考點(diǎn)07余弦定理6種常見考法歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】高一數(shù)學(xué)題型歸納與解題策略(人教A版2019必修第二冊(cè))

考點(diǎn)07余弦定理6種常見考法歸類

之二解題策略

1、余弦定理的公式表達(dá)及語言敘述

層=-2-CCOSA,

公式表達(dá)"=〃2+。2-2〃CCOSB,

c2=，2+:2-2而CQSC

余三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和

語言敘述

弦減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍

定ft2+c2-a2

cosA-2bc，

理

(r+c2-b2

推論cosB—2ac，

a2+A2-c2

cosC-lab

2、利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題

(1)已知兩邊和來生或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形?

(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角,可以用余弦定理解三角形.

3.在△A3C中，c2=，+》2?c為宜免；。2>在+"?。為鈍角;c2<a2+b2?c為銳角.

4.當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如次+",a+b,疑，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形

形式對(duì)條件進(jìn)行化簡變形.

5.利用余弦定理判斷三角形形狀的方法

(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩

條思考路線

①先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.

②先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后,

注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.

⑵判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論

?△ABC為直角三角形?a2=b?+c2或c2=a?+b2或b2=a?+c2.

②^ABC為銳角三角形?a2+b2>c2,且b?+c2>a2,且c?+a2>b2.

③4ABC為鈍角三角形?a2+b2?2或b?+c2<a2或c?+a2cb2.

④若sin2A=sin2B,則A=B或A+B=—.

2

第二看

會(huì)高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一解三角形

（一）已知兩邊及其夾角

（二）已知兩邊及一邊的對(duì)角

（三）已知三邊

（四）已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系

（五）已知一角及另外三邊關(guān)系

考點(diǎn)二判斷三角形的形狀

考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用

（一）求邊（求值）

（二）求角

（三）最值（范圍）

考點(diǎn)四利用余弦定理解決實(shí)際問題

考點(diǎn)五利用余弦定理證明角相等

考點(diǎn)六余弦定理與三角函數(shù)的綜合

第三左

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一解三角形

（一）已知兩邊及其夾角

1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在ABC中，角A3,C所對(duì)邊分別為°,4c.若。=3,c=5,B=120,則6=

【答案】7

【分析】利用余弦定理求解.

【詳解】由余弦定理〃=片+。2一2。"。$8得/=9+25—2*3*5*]—3）=49,

解得。=7

故答案為：7.

UZ/ZZ

4

2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若ABC中，a=5,6=4,sinC=l，則。=.

【答案】J萬或病

【分析】由已知可求得cosC=土3手分cosC=（a與cosC=-g3兩種情況，根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.

43

【詳解】因?yàn)閟inC=M,0<C<7i,所以cosC=±w.

33

當(dāng)cosC=g時(shí)，由余弦定理-2/cosC=25+16—2x5x4x1=17,

因?yàn)?，c>0,解得c=JF7；

22

當(dāng)cosC=-|時(shí)，由余弦定理/=a+b-2a/?cosC=25+16-2X5X4X^-|^=65,

因?yàn)?，c>0,解得c=5/65.

故答案為：JF7或病.

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程5/一7x-6=0的根，則三

角形的另一邊長為.

【答案】2g

【分析】解方程5--7x-6=0可得cos，=q,利用余弦定理求出第三邊的長即可.

3

【詳解】解：解方程一7x-6=0可得此方程的根為2或-

3

故夾角的余弦cos6>=--,

由余弦定理可得三角形的另一邊長為：^32+52-2X3X5X（-|）=2V13.

故答案為：2岳.

TT

4.（2023秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）在中，若農(nóng)=8,a+c=7,B=],則6=（????）

A.25B.5C.4D.行

【答案】B

【分析】利用余弦定理6=+。2—2accos5直接求解.

IT

【詳解】在ABC中，若ac=8,a+c=7,B=~,

由余弦定理得6=^a1+c1—2.accosB=+c）~-3ac=V72—3x8=5.

