【非線性達(dá)芬方程的混沌數(shù)值解探究12000字（論文）】

第III頁共23頁非線性達(dá)芬方程的混沌數(shù)值解研究摘要：混沌理論作為非線性科學(xué)研究熱點(diǎn)之一，在科學(xué)與工程領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。本文首先介紹了非線性方程的概念及性質(zhì)，重點(diǎn)介紹了非線性達(dá)芬方程；其次從不同角度介紹了非線性微分方程的混沌理論；接著簡要介紹了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)編程軟件Maple；最后針對(duì)達(dá)芬方程用數(shù)學(xué)軟件Maple編制了相圖，龐家萊截面圖和時(shí)間歷程圖，在不同參數(shù)下展現(xiàn)了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為，尤其是點(diǎn)態(tài)收斂、周期解、概周期解及混沌動(dòng)力學(xué)，還說明了混沌相圖敏感于初值及系統(tǒng)參數(shù)。關(guān)鍵詞：達(dá)芬方程；混沌；Maple軟件；龐家萊截面；時(shí)間歷程目錄TOC\o"1-2"\h\u4292緒論 210805第1章非線性達(dá)芬方程 5154011.1非線性方程 542611.2非線性方程的分類 6175591.3達(dá)芬方程 725413第2章混沌理論 9111652.1混沌理論簡介 9106502.2混沌的定義 1076822.3混沌特性 12233942.4混沌理論的原則 12251952.5混沌兩個(gè)最根本特征 138960第3章Maple簡介 14262763.1Maple系統(tǒng)簡介 14143993.2Maple系統(tǒng)的組成與優(yōu)點(diǎn) 1410188第4章混沌特性 16159274.1吸引子的仿真 16218044.2龐家萊截面的繪制 1995664.3時(shí)間歷程圖 2219078第5章結(jié)束語 2523300參考文獻(xiàn) 26緒論非線性自然科學(xué)社會(huì)研究這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)是古代我國乃至直到現(xiàn)代整個(gè)世界社會(huì)科學(xué)的一個(gè)前沿研究問題和重要研究發(fā)展熱點(diǎn),它已經(jīng)涉及涵蓋到我國自然科學(xué)、人文學(xué)和社會(huì)管理科學(xué)等諸多研究領(lǐng)域,具有重要的社會(huì)科學(xué)研究價(jià)值和深遠(yuǎn)的歷史哲學(xué)影響方法論內(nèi)涵含義[[]王柳.基于信息?；腟VM混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法及應(yīng)用[D].河北大學(xué),2014.]。因此,本文將從非線性方程的基本概念、非線性方程的性質(zhì)等角度入手，以非線性Duffing方程為例，研究非線性方程，通過對(duì)它的研究得到哲學(xué)啟示，并試圖對(duì)其進(jìn)行探討?；煦鐮顟B(tài)是一種物理運(yùn)動(dòng)方法,屬于非線性流體在動(dòng)力學(xué)中所具有的一種運(yùn)動(dòng)方法。這可能是一種看似不規(guī)則且隨機(jī)的現(xiàn)象[[][]王柳.基于信息?；腟VM混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法及應(yīng)用[D].河北大學(xué),2014.[]胥紅星.一個(gè)多翼混沌系統(tǒng)的分析和同步[J].河南城建學(xué)院學(xué)報(bào),2012,21(04)：60-63.蝴蝶效應(yīng)最早可能是由位于美國洛倫茲于20世紀(jì)60年代早期在整個(gè)美國首次的被發(fā)現(xiàn)。從那時(shí)起，混沌的研究引起了人們的廣泛關(guān)注?；煦缦到y(tǒng)對(duì)細(xì)微變化都很敏感,尤其重要的是對(duì)于基本條件和參數(shù)變化,因此,它被認(rèn)為是非常復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)體系,這也是混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)特特點(diǎn)之一。長期以來,人們從意識(shí)上逐漸形成了一種錯(cuò)誤的概念,認(rèn)為混亂不可控、無法依賴是不可行的。改變同一混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不切實(shí)際的。直到1988年,huber才發(fā)表了第一篇有關(guān)混沌控制的論文,這是對(duì)混亂控制研究的先驅(qū)。直到1988年,huber才發(fā)表了第一篇有關(guān)混沌控制的論文,這是對(duì)混亂控制研究的先驅(qū)。