第二章　第二節(jié)　基本不等式

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節(jié)基本不等式【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)2.結(jié)合具體實(shí)例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說明】考向考法利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn),通常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合,題型以選擇題、填空題為主,中低檔難度.預(yù)測(cè)2025年備考仍以選擇題、解答題為主,重點(diǎn)關(guān)注利用基本不等式進(jìn)行大小判斷、求最值和求取值范圍的問題.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.基本不等式:ab≤a(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.(3)其中a+b2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),ab叫做正數(shù)a,微點(diǎn)撥利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正數(shù),如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正數(shù),如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值14S2微點(diǎn)撥記憶口訣:兩正數(shù)的和定積最大,兩正數(shù)的積定和最小.常用結(jié)論1.ab≤(a+b2)2≤a2.常見求最值的模型模型一:mx+nx≥2mn(m>0,n>0,x>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=n模型二:mx+nx-a=m(x-a)+nx-a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0,x>a),當(dāng)且僅當(dāng)模型三:xax2+bx+c=1ax+b+cx模型四:x(n-mx)=mx(n-mx)m≤1m·(mx+n-mx2)2=n24基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)14231.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與a+b2≥ab成立的條件是相同的.(提示:(1)不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的條件是a>0,(2)函數(shù)y=x+1x(x>0)的最小值是2.(√提示:(2)由基本不等式可知y=x+1x≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,故(2)正確(3)函數(shù)f(x)=sinx+4sinx的最小值為4.(×提示:(3)函數(shù)f(x)=sinx+4sinx(4)x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要條件.(√提示:(4)由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+2.(忽視等號(hào)成立的條件)函數(shù)y=x2+4x2-2(-1<x<0)的值域?yàn)?A.{y|y>2} B.{y|y≥2}C.yy≥3 【解析】選D.令t=x2,0<t<1,所以y=x2+4x2-2=t+4t-2,因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+4t在0<t<1上單調(diào)遞減,且沒有最大值,所以y=t+4t>1+41=5,所以y=3.(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】選BC.因?yàn)閍b≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可變形為(x+y)2-1=3xy≤3x+y22,解得-2≤x+y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y由x2+y2-xy=1可變形為(x2+y2)-1=xy≤x2+y22,解得x2+y2因?yàn)閤2+y2-xy=1變形可得x-y22+34y2=1,設(shè)x-y2=cosθ,32y13sinθ,y=23sinθ,因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ4.(人A必修第一冊(cè)P48習(xí)題2.2T1(2)變條件)函數(shù)y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

【解析】因?yàn)?≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(3-2x)2]2=答案:9【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一利用基本不等式求最值考情提示利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意基本不等式成立的條件.高考時(shí),一般不會(huì)直接應(yīng)用基本不等式求最值,常常需要對(duì)題目進(jìn)行“添加項(xiàng)”“換元”或“常數(shù)代換”后再利用基本不等式求最值.角度1直接法[例1](1)(2024·濱州模擬)若x>0,則fx=4x+9x的最小值為(A.4 B.9 C.12 D.21【解析】選C.因?yàn)閤>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥24x·9x=12,當(dāng)且僅當(dāng)4x=9x,即x(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,則9a+13b的最小值為(A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.因?yàn)?a-b-2=0,所以2a-b=2,因?yàn)?2a>0,3-b>0,所以9a+13b=32a+3-232a×3-當(dāng)且僅當(dāng)32a=3-b2a解題技法利用基本不等式求最值的條件必須滿足的三個(gè)條件為“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各項(xiàng)必須為正數(shù).(2)“二定”:要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的兩項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào),則這個(gè)定值就不是所求的最值.角度2配湊法[例2](1)若x<23,則f(x)=3x+1+93xA.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3【解析】選C.因?yàn)閤<23,所以3xf(x)=3x-2+93x-2+3=-[(2-3x)+9當(dāng)且僅當(dāng)2-3x=92-3x,即x(2)已知0<x<22,則x1-2【解析】因?yàn)?<x<22所以1-2x2>0,x1-2x2=22·2x1-2x2≤22·2x2+1-答案:2解題技法配湊法求最值的解題策略1.配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;2.對(duì)于一次二次或二次一次提醒:注意驗(yàn)證等號(hào)取得的條件.角度3常數(shù)代換法[例3](1)(2024·昆明模擬)已知實(shí)數(shù)x>0,y>0,x+3y=2,則1x+1y的最小值為(A.3 B.1+3 C.2+32 D【解析】選D.因?yàn)閤>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1當(dāng)且僅當(dāng)3yx=xy,即y=3-3(2)已知正數(shù)a,b滿足a+b=ab-1,則a+b的最小值為.