故選：B

（二）已知兩邊及一邊的對(duì)角

5.（2023秋?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末）在。ABC中，已知8=120°,AC=M，BC=3,則AB=（????）

A.1B.V2C.2D.y/5

【答案】C

【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】解：在ABC中，因?yàn)?=120°,AC=W，BC=3,

由余弦定理62="+<？-2accos8,即=32+C2-2X3CCOS1200,

解得c=2或c=-5（舍去）.

故選：C

6.（2023秋?貴州黔東南?高三統(tǒng)考期末）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，6,c,若cosA=；,

a=2A,c=3,貝！J6=.

【答案】3

【分析】利用余弦定理列方程求解.

【詳解】由余弦定理/=〃+c2-2，ccosA得12=廿+9—26即廿-26-3=0,

解得6=-1（舍）6=3,

故答案為：3.

7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在ABC中，已知sinA=g,cosA+cosB<0,a=36,b=5,則c=.

【答案】2

【分析】由。>b，得/>6,再結(jié)合cosA+cos3<0,得到角A為鈍角，然后利用余弦定理求解.

【詳解】解：在ABC中，a=3小,b=5,

由a>b,得4>B,

因?yàn)閏osA+cosB<0,

4

所以角A為鈍角，貝l」cosA=-5，

由余弦定理得〃=/?2+/—26CCOSA,

即，+8°-20=0,解得c=2或。=一10（舍去），

故答案為：2

8.（2022春.上海黃浦.高一格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）滿足條件a=4,b=30,A=45。的一ABC的個(gè)數(shù)為（？??？）

A.一個(gè)B.兩個(gè)C.不存在D.無法判斷

【答案】B

04/22

【分析】利用余弦定理運(yùn)算求解即可判斷.

【詳解】因?yàn)椤?=〃+C2-26CCOSA,BP16=18+C2-6C,解得c=3+近或c=3-6，

所以滿足條件的ABC有兩個(gè).

故選：B.

（三）已知三邊

9.（2022春?福建泉州?高一?？茧A段練習(xí)）在,ABC中，若。=夜力=3,c=2,貝I]A=（????）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)閍==3,c=2,

又0°<A<180°,則。=60。.

故選：B.

10.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在，ASC中，a:b;c=3:2:4,則cosC的值為（????）

2211

A.-B.--C.--D.-

3344

【答案】c

【分析】由題意可設(shè)〃=3加,6=2利。=4加,%>0,再根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閍:b:c=3:2:4,

所以設(shè)a=3%,b=2m,c=4m,m>0,

a2+b2-c2(3m)2+(2m)2-(4m)2

由余弦定理可得cosC=

2?(3m)?(2m)

故選：C.

11.（2022春?浙江麗水?高一校考階段練習(xí)）在,他。中，。=7,6=46]=&9，則一旗。的最小角為（）

,71e兀c兀c兀

A.—B.—C.—D.—

34612

【答案】c

【分析】由己知，根據(jù)條件給出的三邊確定ABC的最小角為C,直接利用余弦定理計(jì)算cosC,即可完成

求解.

【詳解】由已知，在,ABC中，a=7,b=4y/3,c=y/13,

因?yàn)閍>6>c,所以」ABC的最小角為C,

49+48-13_V|

所以COSCJ+"_L

2ab2x7x46一2

又因?yàn)镃e（O,兀）,

所以C=[

6

故選：C.

12.（2022春?山西晉中?高一校考階段練習(xí)）已知“ABC中，a:b:c=l:拒:2,則/A:NC等于（？??？）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

【答案】A

【分析】根據(jù)三邊的比令。=，，b=R,c=2t,（/>0）,進(jìn)而可知/=4+〃，根據(jù)勾股定理逆定理推

斷出C=90。，進(jìn)而根據(jù)“=；c推斷出A=30。，進(jìn)而求得8,則三個(gè)角的比可求.

