2024學(xué)年江蘇如東中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試卷附答案解析

學(xué)年江蘇如東中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試卷時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在2.已知直角梯形，且，，，，則過(guò)其中三點(diǎn)的圓的方程可以為（

）A．B．C． D．3.已知直線：和直線：，則是“∥”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知圓的方程為，若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．5.設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．6.已知直線：與直線：交于點(diǎn)Px0,y0，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．32 D．647.已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一如圖，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3②曲線C恰好經(jīng)過(guò)8個(gè)整點(diǎn)即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)③曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．③ D．①二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于直線.以下說(shuō)法正確的有（

）A．的充要條件是B．當(dāng)時(shí)，C．直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為510.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形面積的最小值為C．存在點(diǎn)使D．直線過(guò)定點(diǎn)11.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)，則B．若點(diǎn)，則在軸上存在點(diǎn)，使得C．若點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是3D．若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，則的值可能是4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓的位置關(guān)系為．13.經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且在y軸上的截距是軸上的3倍的直線方程為.14.已知圓O：圓：，則下列結(jié)論正確的是．①無(wú)論k取何值，圓心始終在直線上；②若圓O與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為；③若圓O與圓的公共弦長(zhǎng)為，則或；④與兩個(gè)圓都相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線，如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這條公切線叫做這兩個(gè)圓的外公切線，當(dāng)時(shí)，兩圓的外公切線長(zhǎng)為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.根據(jù)下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：（1）已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．（2）以為圓心的圓與圓相切，求圓的方程.16.已知直線.(1)求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.17.已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)(1)求證：的面積為定值．(2)設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，，若，求圓的方程．(3)在（2）的條件下，設(shè)，分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18.已知圓過(guò)點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱．(1)判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點(diǎn)、，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．19.某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在Q處成功攔截機(jī)器人甲．若點(diǎn)Q在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知米，E為AB中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記與的夾角為．(1)若，AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？(2)若機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲1.C2.C【分析】直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，即圓不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故A不符合題意；對(duì)于B，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，即圓不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故B不符合題意；對(duì)于C，，，的坐標(biāo)都滿足圓的方程，的坐標(biāo)不滿足圓的方程，即圓過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故C符合題意；對(duì)于D，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，即圓不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故D不符合題意.故選：C.3.B4.D【分析】先將圓的一般化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合點(diǎn)在圓外，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，，又點(diǎn)在圓外，所以，，或，所以m的取值范圍為．故選：D.5.A【分析】求得直線的斜率為，且恒過(guò)定點(diǎn)，求得，結(jié)合題意，求得或，即可求解.【詳解】由直線，可得，可得直線的斜率為，且恒過(guò)定點(diǎn)，則，如圖所示，要使得直線與線段有交點(diǎn)，則或，可得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.6.D【分析】首先根據(jù)已知條件得到直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，根據(jù)交點(diǎn)Px0,y0得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得到最值.【詳解】由題知：直線恒過(guò)定點(diǎn).直線化簡(jiǎn)為：，當(dāng)時(shí)，x=6，直線恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線的斜率，則.當(dāng)時(shí)，，，，則.綜上：直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則其軌跡方程為（除點(diǎn)外），圓的半徑，因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，設(shè)，則，所以的最大值為64.