第十章　第四節(jié)　列聯(lián)表與獨立性檢驗

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第四節(jié)列聯(lián)表與獨立性檢驗【課標解讀】【課程標準】1.通過實例,理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例,了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實生活為載體,考查分類變量與列聯(lián)表、獨立性檢驗;獨立性檢驗是高考熱點,常以解答題的形式出現(xiàn).預測估計2025年高考仍會在獨立檢驗上出題.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.分類變量為了表述方便,我們經常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質,這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.2.列聯(lián)表與獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表①2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

②定義一對分類變量X和Y,我們整理數(shù)據(jù)如表所示:XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.(2)獨立性檢驗①定義:利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”.簡稱獨立性檢驗.

②χ2=n(ad-bc)2(a+b(3)獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)①提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結論.④在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.微思考χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性是大還是小?提示:χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性越大.基礎診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù).(√)提示:(1)由2×2列聯(lián)表可知,表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù),所以(1)正確.(2)事件A和B的獨立性檢驗無關,即兩個事件互不影響.(×)提示:(2)由獨立性檢驗可知:事件A和B的獨立性檢驗無關,說明事件A和B關聯(lián)性不大,不一定互不影響,所以(2)錯誤.(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關的統(tǒng)計量.(√)(4)在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,則說明兩個分類變量之間關系越強.(×)提示:(4)在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,說明卡方值越小,即兩個分類變量之間關系不強,所以(4)錯誤.2.(選修第三冊P134練習4改編)某課外興趣小組通過隨機調查,利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量研究數(shù)學成績優(yōu)秀是否與性別有關.計算得χ2=6.748,經查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,則下列判斷正確的是()A.每100個數(shù)學成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生B.若某人數(shù)學成績優(yōu)秀,那么他為男生的概率是0.010C.有99%的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別無關”D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關”【解析】選D.因為χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關”,即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關”.所以ABC錯誤.3.(選修第三冊P133例4改編)在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確的是()A.因為隨機變量χ2>10.828=x0.001,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001B.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001C.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001D.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001【解析】選A.由題意知,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632>10.828=x0.001,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“吸煙與患肺癌有關系”.4.(不理解獨立性檢驗方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中,某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ2=7.235,則根據(jù)小概率值α=的χ2獨立性檢驗,分析喜歡該項體育運動與性別有關.