【解析】因?yàn)閍+b=ab-1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2=1+2b-1+(b-1)+1=2+(b2+2(b-1)·2b-1=2+22答案:2+22解題技法常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.角度4消元法[例4](2024·煙臺(tái)模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

【解析】方法一(換元消元法):由已知得9-(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào).即(x+3y)2令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值為6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+=9+3y2=3(1+y)+121+y-6≥2=12-6=6,當(dāng)且僅當(dāng)3(1+y)=121+y,即y=1,x=3時(shí)取等號(hào),所以x+3y答案:6解題技法利用消元法、換元法求最值的方法(1)消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.(2)換元法,求較復(fù)雜的式子的最值時(shí),通常利用換元法將式子恰當(dāng)變形,簡化式子,再利用基本不等式求解.角度5由條件等式求a+b或ab的取值范圍或最值教考銜接教材情境·研習(xí)·典題類[例5](必修第一冊(cè)P58T5變形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,則ab的取值范圍為.

【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab-3,又a,b>0時(shí),a+b≥2ab,所以ab-3≥2ab,所以(ab)2則(ab-3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤-1(舍去),所以ab≥3,則ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號(hào)成立,所以ab的取值范圍為[9,+∞).解法二(換元法):令ab=t(t>0),則a=tb(t>0),代入ab=a+b整理得b2+(3-t)b+t=0,因?yàn)樵摲匠逃姓?所以Δ即t≥9或t所以ab的取值范圍為[9,+∞).答案:[9,+∞)解題導(dǎo)思看問題雙變量求范圍問題提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]從結(jié)構(gòu)特征上看,聯(lián)想到基本不等式法.利用a+b≥2ab與ab=a+b+3建立關(guān)于ab的不等式,求解ab的取值范圍.[思路②]從方程角度上分析,聯(lián)想到換元法.令ab=t(t>0),與ab=a+b+3聯(lián)立建立關(guān)于b(或a)的一元二次方程,根據(jù)方程有正根,建立關(guān)于t的不等式求解t的范圍,從而求出ab的取值范圍.高考鏈接(2023·全國乙卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是()A.1+322 B.4 C.1+32 D【解析】選C.解法一(換元法):令x-y=t,則x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0,因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y,則Δ≥0,即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,化簡得t2-2t-17≤0,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值為1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b由已知得(x-2)2+(y-1)2=9,所以92==(x-2當(dāng)且僅當(dāng)x-2=1-y,即x=4+32y=2-322或x=4-3即92≥x-y-122則|x-y-1|≤32,所以1-32≤x-y≤1+32,故x-y的最大值為1+32.[溯源點(diǎn)評(píng)]從命題情境角度上,高考真題與教材題目“形似”,都考查了二元二次方程相關(guān)的知識(shí).從解題方法上看“法同”,通過構(gòu)造變形采用基本不等式法和換元法求解.體現(xiàn)了高考試題對(duì)于同一考點(diǎn)可以變換角度與變換題型進(jìn)行考查.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·曲靖模擬)已知0<x<5,則x5-A.1 B.2 C.52 D.【解析】選C.因?yàn)?<x<5所以x5-x2=x當(dāng)且僅當(dāng)x2=5-x2,即x=10所以x5-x2.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.方法一:由條件得y=x5由x>0,y>0知x>35從而3x+4y=3x+4x5x-3=3x+4x-35+12當(dāng)且僅當(dāng)3x-35即x=1,y=12時(shí)取等號(hào)故3x+4y的最小值為5.方法二:對(duì)原條件式轉(zhuǎn)化得3x+1則3x+4y=153x+1當(dāng)且僅當(dāng)12yx=3xy,x+3y=5xy,即x=1,y=12時(shí)取等號(hào).故33.已知ab>0,a+b=1,則a+4bab【解析】因?yàn)閍b>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba答案:9考點(diǎn)二基本不等式的綜合應(yīng)用[例6](1)對(duì)任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,則實(shí)數(shù)a的最大值為()A.2 B.22 C.4 D【解析】選B.因?yàn)閷?duì)任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn因?yàn)閙n+2nm≥2當(dāng)且僅當(dāng)mn=2nm,即m=所以a≤22,故實(shí)數(shù)a的最大值為2(2)已知正數(shù)x,y滿足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x當(dāng)且僅當(dāng)4xy=9yx,即x由題意得,(x+y)min<m2-24m,即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.答案:(-∞,-1)∪(25,+∞)解題技法利用基本不等式求解綜合問題的求解策略(1)當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí),往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件,然后利用常數(shù)代換法求最值.(2)求參數(shù)的值或取值范圍時(shí),一般需要結(jié)合題目特征,分離參數(shù),利用基本不等式確定等號(hào)成立的條件,從而得到參數(shù)的值或取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)實(shí)數(shù)x,y滿足xy+3x=30<x<12,若3x+1y-3<mA.-3 B.-2 C.4 D.5【解析】選AD.因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y滿足xy+3x=3(0<x<12),則x=3y+3,由0<3y+3所以3x+1y-3=y+3+1y-3當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí),等號(hào)成立,所以m2-2m>8,即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.2.(2024·潮州模擬)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+4y=2,且不等式x+y4≥m2-m恒成立,則實(shí)數(shù)m【解析】因?yàn)椴坏仁絰+y4≥m2-m所以(x+y4)min因?yàn)閤>0,y>0,且1x+4所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2當(dāng)且僅當(dāng)2xy=y8x,即x=1,y=4時(shí),等號(hào)成立,所以(x+即(m+1)(m-2)≤0,解得-1≤m≤2.答案:-【加練備選】若?x∈12,2,使得2x2-λx+1<0成立是假命題,則實(shí)數(shù)λA.22 B.23 C.4 D.5【解析】選A.因?yàn)樵}為假命題,所以其否定:?x∈12,2,2x2即?x∈12,2,λ≤2x又2x+1x≥22x·1x=22(當(dāng)且僅當(dāng)2x=1x,即x=22時(shí)取等號(hào)),所以λ考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用[例7]某公司購買了一批機(jī)器投入生產(chǎn),若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位:年,t∈N*)的關(guān)系為s=-t2+23t-64,要使年平均利潤最大,則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間t為()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.由題意得,年平均利潤y=st=-t-64t+23=-t+64t+23≤-2t·64t+23=7,當(dāng)且僅當(dāng)t解題技法有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題的解題技巧(1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)的解析式,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(3)解應(yīng)用題時(shí),一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí),若等號(hào)取不到,可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某校生物興趣小組為開展課題研究,分得一塊面積為32m2的矩形空地,并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)(如圖所示).要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5m,各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5m.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為m2.

