人教版2024-2025學年七年級數(shù)學上冊《幾何圖形初步》知識講解

《幾何圖形初步》全章知識講解【學習目標】1．認識一些簡單的幾何體的平面展開圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫法；3．初步學會應用圖形與幾何的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題；4．逐步掌握學過的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語句畫出相應的圖形，會用語句描述簡單的圖形．【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、多姿多彩的圖形幾何圖形的分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形要點詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標準有不同的分類結(jié)果.2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結(jié)合起來．要點詮釋：①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖；②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實物，展開想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動手實踐.（2）從不同方向看：主（正）視圖---------從正面看幾何體的三視圖（左、右）視圖-----從左（右）邊看俯視圖---------------從上面看要點詮釋：①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?（3）幾何體的構(gòu)成元素及關系幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.要點二、直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．要點詮釋：①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：要點詮釋：①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.要點三、角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點詮釋：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．角的互余互補關系余角補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等要點詮釋：①余角(或補角)是兩個角的關系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的，③只考慮數(shù)量關系，與位置無關．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”4．方位角以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.【典型例題】類型一、概念或性質(zhì)的理解1.下列說法正確的是()A.射線AB與射線BA表示同一條射線.B.連結(jié)兩點的線段叫做兩點之間的距離.C.平角是一條直線.D.若∠1+∠2=900,∠1+∠3=900,則∠2=∠3；【答案】D【解析】選項A中端點和延伸方向不同，所以是兩條射線；選項B中兩點之間的距離是指線段的長度，是一個數(shù)值，而不是圖形；C中角和直線是兩種不同的概念，不能混淆.【總結(jié)升華】理解概念，掌握概念與概念的本質(zhì)區(qū)別，并進行“比較”性分析和記憶．舉一反三：【變式】下列結(jié)論中，不正確的是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，直線最短C．等角的余角相等 D．等角的補角相等【答案】B類型二、立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化2．(天門、潛江、仙桃)如圖所示，是每個面上都有一個漢字的正方體的一種展開圖，那么在原正方體的表面上，與“看”相對的面上的漢字是()A．南B．世C．界D．杯【答案】C【解析】由圖形可以判定“南”與“世”相對，“看”與“界”相對，“非”與“杯”相對．【總結(jié)升華】判斷兩個面是對面的根據(jù)是：展開圖的對面沒有公共邊或公共頂點．舉一反三：【變式】(瞿州模擬)下面形狀的四張紙板，按圖所示的線經(jīng)過折疊可以圍成一個直三棱柱的是()．【答案】C3.(浙江金華)如圖所示幾何體的主視圖是()【答案】A【解析】從正面看球位于桌面右方，故選A．【總結(jié)升華】從正面看所得到的圖形是主視圖，先得到球體的主視圖，再得到長方體的主視圖，再根據(jù)球體在長方體的右邊可得出答案．類型三、互余互補的有關計算4.已知∠A＝53°27′，則∠A的余角等于()．A．37°B．36°33′C．63°D．143°【思路點撥】根據(jù)互為余角的定義求解．【答案】B【解析】∠A的余角為90°-53°27′＝36°33′．【總結(jié)升華】本題考查角互余的概念：和為90度的兩個角互為余角．舉一反三：【變式】一個角與它的余角相等,則這個角是______,它的補角是_______【答案】45°，135°類型四、方位角5.如圖，射線OA的方向是:________； 射線OB的方向是:_________；射線OC的方向是:________；【思路點撥】OA表示的方向是北偏東，再加上其偏轉(zhuǎn)的角度即可，同理OB、OC也是如此．【答案】北偏東15°；北偏西40°；南偏東45°．【解析】根據(jù)方位角的定義解答．【總結(jié)升華】熟知方位角的定義結(jié)合圖形便可解答．類型五、鐘表上的角6.(廣西欽州)鐘表分針的運動可看作是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，一只標準時鐘的分針勻速旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了________度．【答案】90【解析】根據(jù)鐘表的特征；整個鐘面是360°，分針每5分鐘旋轉(zhuǎn)30°，所以經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了90°．【總結(jié)升華】在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關系：時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時的度數(shù)為6°，時針一分鐘轉(zhuǎn)過的度數(shù)為0.5°；兩個相鄰數(shù)字間的夾角為30°，每個小格夾角為6°，并且利用起點時間時針和分針的位置關系建立角的圖形．類型六、利用數(shù)學思想方法解決有關線段或角的計算1.方程的思想方法7.如圖所示，在射線OF上，順次取A、B、C、D四點，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分別是AB、CD的中點，已知AD＝90cm，求MN的長．【思路點撥】有關比例問題，可設每一份為x，列方程求解，再利用中點定義，找出線段的和、差．【答案與解析】解：設線段AB，BC，CD的長分別是2xcm，3xcm，4xcm，∵AB+BC+CD＝AD＝90cm，∴2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20cm，BC＝30cm，CD＝40cm，∴MN＝MB+BC+CN＝AB+BC+CD＝10+30+20＝60(cm)．【總結(jié)升華】當已知某線段被分成的幾條線段的長度比時，可根據(jù)比設未知數(shù)x，用x的式子表示相關的線段的長度，列方程求出x的值，進而求出線段的長．舉一反三：【變式】如圖所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度數(shù)．【答案】解：設∠AOB的度數(shù)為2x，則∠AOD的度數(shù)為7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分類的思想方法8.以∠AOB的頂點O為端點的射線OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)．【答案與解析】解：(1)分兩種情況：①OC在∠AOB的外部，可設∠AOC＝5x，則∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的內(nèi)部，可設∠AOC=5x，則∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，則x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，則∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【總結(jié)升華】本題中的已知條件沒有明確地說明OC在∠AOB的內(nèi)部或外部，所以兩個問題都必須分類討論．舉一反三：【變式1】已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC＝3cm，求線段AC的長．【答案】解：分兩種情況：(1)如圖(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如圖(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以線段AC的長為5cm或11cm．【變式2】下列判斷正確的個數(shù)有()①已知A、B、C三點，過其中兩點畫直線一共可畫三條②過已知任意三點的直線有1條③三條直線兩兩相交，有三個交點A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】A3.類比的思想方法【高清課堂：圖形認識初步章節(jié)復習399079類比思想例5】9.