【解析】因為6.635<7.235<10.828,所以根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,分析喜歡該項體育運動與性別有關.答案:0.01【核心考點·分類突破】考點一分類變量與列聯(lián)表[例1](1)為考察某種藥物對預防禽流感的效果,在四個不同的實驗室取相同的個體進行動物試驗,根據(jù)四個實驗室得到的列聯(lián)表畫出如下四個等高堆積條形圖,最能體現(xiàn)該藥物對預防禽流感有效果的圖形是()【解析】選D.在等高堆積條形圖中,aa+b與(2)如表是2×2列聯(lián)表,則表中a,b的值分別為()項目y1y2合計x1a835x2113445合計b4280A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37【解析】選A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.解題技法比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算χ2的大小判斷:χ2越大,兩變量有關聯(lián)的可能性越大.(2)通過計算|ad-bc|的大小判斷:|ad-bc|越大,兩變量有關聯(lián)的可能性越大.(3)通過計算aa+b與對點訓練1.(2023·莆田模擬)為考察A,B兩種藥物對預防某疾病的效果,進行動物試驗,分別得到如下等高堆積條形圖,根據(jù)圖中信息,在下列各項中,說法最佳的一項是()A.藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B.藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預防效果D.藥物A,B對該疾病均沒有預防效果【解析】選B.根據(jù)題干中兩個等高堆積條形圖知,藥物A試驗顯示不服藥與服藥時患病差異較藥物B試驗顯示明顯大,所以藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果.2.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對本班48人進行了問卷調查,得到了如下的2×2列聯(lián)表:性別打籃球合計喜愛不喜愛男生6女生10合計48已知在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為23.請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整【解析】在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為23,故喜愛打籃球的學生共有48×23=32(人),因為喜愛打籃球的女生有10人,故喜愛打籃球的男生有22人,結合題意可知不喜愛打籃球的女生有48-32-6=10(人)性別打籃球合計喜愛不喜愛男生22628女生101020合計321648考點二列聯(lián)表與獨立性檢驗[例2](2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:公司準點情況準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;【解析】(1)根據(jù)題中表格數(shù)據(jù),A共有班次260次,準點班次有240次,設A公司長途客車準點事件為M,則P(M)=240260=12B共有班次240次,準點班次有210次,設B公司長途客車準點事件為N,則P(N)=210240=7所以A公司長途客車準點的概率為1213B公司長途客車準點的概率為78(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關?附:χ2=n(α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635【解析】(2)列聯(lián)表公司準點情況合計準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500χ2=n(ad-bc)2(根據(jù)臨界值表可知,有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.解題技法獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2=n(ad-bc)(3)比較χ2與臨界值xα的大小關系,作統(tǒng)計推斷.對點訓練為了減少自身消費的碳排放,“綠色消費”等綠色生活方式漸成風尚.為獲得不同年齡段的人對“綠色消費”意義的認知情況,某地研究機構將“90后與00后”作為A組,將“70后與80后”作為B組,并從A,B兩組中各隨機選取了100人進行問卷調查,整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián)表:(單位:人)年齡段認知情況合計知曉不知曉A組(90后與00后)7525100B組(70后與80后)4555100合計12080200(1)若從樣本內知曉“綠色消費”意義的120人中用比例分配的分層隨機抽樣方法隨機抽取16人,問:應在A組、B組中各抽取多少人?【解析】(1)由題意知,在A組中抽取的人數(shù)為16×75120=10.在B組中抽取的人數(shù)為16×45120(2)能否依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析對“綠色消費”意義的認知情況與年齡有關?【解析】(2)零假設為H0:對“綠色消費”意義的認知情況與年齡無關.由題意,得χ2=200×(75×55-25×45)2120×80×100×100=18.75>10.828=x0.001,故依據(jù)小概率值α考點三獨立性檢驗的綜合應用[例3](2023·福州模擬)甲、乙兩所學校高三年級分別有1000人,1100人,為了了解兩所學校全體高三年級學生數(shù)學測試情況,采用分層隨機抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數(shù)學成績,并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表,規(guī)定考試成績在[120,150]內為優(yōu)秀.分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)甲校頻數(shù)1298乙校頻數(shù)231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校頻數(shù)1010x3乙校頻數(shù)15y31(1)計算x,y的值;【解析】(1)由題可知,采用分層隨機抽樣共抽取105人,1000∶1100=10∶11,所以甲校抽取105×1021=50(人),乙校抽取105×11故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.025的獨立性檢驗,能否認為兩個學校的數(shù)學成績有差異?(注:x0.025=5.024)數(shù)學成績學校合計甲校乙校優(yōu)秀非優(yōu)秀合計【解析】(2)由頻數(shù)分布表可得2×2列聯(lián)表為數(shù)學成績學校合計甲校乙校優(yōu)秀201030非優(yōu)秀304575合計5055105零假設H0:兩個學校的數(shù)學成績無差異,所以χ2=105×(20×45-30×10)250×55×30×75≈6.109>5依據(jù)小概率值α=0.025的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為兩個學校的數(shù)學成績有差異.解題技法獨立性檢驗解題策略(1)分清分類變量是什么;(2)計算χ2時注意運算順序、運算技巧的應用;(3)注意與其他統(tǒng)計知識的交匯運用.對點訓練第五代移動通信技術簡稱5G或5G技術,是最新一代蜂窩移動通信技術,也是繼4G系統(tǒng)之后的延伸.為了了解市民對A,B運營商的5G通信服務的評價,分別從A,B運營商的用戶中隨機抽取100名用戶對其進行測評,已知測評得分在70分以上的為優(yōu)秀,測評結果如下:A運營商的100名用戶的測評得分得分[40,50](50,60](60,70]頻率0.180.230.3得分(70,80](80,90](90,100]頻率0.240.030.02B運營商的100名用戶的測評得分(1)根據(jù)頻率分布直方圖,分別求出B運營商的100名用戶的測評得分的中位數(shù)和均值(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表);【解析】(1)由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分在區(qū)間[40,70]的頻率為(0.008+0.016+0.026)×10=0.5,故B運營商測評得分的中位數(shù)為70;由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分的均值為45×0.08+55×0.16+65×0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2.(2)填寫下面列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷測評得分優(yōu)秀是否與運營商有關.(x0.01=6.635)運營商測評得分合計優(yōu)秀非優(yōu)秀AB合計【解析】(2)零假設H0:測評得分優(yōu)秀與運營商無關.由題中頻率分布表可知A運營商測評得分優(yōu)秀的有100×(0.