【詳解】解：依題意令。=Lb=M，c=2t,（?>0）,

.-.c2=a2+b2,所以為直角三角形且C=90。,

又sinA=3=,，且0。<4<90°,

c2

.-.A=30°,

.?.B=90O-30O=60°,

A:B:C=1:2:3

故選：A.

13.（2023?高一單元測(cè)試）已知，ABC的三邊長AB=8,BC=7,AC=3,ABBC+BCCA+CA.AB.

【答案】-61.

【分析】已知三邊長，由余弦定理求三個(gè)內(nèi)角的余弦值，利用向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.

人笈+北一叱64+9-491

【詳解】由余弦定理得cosA=

2ABAC2x8x32

131

同理cosB=—,cosC=—

147

所以A55C+5CCA+CAAB

=AB.BCcos（兀一5）+BC-G4cos（7i—C）+CA?ABcos（兀一A）

=8x7x|-^|j+7x3xl+3x8xL1j=-61.

14.（2022春.河南?高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a",c,b2-c2=2a2,c=2a,

06/22

則cos3=（????）

A.--B.--C.；D.立

2422

【答案】B

【分析】由余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】解：由〃一°2=2/,c=2a得cosB，""=立=』」,

2ac2ac2c4

故選：B.

（四）已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系

7T

15.（2023?高一課時(shí)練習(xí)），ABC的三個(gè)內(nèi)角A3,C所對(duì)邊的長分別為。也c,已知c=3,C=~,a=2b,

則b的值為.

【答案】73

【分析】由Geos。的值及a=2b,利用余弦定理即可列出關(guān)于2的方程，求出方程的解即可得到人的值.

【詳解】由c=3,cosC=g,a=26,根據(jù)余弦定理（？=〃+/一2/cosC得：5b2-2b2=9.即b2=3,

所以b=C.

故答案為：73

16.（2022?高一單元測(cè)試）在，ABC中，已知B=120。/=JH,a+c=4,貝|"=.

【答案】3或1##1或3

【分析】利用余弦定理結(jié)合a+c=4可求出。的值.

【詳解】在，ASC中，■8=120。*=厄。+°=4,

222

由余弦定理得〃=a+c-2accosB=(Q+c)-ac,

所以13=16—QC,得QC=3.

[a+c=4[〃=3[a=l

由「，得1或o

[ac=3\c=l[c=3

所以a=3或1.

故答案為：。=3或1.

17.(2022?江蘇?高一開學(xué)考試)在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,若。=巫,be=12,A=。,

則b+c=(????)

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用余弦定理及完全平方公式計(jì)算可得.

【詳解】解：由余弦定理可得"=62+C2-26CCOSA=13,

JT

又因?yàn)?c=12,A=§,

所以/+c?=25.

因?yàn)椋?+c）?=〃+<?+2bc=49,

所以b+c=7.

故選：B

18.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）在4ABe中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分另U為。，》，c,已知。=3,b-c=2,cosB=-g,

則6+c的值為.

【答案】12

【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件求得c，進(jìn)而得出6,即可得解.

【詳解】由余弦定理可得62=q2+c2-24ccos3，HP（2+c）2=9+c2+3c,解得c=5,

貝!]6=c+2=7,故b+c=12.

故答案為：12.

（五）已知一角及另外三邊關(guān)系

19.（2022春?河北唐山?高一校考期中）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知

77"1

A=—,b2-a2=—c2.求tanC的值.

42

【答案】2

【分析】利用余弦定理把A丁轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系，再結(jié)合條件算出三邊的比例即可求解

【詳解】由余弦定理得a?=Z?2+c2—2Z?ccosA=b2+c2-y[2bc

2V2,

a2=b2+c2—y/lbcc=-----b

3

聯(lián)立

a2=b2--c2鳳

2ci=-b

3

)+2〃2

萬a2+b2-c29931

所以C°SC=FT-

一2加一出

五2

33

所以sinC=—j=,即tanC=沏0=2.