[[]雷亮.基于進(jìn)化算法的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃研究[D].江南大學(xué),2008.]。后來，很明顯，許多系統(tǒng)既不能解釋這些行為模式，也不能解釋其他行為模式，比如天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)的天文三維問題，太陽系幾個(gè)世紀(jì)以來沒有完全遵循牛頓定律，天文學(xué)家一直將土星的衛(wèi)星看作一個(gè)精確得運(yùn)動(dòng)。但事與愿違，它的具體運(yùn)動(dòng)一直無法被天文學(xué)家所準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。天文學(xué)家對(duì)兩顆恒星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)已經(jīng)有了很好的了解，它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已經(jīng)確定，但三顆或更多的恒星，當(dāng)人們就很難精確計(jì)算其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這是一個(gè)已知的三維問題，經(jīng)典牛頓力學(xué)無法解釋。隨著認(rèn)識(shí)的深入，它們之間存在著一種看似隨機(jī)、混沌的系統(tǒng)越來越明顯?；煦缡钱?dāng)今世界熱門的科學(xué)觀點(diǎn)，正引起全世界的關(guān)注。混沌的第一個(gè)概念起源于1975年馬里蘭大學(xué)一篇關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的論文，該論文基于根據(jù)物理定律發(fā)生的事件。自1970年以來，混沌進(jìn)過不斷發(fā)展。成為一個(gè)新的科學(xué)，是20世紀(jì)物理學(xué)上的又一革命[]雷亮.基于進(jìn)化算法的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃研究[D].江南大學(xué),2008.如今,混沌這一現(xiàn)代科學(xué)術(shù)語己經(jīng)逐漸地滲透至各個(gè)領(lǐng)域,成為一門嶄新而又具有前途性的學(xué)科,在各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的研究和應(yīng)用。本文將從混亂的起源簡要來介紹其含義,并闡述前人對(duì)混沌理論的三種不同的定義出發(fā)，了解混沌的多種不同特性，著重介紹混沌的兩個(gè)最根本的特征，并了解混沌理論的原則。宇宙本身就處在一個(gè)混沌的狀態(tài)之中，當(dāng)宇宙中的一小部分發(fā)生了看似無關(guān)緊要的沖突，依然對(duì)另外一部分造成的后果無法進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，這便是混沌理論。說明該系統(tǒng)具有放大功能。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)被放大一個(gè)微小的運(yùn)動(dòng)時(shí),它的影響將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于自身的影響[[]彭雅莉.變換域二維矢量地圖數(shù)字水印算法研究[D].湖南大學(xué),2010.[]彭雅莉.變換域二維矢量地圖數(shù)字水印算法研究[D].湖南大學(xué),2010.Maple是目前世界上最廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和工程的一種計(jì)算機(jī)軟件,它在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的研究應(yīng)用,因?yàn)樗还谝?數(shù)學(xué)家的軟件"之稱[[]楊森.巖石地基中柱下圓形獨(dú)立基礎(chǔ)的力學(xué)特性與破壞模式研究[D].重慶大學(xué),2011.]。全球數(shù)以百萬計(jì)的maple軟件用戶正在使用maple系統(tǒng)中的軟件,在多個(gè)領(lǐng)域,例如模型和數(shù)學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域的眾多問題都被maple軟件中的先進(jìn)技術(shù)所解決。Maple軟件內(nèi)部擁有五千多個(gè)計(jì)算命令，[]楊森.巖石地基中柱下圓形獨(dú)立基礎(chǔ)的力學(xué)特性與破壞模式研究[D].重慶大學(xué),2011.Maple不僅在實(shí)踐中包含了眾多的編程計(jì)算工具,還為初學(xué)者和計(jì)算機(jī)科研人員提供了大量的計(jì)算科學(xué)知識(shí),因而Maple已經(jīng)成為眾多科研人員進(jìn)行研究和計(jì)算所鐘愛的一種科學(xué)計(jì)算方法和工具。