第八章　第七節(jié)　利用空間向量研究距離問(wèn)題

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第七節(jié)利用空間向量研究距離問(wèn)題【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題,并能描述解決這一類問(wèn)題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說(shuō)明】考向考法高考題常以體積為載體,考查空間中點(diǎn)線距、點(diǎn)面距.求空間幾何體的體積是高考熱點(diǎn),主要在解答題中體現(xiàn).預(yù)測(cè)2025年高考本節(jié)內(nèi)容仍會(huì)與立體幾何知識(shí)結(jié)合考查,試題難度中檔.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.兩點(diǎn)距即求空間中兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng),轉(zhuǎn)化為向量的模求解.2.點(diǎn)到直線的距離設(shè)A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),若u是直線l的單位方向向量,AQ是AP在l上的投影向量,設(shè)AP=a,則點(diǎn)P到直線l的距離PQ=|AP|2微點(diǎn)撥已知向量a,直線l的單位方向向量為e,則向量a在e方向上的投影向量為acos<a,e>·e,即aa·eae·e=a·3.點(diǎn)到平面的距離公式如圖,點(diǎn)P為平面α外一點(diǎn),點(diǎn)A為平面α內(nèi)的定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度,則PQ=|AP·n|n||=|AP·4.異面直線間的距離(1)定義:兩條異面直線間的公垂線段的長(zhǎng)即為異面直線間的距離.(2)求解公式:如圖,設(shè)兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為n,這時(shí)分別在a,b上任取A,B兩點(diǎn),則向量AB在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a,b的距離.則d=|AB·n|n||即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)點(diǎn)到平面的距離是該點(diǎn)與平面上點(diǎn)距離的最小值.(√)(2)點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線長(zhǎng)度的最小值.(√)(3)直線l平行于平面α,則直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.(√)(4)直線l上兩點(diǎn)到平面α的距離相等,則l平行于平面α.(×)提示:由距離的最小性可知(1)(2)正確;(3)中直線l上任意點(diǎn)到平面α的距離相等,正確;(4)中直線l可能與平面α相交.2.(選擇性必修一P34例6·變形式)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為()A.2 B.2 C.22 D.【解析】選A.由正方體性質(zhì)可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距離就是點(diǎn)A1到平面B1D1DB的距離,連接A1C1,交B1D1于O1(圖略),A1O1的長(zhǎng)即為所求,由題意可得A1O1=12A1C1=23.(選擇性必修一P35練習(xí)2·變形式)直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過(guò)點(diǎn)A(1,1,1),則點(diǎn)P(-1,2,1)到l的距離為()A.2 B.3 C.6 D.22【解析】選B.直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過(guò)點(diǎn)A(1,1,1),又點(diǎn)P(-1,2,1),則AP=(-2,1,0),則|AP|=5,又因?yàn)锳P·mm=|-2×1+1×0+0×(-1)|2=2,所以點(diǎn)4.(不能正確使用公式)若兩平行平面α,β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是.

【解析】依題意,平行平面α,β間的距離即為點(diǎn)O到平面β的距離,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d=|n·OA||n|答案:2【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一點(diǎn)線距及其應(yīng)用[例1](1)空間中有三點(diǎn)P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),則點(diǎn)P到直線MN的距離為()A.22 B.23 C.3 D.25【解析】選A.因?yàn)镸N=(1,1,1),所以MN的一個(gè)單位方向向量為u=33(1,1,1)因?yàn)镻M=(1,-1,3),故|PM|=12+(-PM·u=33×(1-1+3)=3所以點(diǎn)P到直線MN的距離為PM2-(PM·u(2)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點(diǎn),且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B,交C'D'于點(diǎn)F,則直線EF與A'B之間的距離為.