A/5COSC

20.（2022春?黑龍江佳木斯?高一建三江分局第一中學(xué)?？计谥校┮阎狝BC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊

08/22

分別為。也0,且(2〃—a)cosC=ccosA

⑴求角c；

⑵若。2=9赤a+b=4,求C的值;

【答案】（l）C=60。

⑵c=2指

【分析】（D角化邊化簡可得cosC=；即可求解;（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】(1)由(2〃—a)cosC=ccosA得2/?COSC=CCOSA+QCOSC,

22222

中小4萬+c-aa+b-c

K為ccosA+acosC=cx----------\-ax----------

2bclablb

所以2AcosC=A,因?yàn)閎wO,所以cosC=g,

因?yàn)椤?0,兀),所以C=5.

(2)由余弦定理得/=a1+b2-2abcosC=a2+b2—ab=(a+b)2-3ab,

所以c2+3ab=(a+6)2=16,

因?yàn)椤?=9必，所以=

所以gc2=i6,解得c=26.

考點(diǎn)二判斷三角形的形狀

21.（2022?全國?高一假期作業(yè)）在ABC中，若2acos3=c,則該三角形一定是（????）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.不能確定

【答案】A

【分析】利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，然后化簡可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?acosB=c,

^22_>2

所以由余弦定理得2a?+c。，

2ac

所以所以/=/,

因?yàn)樗詀=b,

所以ABC為等腰三角形，

故選：A

22.（2022.高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若堊［=2=0,則該三

cosBa

角形一定是（????）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】由余弦定理得到〃-片）=62（4+,2一〃），結(jié)合，=&,得到/=片+廿，判斷出三角形

為直角三角形.

acosA=Z?cosB,

由余弦定理可得：ax"+'"=/+C2”,

2bclac

整理可得：（^b2+c2-a2^=b2（^a2+c2-b2^,①

?4=0,

a

"=2",②

由①②得。2=3/=/+加，

.??該三角形是直角三角形.

故選：A

23.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在，ASC中，cos2-=-^（。八。分別為角A,8,C的對(duì)邊），則ABC一定是

22c

（????）

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)二倍角公式將已知條件變形，然后利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化進(jìn)行判斷.

2

【詳解】cos?f2cos=,即i+cosB=",根據(jù)余弦定理可得

22c2cc

1+“~+'二"=",整理得〃+62=02,由勾股定理知，ABC為直角三角形.

2acc

故選：B

3

24.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在，ABC中，a2+b2=c2+ab,且sinAsin3=:，試判斷ABC的形狀.

4

【答案】等邊三角形

【分析】先利用余弦定理求得c=1兀,再利用兩角和與差的余弦公式求得cosAcos8=a1，進(jìn)而求得A=B,

10/22

由此求得A=8=W，據(jù)此得解.

【詳解】因?yàn)?+/=02+〃匕，所以/+/一，=a匕，

"2.L2_211

所以由余弦定理得cosC=

2ablab2

TT

因?yàn)?＜。＜兀，所以C=1,

213

因?yàn)閏os（A+B）=cos（7i-C）=cos§7i=-5,sinAsinB=—,

311

又cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB,所以cosAcosB--=--,則cosAcosB,

所以cos（A-_B）=cosAcos_B+sinAsin5=1,

因?yàn)?。vAVTI,0V5V71,所以一7T＜A—5＜兀，故A-5=0,即A=5,

271

又因?yàn)锳+8=兀一C=1無，所以A=_B=w，

TT

又C=§,所以，ABC是等邊三角形.

25.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在，ABC中，若2a—6=2ccos3,cosA+cosB=l,則一ABC一定是（????）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.無法確定

【答案】A

【分析】由2a-＞=2ccos瓦利用余弦定理可求C,再利用三角形內(nèi)角的關(guān)系結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)

可求A,進(jìn)而可得三角形的形狀.