無論是簡單的非線性數(shù)字問題還是復(fù)雜難懂的非線性問題,它都可以有效幫助你快速有效解決。Maple不是由單獨(dú)一家公司研發(fā)的，而是有一所大學(xué)和一家公司合力注冊(cè)研發(fā)的一套服務(wù)于數(shù)學(xué)各個(gè)分支的分析型數(shù)學(xué)軟件，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家的軟件”，目前廣泛應(yīng)用于多個(gè)學(xué)科，如利用Maple求解微積分、矩陣、方程組等數(shù)學(xué)問題，處理大量物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，簡化化學(xué)計(jì)算等。不同的軟件用戶都同時(shí)可以自由選擇同時(shí)使用Maple多種產(chǎn)品在單一應(yīng)用環(huán)境下同時(shí)進(jìn)行多功能領(lǐng)域的工程物理系統(tǒng)的工程建模與計(jì)算仿真、符號(hào)計(jì)算、數(shù)值物理測(cè)量、程序設(shè)計(jì)、技術(shù)檔案、報(bào)表技術(shù)展示、算法設(shè)計(jì)研制軟件開發(fā)、外部軟件應(yīng)用程序之間鏈路相互連接等多種應(yīng)用功能,以更好地有效滿足不同應(yīng)用層次的外部應(yīng)用程序需求[[][]陳澤梅.基于橢圓曲線的門限代理多重簽名的研究與實(shí)現(xiàn)[D].中南大學(xué),2009.因此本文將圍繞非線性達(dá)芬方程展開對(duì)其混沌數(shù)值解這一核心進(jìn)行研究探討，主要從一下幾個(gè)方面進(jìn)行論述：第一章通過文獻(xiàn)檢索，資料查詢等方式學(xué)習(xí)研究非線性達(dá)芬方程。主要了解學(xué)習(xí)非線性方程的基本概念及其性質(zhì)，并著重學(xué)習(xí)理解非線性達(dá)芬方程的概念；第二章利用同樣的方法學(xué)習(xí)探討混沌相關(guān)的知識(shí)，主要從混沌的起源、定義及其特性出發(fā)，對(duì)混沌進(jìn)行簡要介紹；第三章利用Maple軟件，對(duì)幾個(gè)非線性達(dá)芬方程進(jìn)行編程，繪制出這些非線性達(dá)芬方程的相圖，并對(duì)這些相圖進(jìn)行觀察探究得到這些非線性達(dá)芬方程的混沌數(shù)值解；第四章通過文獻(xiàn)探索，讓我們得到的混沌圖樣與其他研究者的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比研究，在前人的基礎(chǔ)上對(duì)混沌的理解與定義進(jìn)行研究討論，尋找非線性達(dá)芬方程的混沌數(shù)值解。非線性達(dá)芬方程1.1非線性方程非線性指的是現(xiàn)象或事物間的變化和關(guān)系不成比例、缺乏規(guī)律性，如小的因素可能會(huì)導(dǎo)致大的影響[[]孫競.易變、復(fù)雜與不確定:混沌理論視域下高校就業(yè)指導(dǎo)工作探新研究[J].中國大學(xué)生就業(yè),2020(18):49-53.]。因此自變量和其他自變量之間必然存在的相互關(guān)系而非線性相互作用的線性方程也被稱為非線性相互方程。這類微分方程一般認(rèn)為包含了和與對(duì)數(shù)和的關(guān)系,平方和的關(guān)系,指數(shù)和的關(guān)系,三角形與函數(shù)和的關(guān)系等[[[]孫競.易變、復(fù)雜與不確定:混沌理論視域下高校就業(yè)指導(dǎo)工作探新研究[J].中國大學(xué)生就業(yè),2020(18):49-53.[]劉志偉.兩類非線性方程可解性研究[D].蘭州交通大學(xué),2012.非線性方程的定義：在數(shù)學(xué)上，一個(gè)線性函數(shù)（映射）fx疊加性：fx齊次：fαx在α是一個(gè)有理數(shù)的條件下,可疊加的函數(shù)必須被認(rèn)為是一階齊次函數(shù)(當(dāng)我們討論其線性與否時(shí),齊次函數(shù)應(yīng)該是指一階齊次函數(shù));如果我們fx是一個(gè)連續(xù)的函數(shù),只要α都是實(shí)數(shù),我們就已經(jīng)可以從這個(gè)疊加中推導(dǎo)得到齊次函數(shù)。但是,如果把它推廣到任意一個(gè)復(fù)數(shù)α,疊加就不能再推廣得到齊次,換句話說,在這個(gè)復(fù)數(shù)的世界中,存在一個(gè)滿足疊加但不是齊次的逆線性映射,重疊和齊次這兩個(gè)條件常常都是緊密地結(jié)合在一起的,這就是我們所說的fαx對(duì)于一個(gè)表示為f的方程，如果fx是一個(gè)線性映射，則稱fx為線性方程，反之則稱fx為非線性方程。另外，如果?