【解析】設(shè)矩形空地的長為xm,則寬為32xm,設(shè)試驗(yàn)區(qū)的總面積為Sm2,所以S=(x-0.5×4)·(32x-0.5×2)=34-x-64x≤34-2x·64x=18,當(dāng)且僅當(dāng)x=64x答案:6【加練備選】已知圓錐的母線長為2,側(cè)面積為S,體積為V,則VS取得最大值時(shí)圓錐的體積為(A.2π3 B.42π3 C.2【解析】選D.設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,由題意可得母線l=2,所以圓錐的側(cè)面積為S=πrl=2πr,且h=l2-r2=4-r2,所以圓錐的體積為V=13πr2h=13πr2·4-r2,則VS=13πr24-r22πr=16r4-r2≤1【重難突破柯西不等式】柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式,除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外,柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中,借助柯西不等式的技巧可以達(dá)到事半功倍的效果.1.柯西不等式的代數(shù)形式設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.推廣:設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.2.柯西不等式的向量形式設(shè)α,β為平面上的兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立.3.柯西不等式的三角不等式設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實(shí)數(shù),則(x1≥(x類型一利用柯西不等式求最值[例1](1)(2023·浙江模擬)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,則sinx的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.1【解析】選C.由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny,由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(sinx=2+2sinx當(dāng)且僅當(dāng)(sinx+1)siny=cosycosx時(shí)取等號(hào),所以(2-sinx)2≤2+2sinx,即sin2x-6sinx+2≤0,解得3-7≤sinx≤1,所以sinx的最小值為3-7.(2)函數(shù)f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時(shí)A.5,215 B.3,215 C.13,6113 D.【解析】選A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)所以25-x+x-4≤5,當(dāng)且僅當(dāng)2x-4=故函數(shù)f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為解題技法柯西不等式求解最值的策略關(guān)鍵是構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,通過合理的恒等變形與配湊轉(zhuǎn)化,使之符合柯西不等式的結(jié)構(gòu),利用柯西不等式來轉(zhuǎn)化所求的代數(shù)關(guān)系式,聯(lián)系條件來確定對(duì)應(yīng)的最值問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知x>0,y>0,x24+y2=1,則22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y答案:22.函數(shù)y=22-x+2x【解析】因?yàn)閥=22-x+2x-3=2-x(2-x當(dāng)且僅當(dāng)2-x=2x-3所以函數(shù)y的最大值為3.答案:3類型二利用柯西不等式證明不等式[例2](1)若直線xa+yb=1過點(diǎn)M(cosα,sinα),則(A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.1a2+1b2≤1 D.【解析】選D.由柯西不等式,得[(1a)2+(1b)2](cos2α+sin2α)≥(cosαa+當(dāng)且僅當(dāng)sinαa=又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線xa+yb=1上,即cosαa+sinαb(2)已知a1,a2,b1,b2為正實(shí)數(shù),求證:(a1b1+a2b2)·(a1b1+a2b2)≥(a1【證明】(a1b1+a2b2)(a1b1+a2b2)=[(a1b1)2+(a2b2)≥(a1b1·a1b1+a2b2·a2b當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2時(shí),等號(hào)成立.解題技法柯西不等式證明不等式成立的策略(1)結(jié)合所要證明的不等式,引入一次線性關(guān)系式進(jìn)行配湊,利用柯西不等式加以轉(zhuǎn)化,并利用不等式的性質(zhì)與恒等變形來證明對(duì)應(yīng)的不等式成立;(2)通過巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的轉(zhuǎn)化,并結(jié)合基本不等