故選：D.7.C【分析】設(shè)中點(diǎn)為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離解不等式即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，∴，故，則，.故選：C．8.B【分析】①根據(jù)曲線特征，分別令，，分x軸上方，x軸下方，轉(zhuǎn)化為與矩形和等腰三角形的面積比較；②將x換成-x，由方程不變，得到圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，先得到，時(shí)，曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可；③由時(shí)，利用基本不等式求解.【解析】①由方程，令，得，令，得，如圖所示：由圖象可知：x軸上方，曲線C所圍成的面積大于矩形ABCD的面積，，x軸下方，曲線C所圍成的面積大于等腰三角形ABE的面積，，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2+2=3，故正確；②由方程，將x換成-x，方程不變，所以圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，令，得，即曲線C經(jīng)過(guò)，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋?，解得，所以，此時(shí)，解得或，則曲線經(jīng)過(guò)，再由對(duì)稱性知，曲線經(jīng)過(guò)，所以曲線一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，方程為，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，故正確.故選：B9.BD【分析】求出的充要條件即可判斷A;驗(yàn)證時(shí)，兩直線斜率之積是否為-1，判斷B;求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可判斷C;判斷何種情況下點(diǎn)到直線的距離最大，并求出最大值，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，兩直線為，，所以，故B正確；直線即直線，故直線過(guò)定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，故D正確，故選：BD.10.ABD【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求解A，B，C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因?yàn)閳A的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為，所以A正確；因?yàn)?，所以四邊形面積等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因?yàn)椋淼?，方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)使，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，以PC為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以PC為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，所以為圓與以PC為直徑的圓的公共弦，聯(lián)立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過(guò)定點(diǎn)，故D正確；故選：ABD11.ACD【分析】利用“曼哈頓距離”的定義計(jì)算判斷AD；結(jié)合絕對(duì)值的意義判斷B；作出圖形，借助幾何意義求解判斷C.【詳解】對(duì)于A，由曼哈頓距離的定義知，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，作軸，交直線于，過(guò)作，垂足為，如圖①所示：由曼哈頓距離的定義可知，而點(diǎn)，當(dāng)不與重合時(shí)，由直線的斜率為，得，則；當(dāng)與重合時(shí)，，于是，因此，C正確．對(duì)于D，如圖②所示，取，，則，D正確．故選：ACD12.外離13.或14.①③④【分析】求出圓Ck的圓心坐標(biāo)即可判斷①；根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)的條件求出的范圍即可判斷②；求出公共弦所在直線方程，結(jié)合公共弦長(zhǎng)和垂徑定理求出的值即可判斷③；根據(jù)的值求出圓的半徑，利用兩圓的半徑求出外公切線長(zhǎng)即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，圓的圓心坐標(biāo)為，在直線上，①正確；對(duì)于②，若圓O與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得或，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將圓O與圓的方程作差可得公共弦所在直線的方程為，則圓心O到該直線的距離，則，解得或，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，圓心距為3，圓O與圓外切，半徑差為1，則外公切線長(zhǎng)為，④正確．故答案為：①③④15.1）易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程為過(guò)A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為：，由A?1,2到距離為知得，代入解之可得，所以或?yàn)樗蠓匠蹋?）兩圓的圓心之間的距離為.當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓的半徑為；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓的半徑為.∴圓的方程為或.故答案為：或.16.（1）由，即，則，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過(guò)第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線的方程為，即.17.【詳解】（1）由題意可得圓的方程為：，化簡(jiǎn)可得，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：，，為定值.（2）如圖所示，，原點(diǎn)在線段的垂直平分線上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，三點(diǎn)共線，又的斜率，，解得，又，所以，可得圓心，圓的方程為：；（3）如圖所示，由（2）可知：圓心，半徑，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，且，解得，即，則，又點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離為，則的最小值為，此時(shí)直線的方程為：，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，則，解得，即點(diǎn).18.【詳解】（1）由題可得圓圓心為，設(shè)圓心，則，解得，則圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故圓的方程為，又兩半徑之和為，圓與圓外切．（2）方法一：令、即，為過(guò)點(diǎn)的兩條弦，設(shè)、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為、，弦長(zhǎng)分別為，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，即，化?jiǎn)得從而，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線，必有一條斜率不存在）綜上：、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為方法二：若直線與中有一條直線的斜率不存在，則，此時(shí)若直線與斜率都存在，且互為負(fù)倒數(shù)，故可設(shè)，即，，點(diǎn)到的距離為，同理可得點(diǎn)到的距離為，，，綜上：、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為②直線和平行，理由如下：由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故