?2,r2_,2

【詳解】解：由2a-b=2ccosB,根據(jù)余弦定理，故2a-b=2c-------------,^rUka2+b2-c2=ab,所以

lac

jjr

cosC=—,CG（0,%），所以°=1，

27r

所以A+3=F~,因?yàn)镃OSA+COS5=1,所以

「2萬八21.2711.75Hn1.A/3..,

cosA+cos------A=cosA+cos——cosA+sin——sinA=cosA——COSAH-----sinA=l,即—cosA+——sinA=l,

3）332222

所以sin（5+A）=l,

因?yàn)锳e（O,萬），所以g+A=g,

o2

所以A=9，從而8="-A-C=g.所以三角形為等邊三角形，

故選:A

考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用

（-）求邊（求值）

26.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在，ABC中，已知三條邊是連續(xù)自然數(shù)，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的

長.

【答案】2,3,4

【分析】首先設(shè)ABC的三邊為“=%力="+Lc=帆+2,且加?N*,根據(jù)題意得到cosC<0,從而得到

再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到答案.

【詳解】設(shè)ABC的三邊為"=加力=加+Lc=2,且meN*,因?yàn)樽畲蠼菫殁g角，

士,nr+（m+I）--（m+2）2

所以cosC=---------------------------—<0,

2m{m+1）

化簡得：〃5—2:“—3<0,解得

又因?yàn)橛?機(jī)+1>〃?+2,即加>1,

所以1<<3,且加eN*,即〃z=2,

三邊為：2,3,4.

27.（2022春?四川成都?高一校聯(lián)考期中）在二ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2-c2=2a2,

1c

cosB=—,則一=（????）

4a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由余弦定理求出答案.

【詳解】由從一°2=2/得：cosB12+c、.二土二

laclac2c4

解得：￡=2

a

故選：B

（二）求角

28.（2022春?四川德陽?高一四川省廣漢中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別

是。，b,c,若片=廿+°2一歷，則角A的值為（？??？）

A.工B.2C.生D.女

6433

【答案】C

【分析】由余弦定理的邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，即可求角A.

12/22

【詳解】由已知及余弦定理知：cos」+；T而0<4<萬，

2bc2

所以&=卓

故選：C

29.(2022春?吉林長春?高一長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知ABC中，a2=b2+c2-^3bc,則角A等

于(????)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】根據(jù)余弦定理邊化角，可得cosA的值，即得答案.

【詳解】由ABC中，a2=〃+c2一其,可得cosA="^^=^,

2bc2

TT

由于4e(0,7r),故A,

故選：A

30.【多選】(2022?高一課時(shí)練習(xí))在4ABe中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(/+c,-⑹出臺(tái)二代吟

則3的值為(????)

A.-B.-C.2D.二

6363

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到sinB=3,結(jié)合8的范圍即能得到答案

2

【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知6+，2-62=2。。8$8,代入(/+/—〃)tan3=&c,可得

2〃ccosB?s'nB=yfiac,即sinB=B,

cosB2

IT27r

因?yàn)?<3〈萬，所以8=1或2=不，

故選：BD.

31.(2023?高一課時(shí)練習(xí))在，ABC中，(a+6+c)(a+6—c)=3M,則邊c所對(duì)的角等于(????)

A.45°B.60°C.30°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)式子的特點(diǎn)，聯(lián)想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.

【詳自單】因?yàn)?a+b+c)(a+人-c)=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab,

所以?！?爐-02=.6,即2<?6cosC=a6,即cosC=；,所以C=60°.

故選：B

32.(2022春?山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考階段練習(xí))在，ABC中，角A的對(duì)邊分別是ddc,已知cosA=：,則

b

B=(????)

,式r式…71—71

A.-B.-C.-D.一

6423

【答案】C

【分析】由余弦定理化角為邊，然后由勾股定理逆定理可得.

【詳解】由題意COSA=￡='+?一/,化簡得/+°2=k，所以B=

b2bc2

故選：C.

33.(2023?高一課時(shí)練習(xí))在.ABC中，(?一c)cosA=acosC,貝!]cosA=.

