第六章　第六節(jié)　復(fù)數(shù)

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀(guān)看比例，答案解析附后。板塊。第六節(jié)復(fù)數(shù)【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過(guò)方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象.【命題說(shuō)明】考向考法高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查相對(duì)穩(wěn)定,為每年必考題型.復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是常考點(diǎn),以選擇題的形式考查.預(yù)測(cè)2025年高考仍會(huì)考查復(fù)數(shù)運(yùn)算,題型、位置不變.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.實(shí)部是a,虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類(lèi)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)實(shí)數(shù)((3)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di互為共軛復(fù)數(shù)?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b微點(diǎn)撥(1)虛數(shù)不能比較大小;(2)復(fù)數(shù)集包含實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集.2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,b∈R).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).微點(diǎn)撥(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義:若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2不共線(xiàn),則復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z1(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)z1-z2是OZ1-OZ23.復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(常用結(jié)論1.i的乘方具有周期性i4n=1,i4ni4n+i4n+1+i4n+22.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z(mì)·z=|z|2=|z|2.4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形(1)a≤|z|≤b(a≠b且a,b>0)表示以原點(diǎn)O為圓心,a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán).(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13241.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)方程x2+x+1=0沒(méi)有解.()(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()(5)復(fù)數(shù)z=-1+2i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限.()提示:(1)方程x2+x+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解.提示:(2)虛部為b.提示:(3)虛數(shù)不可以比較大小.提示:(5)復(fù)數(shù)z=-1+2i的共軛復(fù)數(shù)是z=-1-2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.(虛部概念掌握不清致誤)復(fù)數(shù)z=13+4i的虛部是(A.-325 B.-325i C.-425 【解析】選C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3故z=13+4i的虛部為-43.(必修第二冊(cè)P69例1·變條件)若a∈R,復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),則()A.a≠2且a≠-1 B.a=0C.a=2 D.a=0或a=2【解析】選B.復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),則a2-2a4.(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1【解析】選A.因?yàn)閍,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.如果復(fù)數(shù)2+bii(b∈R)的實(shí)部與虛部相等,那么bA.-2 B.1 C.2 D.4【解析】選A.2+bii=(2+bi)(-i2.(多選題)若復(fù)數(shù)z=21+i,其中i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是(A.z的虛部為-1 B.|z|=2C.z2為純虛數(shù) D.z的共軛復(fù)數(shù)為-1-i【解析】選ABC.z=21+i=2(1-i)(對(duì)于B,|z|=2,正確;對(duì)于C,因?yàn)閦2=(1-i)2=-2i,故z2為純虛數(shù),正確;對(duì)于D,z的共軛復(fù)數(shù)為1+i,錯(cuò)誤.3.(2023·全國(guó)甲卷)若復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2,a∈R,則a=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=21-4.(2022·全國(guó)乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2【解析】選A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,由z+az+b=0,得1+a+b5.若復(fù)數(shù)z=2-3i2+mm∈R【解析】由題可知z=22+3i2-12i+m=m-5-12i為純虛數(shù),所以m=5,故m5+i=52+答案:解題技法解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的常用方法(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為b.(2)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi,則z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,則z考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算[例1](1)(2023·石家莊模擬)(1+i3)(2-i)=()A.3-i B.3+iC.1-3i D.1+3i【解析】選C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.(2)(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)z=2+i1+i2+iA.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i【解析】選B.由題意可得z=2+i1+i2+i5=則z=1+2i.(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則z-zA.-i B.i C.0 D.1【解析】選A.因?yàn)閦=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i(4)(2023·全國(guó)乙卷)|2+i2+2i3|=()A.1 B.2 C.5 D.5【解析】選C.由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,則|2+i2+2i3|=|1-2i|=12+(-(5)(2022·北京高考)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i·z=3-4i,則|z|=()A.1 B.5 C.7 D.25【解析】選B.由已知,得z=3-所以|z|=5.解題技法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算(注意:i2=-1),可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),使分母實(shí)數(shù)化.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2022·全國(guó)甲卷)若z=-1+3i,則zzz-A.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13【解析】選C.因?yàn)閦=-1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2則zzz-1=-1+32.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+z=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.由題設(shè)有1-z=1i=i故z=1+i,故z+z=(1+i)+(1-i)=2.3.(一題多法)(2023·忻州模擬)若復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+3i),則|z|=()A.25 B.42 C.20 D.32【解析】選A.方法一:由題意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,則|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),則|a-bi|=()A.2 B.3 C.10 D.4【解析】選C.因?yàn)閍+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=10.【加練備選】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i【解析】選D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.2.(2022·全國(guó)甲卷)若z=1+i.則|iz+3z|=()A.45 B.42 C.25 D.22【解析】選D.因?yàn)閦=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-所以iz+3z=4+4考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義[例2](1)復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i(2+i)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.復(fù)數(shù)z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z=-1-2i,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),在第三象限.(2)(2023·唐山模擬)已知復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=a+i1-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)滿(mǎn)足x+y=0,則實(shí)數(shù)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.由z=a+i1-i=復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a-12,a+12則a-12+a+1(3)(2023·景德鎮(zhèn)模擬)已知i為虛數(shù)單位,且|z-2i|=1,則|z|的最大值是.

【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z-2i|=1的幾何意義知:z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a,b)的軌跡是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,即a2+(b-2)2=1,因?yàn)閨z|的幾何意義為點(diǎn)(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離,所以|z|max=(0-答案:3解題技法復(fù)數(shù)幾何意義的解題策略(1)已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求參數(shù)范圍,可依據(jù)點(diǎn)所在位置建立不等式求解.(2)研究復(fù)數(shù)模的問(wèn)題,可利用數(shù)形結(jié)合法,考慮模的幾何意義求解:①|(zhì)z-z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,3),則z的共軛復(fù)數(shù)z=()A.1+3i B.1-3iC.-1+3i D.-1-3i【解析】選D.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,3),所以z=-1+3i,則z的共軛復(fù)數(shù)z=-1-3i.2.若i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|≤1,則|z-(1+i)|的最大值為()A.2-1 B.2C.2+1 D.22【解析】選C.設(shè)z=x+yi,x,y∈R,則x2+y2≤1,表示以(0,0)為圓心,1為半徑的圓上和圓內(nèi)的點(diǎn),|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=(x-1)2+(y考點(diǎn)四復(fù)數(shù)與方程[例3]已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有實(shí)根b,且z=a+bi,則復(fù)數(shù)z等于()A.2-2i B.2+2iC.-2+2i D.-2-2i【解析】選A.由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的實(shí)根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,整理可得:(b+a)i+(b2+4b+4)=0,所以b+a=0所以z=2-2i.解題技法復(fù)數(shù)與方程的解題策略(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō),求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式的功能沒(méi)有變化,仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有