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,13直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離,BA'=(-1,0,1),BE=(0,1,13),BA'·BE|BA'|=2,|BE|=1+19cos<BA',BE>=BA'·BE|<BA',BE>∈所以sin<BA',BE>=1-(所以直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離為|BE|sin<BE,BA'>=103×9510答案:38解題技法向量法求點(diǎn)到直線的距離的方法方法一:(1)求直線的方向向量.(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo),利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo),再求向量的模.方法三:(1)求直線的方向向量;(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出正弦值;(3)求出所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量的模,再乘以?shī)A角的正弦值即為所求.提醒:平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,ABCD-EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體,若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=35AB+12AD+23AE,則A.34 B.45 C.56【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),則AP=35(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=(35,因?yàn)锳B=(1,0,0),所以AP在AB上的投影向量的長(zhǎng)度為AP·ABAB所以點(diǎn)P到AB的距離|AP|2考點(diǎn)二點(diǎn)面距及其應(yīng)用[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求證:AD⊥PB;【解析】(1)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,BD,(圖略)因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn),所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點(diǎn),所以PO⊥AD.因?yàn)锽O∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因?yàn)镻B?平面POB,所以AD⊥PB.(2)(一題多法)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【解析】(2)方法一:由題意及(1)易知OP=1,BO=3,PB=2,所以O(shè)P2+BO2=PB2,所以O(shè)P⊥OB,所以O(shè)P,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,1),所以AP=(-1,0,1),PB=(0,3,-1),PC=(-2,3,-1),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則n·PB=不妨取y=1,則n=(0,1,3),所以點(diǎn)A到平面PBC的距離d=|AP·n方法二:因?yàn)镻A=PD,∠APD=90°,所以PO=12AD=1,由題意及(1)知PB又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,記A到平面PBC的距離為h,S△PBC=12則由VA-PBC=VP-ABC得23h=13×所以h=32,即A到平面PBC的距離為3解題技法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP,α內(nèi)兩不共線向量,平面α的法向量n).(4)求距離d=|AP提醒:求線面距、面面距可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=12AB=12AA1=2,BC1=23,M為線段AB(1)證明:BC1⊥CM;【解析】(1)因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,C1B?平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,在△BCC1中,BC=2,BC1=23,CC1=AA1=4,所以BC2+BC12=CC12,所以CB因?yàn)锳B∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.又因?yàn)镃M?平面ABC,所以C1B⊥CM.(2)若E為A1C1的中點(diǎn),求點(diǎn)A1到平面BCE的距離.【解析】(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,23,0),A1(-2,23,4),E(-1,23,2),BC=(2,0,0),BE=(-1,23,2),設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則n·BC=0令y=3,則n=(0,3,-3).又因?yàn)锳1C=(4,-2故點(diǎn)A1到平面BCE的距離d=|0×4+(-22.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點(diǎn).求:(1)直線MN與平面OCD的距離;【解析】(1)因?yàn)镺A⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以O(shè)A⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因?yàn)镸,R分別為OA,AD的中點(diǎn),則MR∥OD,因?yàn)镸R?平面OCD,OD?平面OCD,所以MR∥平面OCD,因?yàn)锳D∥BC且AD=BC,R,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則CN∥RD且CN=RD,所以四邊形CDRN為平行四邊形,所以RN∥CD,因?yàn)镽N?平面OCD,CD?平面OCD,所以RN∥平面OCD,因?yàn)镸R∩RN=R,MR,RN?平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,因?yàn)镸N?平面MNR,所以MN∥平面OCD,設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),則n·DC=2x=0n·DO=-2y+2z=0,取y=1,可得n=(0,1,1),(2)平面MNR與平面OCD的距離.【解析】(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,則平面MNR與平面OCD的距離為d2=|NC·n||【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),直線AC到平面PEF的距離為.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),PE=(1,12,-1),PFAP=(-1,0,1),設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則n·PE=0解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又EF?平面PEF,AC?平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以直線AC到平面PEF的距離為AP·nn=1答案:17考點(diǎn)三異面直線之間的距離[例3](1)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線AC與BC1之間的距離是()A.55 B.77 C.66【解析】選D.以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),所以CA=(2,-1,0),BC設(shè)CA和BC1的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),則有n·CA=0n·所以n=(3,6,2),又AB=(0,1,0),所以異面直線AC與BC1之間的距離d=AB·nn=6(2)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE之間的距離是()A.13 B.C.23 D.【解析】選D.如圖,連接AD1,由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知,AB∥C1D1,AB=C1D1,則四邊形ABC1D1為平行四邊形,得BC1∥AD1,因?yàn)锳D1?平面AD1E,BC1?平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,則異面直線BC1與AE之間的距離即為BC1到平面AD1E的距離,也就是B點(diǎn)到平面AD1E的距離,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),B(1,2,0),AD1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1),設(shè)平面AD1E的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·取z=1,得n=2,所以B點(diǎn)到平面AD1E的距離d=|n·AB|n=1解題技法求異面直線間的距離的方法(1)異面直線AB與CD間的距離可用以下公式求解d=|AC·n||(2)求公垂線段所在的向量的坐標(biāo),進(jìn)而求出模.(3)求異面直線之間的距離.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)