【答案】B

3

【分析】利用余弦定理角化邊，然后化簡整理后，再使用余弦定理求得cosA.

［詳解］(6〃-c)cosA-acosC,

b2+c2-a2b2+a2-c2

函b-c)?

2bclab

6b3+yf^bc2-^3ba2-b2c-c3+a2c=b1c+a2c-c3,

6b3+y/3bc2-y/3ba2=2b2c,

辰2+后-年2=2A,

c°sA=J￡KL旦

2bc3

故答案為：耳

34.(2021秋?河南?高二?？茧A段練習(xí))在.ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,。，已知6=c,

。2=2廿(1—sinA),則A的大小為(????)

71一兀一兀一3兀

AA.—B.-C.—D.—

4364

【答案】A

【分析】利用余弦定理可表示出小,進(jìn)而構(gòu)造等式求得tanA,由此可求得A.

【詳解】由余弦定理得：cr=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA-2b2(1-cosA),

a~=2b2(1-sinA),.-.cosA=sinA,又cosAwO,tanA=L

14/22

Ae（0,7i）,A=；.

故選：A.

（三）最值（范圍）

35.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若銳角三角形三邊長分別為2,3,x,則x的范圍是（？??？）.

A.y[5<x<A/13B.1<%<5

C.l<x<y[5D.V13<%<5

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角形分別應(yīng)用余弦定理列邊長關(guān)系不等式，計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，

則設(shè)邊3對(duì)的銳角為角a,根據(jù)余弦定理得cosa="十）一'>0,解得

4x

設(shè)X邊對(duì)的銳角為尸，根據(jù)余弦定理得cos夕=矢「>0,解得0<x<g,

設(shè)邊2對(duì)的銳角為角/，根據(jù)余弦定理得cos/='+；2>0恒成立;

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是6<x<g.

故選:A.

36.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知a+1,a+2,“+3是一個(gè)鈍角三角形的三邊長，則a的取值范圍是.

【答案】（0,2）

【分析】由題意可知此三角形的最大邊為。+3,設(shè)此邊所對(duì)應(yīng)的角為a,則a為鈍角，cosa<0,結(jié)合余

弦定理可得-2<a<2,再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)閍+l<a+2<。+3,

所以此三角形的最大邊為。+3,

設(shè)此邊所對(duì)應(yīng)的角為則。為鈍角，

,z,-）-,i,n-z（a+1）-+（a+2）——（a+3）2

由余3弦定T理F可r得Bcosa=--------------------------------<0,

2（。+l）（a+2）

即有（a+l）2+（a+2）2_（q+3）2<0,

整理得“2-4<0,

解得—2<a<2,

fa+1>0

又因?yàn)榘?°，

底a+1）+（a+2）>Q+3

即a〉0,

所以。的取值范圍為：（0,2）.

故答案為：（0,2）

37.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為44c,且。=彳，6=2,8=45,

符合條件的三角形有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】（2,20）

【分析】利用余弦定理，構(gòu)造關(guān)于c的方程，利用根的分布求出x的范圍.

【詳解】在ABC中，a=x,6=2,8=45,

由余弦定理得：b1=（?+x2-2crcosB,BPc2-yf2cx+x2-4=0.

因?yàn)榉蠗l件的三角形有兩個(gè)，所以關(guān)于c的方程由兩個(gè)正根，

A=2X2-4（X2-4）>0

所以<尤2_4>0,解得：2<x<2后.

\[2x>0

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2,2忘）.

故答案為:（2,20）

38.（2022.高一課時(shí)練習(xí)）在鈍角；ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,若。=1,6=2,

則最大邊c的取值范圍是（？?？）

A.（A/5,+OO）B.（2,石）

C.（小,般）D.（技3）

【答案】D

[分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.

x.272_2

【詳解】因ABC是鈍角三角形，a=l,b=2,且c是最大邊，則由余弦定理得：cosC="+"一°<0,

2ab

于是得H>/+/=/+22=5,。>0,解得c>石，而有。<〃+b=3,即百<c<3,

所以最大邊C的取值范圍是：（石,3）.

