2n）=幾（幾+1）,

2

1_1_1_]

??Snn（n+1）n〃+1'

1111111111n

SxS2Sn223nn+\〃+l〃+l

20.（2020?合肥市第十一中學(xué)高一期中）數(shù)列也｝滿足：％1=2d+2也=。用一切,,且％=2,?2=4.

（1）證明數(shù)列｛〃+2｝為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】（1）證明見解析；（2）a?=2n+1-2n

【解析】

(1)由bn+l=2%+2,得b“+i+2=2(b"+2)

b+2

-----=2,又。+2=%—q+2=4

4+2.?

???數(shù)列｛么+2｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，.?也+2=42-1=2"+1,二2=2'+1-2,

由4+1一4=2=2""—2，

a“—a,i=b,i=2n—2(n..2),

n

an_]