故選：D

39.（2022春?黑龍江大慶?高一?？茧A段練習(xí)）ABC中8=60,AC=6，則AB+23c最大值_____.

【答案】2幣

【分析】根據(jù)余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判別式，可得答案.

【詳解】設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理：cosB=--------------，

lac

16/22

所以/+H=3,設(shè)C+加二加，貝1」。=加一2〃，

代入上式得7a2_5.+m2-3=0,方程有解，所以A=84-3/之0,故m<2幣，

當(dāng)帆=2g時(shí)，止匕時(shí).=c=—,符合題意，因此最大值為2?.

77

故答案為：277.

40.（2023春?江蘇南京?高一南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在aABC中，角A3,。的對(duì)邊分別為

若。=3b,則cosB的最小值是.

【答案】逑

3

【分析】根據(jù)余弦定理以及基本不等式可求得答案.

【詳解】解：由余弦定理得cos3=處上工，又a=3b,所以COSB=（33:="

2ac2-（3b）c6bc

因?yàn)?b2+c2>248bl.c2=4J5bc，當(dāng)且僅當(dāng)c=2血b時(shí)取等號(hào),

所以cos底小仁亞=述，

6bc6bc3

所以cosB的最小值是逆，

3

故答案為：述.

3

AD

41.（2023秋?廣東梅州?高二統(tǒng)考期末）已知ABC中，BC=3,且e=2,則tanNABC的最大值為.

AC

【答案】同

3

【分析】利用基本不等式結(jié)合余弦定理可求得cosNABC的取值范圍，可得出/ABC的取值范圍，進(jìn)而可

求得tanNABC的最大值.

.、辛A.TJ1I,/<升…下中./曰/4A,B2+BC?—AC?23AC?+91

【詳解】由余弦定理可r得cosNA3C=-----------------------=-------------=-AC+

2ABBC12AC44AC2

當(dāng)且僅當(dāng)AC=?=>AC=石，等號(hào)成立,

因?yàn)?<ZABC<TT,則0<ZA8CWP,i^0<tanZABC<—

63

即tanNABC的最大值為必

3

故答案為：￥

42.（2022春?河北石家莊?高一石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在，ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分

別為a,b,c,且滿足5〃+3^2=3c"貝IJsinA的取值范圍是.

【答案】［q

aM_*24

【分析】根據(jù)條件54+362=302得/=匚工，結(jié)合余弦定理求得（vcosAvl,根據(jù)同角三角函數(shù)值

55

的平方關(guān)系可得答案.

【詳解】由5/+3^=3°2得：a1=3/-3b2

3c2—3從

22

222b+cc2+4b22yjc2-4b2

故cosA=b+c-a5>4,

2bc2bc5bc5bc5

當(dāng)且僅當(dāng)。=3時(shí)取等號(hào),

4

由于Ac（0,冗），故gWcosAvl,

g3

則sin2A=l-cos2A￡（0,石）,則sinA￡（0,j,

故答案為：］。,|

ha

43.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在，ABC中，一+—=4cosC,則cosC取最小值時(shí)，ZC=___________

ab

【答案】~

【分析】將cosC代入余弦公式化簡可得〃+加=202,再代入COSC計(jì)算可得，COSC=±^,利用不等式

4ab

可求出cosC的最小值，并求出此時(shí)ZC的大小.

【詳解】解：2+f=4cosC,可得'士^=4cosC=4x《±^^,

abablab

即a2+b2=2c2,

二.cosC="W=j二型」,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，

2ab4ab4ab2

所以（COSCU=；,

.-ZCe（O,7r）,

TT

故答案為：—.

hr

44.（2022春?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末）已知MC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若——+-->1,

a+ca+b

則角A的取值范圍是（????）

18/22

a-H]b-H]