=0，則稱fx為齊次方程（齊次在函數(shù)和方程上的定義不同，齊次方程指方程內(nèi)沒有和這里fx=C的定義是很一般性的，x可為任何數(shù)字、向量、函數(shù)等，而1.2非線性方程的分類非線性代數(shù)方程代數(shù)方程也被稱為多項(xiàng)式方程,多項(xiàng)式方程的定義是通過產(chǎn)生一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于零的多項(xiàng)式而來實(shí)現(xiàn)的，以x為例。代數(shù)方程的求和解可通過根搜索得到;但是如果它本身就是一個(gè)代數(shù)方程組,則更為復(fù)雜,有時(shí)難以確定任意一個(gè)代數(shù)方程組都是否存在復(fù)數(shù)解。然而,對(duì)于一些實(shí)際上具有有限重新復(fù)解的多項(xiàng)式方程,我們卻找到了解的途徑和方法,能夠充分地理解這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)算行為,代數(shù)方程的發(fā)展和研究過程就是現(xiàn)代代數(shù)幾何的重要組成部分。非線性微分方程對(duì)于非線性微分方程問題，系統(tǒng)的性能有很大的不同，每個(gè)問題的解或分析方法也不同。求解非線性問題最大困難是尋找一個(gè)未知的求解。一般而言,我們是不能使用已經(jīng)解的方法來進(jìn)行拼湊其他能夠滿足微分方程式的未知解。然而,在線性系統(tǒng)中,一組線性獨(dú)立的解可以直接通過疊加原則組合為整個(gè)系統(tǒng)的共同解。例如,滿足dirichlet邊界條件的一維熱傳導(dǎo)問題的求解(即時(shí)間函數(shù)),可以將其寫成幾個(gè)不同頻率的正弦函數(shù)進(jìn)行線性地組合,使得其求解具有很強(qiáng)的彈性和可變化的空間。通常我們就能夠找到非線性微分方程的一個(gè)特解,但由于疊加原理目前還是不太適用,我們就沒辦法用這些特解來構(gòu)造其他新的解。常微分方程：分離變數(shù)法通常被我們用來解決一階常微分方程，尤其是自守方程du例如du通解為u=1x+C，u=0（即通解接近無窮大時(shí)的極限）是該方程式的特解dudx而等號(hào)左邊并不是u的線性映射。二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隱函數(shù)或非初等函數(shù)積分的形式。分析常微分方程常用的方法包括：檢查是否有任何守恒量（特別是在處理哈密頓系統(tǒng)的時(shí)候）;檢查是否有類似守恒量的耗散量（見李亞普諾夫函數(shù)）;利用泰勒展開式作線性近似;利用變數(shù)變換法，改寫成較易分析的方程;分岔理論;微擾法（也可應(yīng)用在代數(shù)方程上）。非線性偏微分方程研究非線性偏微分方程最常用、最基本的方法是變量變換。變換后的方程會(huì)更簡單，甚至可能變成線性方程，有時(shí)變量變換后的方程可能變成一個(gè)或多個(gè)常微分方程（如用變量分離法求解偏微分方程）。無論這些常微分方程是否可解，它們都能幫助我們理解系統(tǒng)的行為。而且在流體力學(xué)與熱力學(xué)中另外一種常見的方法則是采用尺度分析方法對(duì)一般的方程進(jìn)行精確地簡化,使之只能夠適用于具體的邊界情況。舉個(gè)實(shí)際案例,在我們描述一個(gè)圓管內(nèi)一維層流的瞬態(tài)時(shí),我們就可以將非線性navier-stokes方程簡化為一個(gè)線性偏微分方程;在這種情況下,尺度分析為數(shù)學(xué)模型提供了兩個(gè)特殊的邊界條件:一維與層流。分析非線性偏微分方程的另外幾種方法主要包括特征線法、分析常偏微分方程。1.3達(dá)芬方程達(dá)芬方程即一類二階微分方程。通?？蓪憺閤+c其中c為常數(shù)，xgx>0（x?1）。若g(x)是線性函數(shù)，則可用常數(shù)變易法寫出(1.1)的通解表達(dá)式。若g(x)為非線性函數(shù)，則(1.1)的動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜，可以出現(xiàn)混沌狀態(tài)。若c≠0，(1.1)是耗散系統(tǒng)，其龐加萊映射不保面積。x+g(x)=p(t)(1.2)是一保守系統(tǒng)，它的龐加萊映射是保面積的。(1.2)等價(jià)于一特殊的哈密爾頓系統(tǒng)x其中哈密爾頓函數(shù)H(x,y(1.2)可分成三種類型：1.超線性：limx2.半線性：a<3.次線性：limn→∞(1.2)可以有無窮多個(gè)周期運(yùn)動(dòng)和無窮多個(gè)擬周期運(yùn)動(dòng)，可以有無窮多個(gè)不變環(huán)面，也可以出現(xiàn)混沌狀態(tài)。

混沌理論2.1混沌理論簡介混沌理論的起因"混沌"這個(gè)詞最早指的就是在宇宙成立前所有人都存在的混沌狀態(tài)。中國和古希臘的哲學(xué)家們一直堅(jiān)持認(rèn)為宇宙世界起源于混亂,逐漸發(fā)展形成了一個(gè)現(xiàn)代有序的世界[[]陸銘鑫.數(shù)字圖像水印技術(shù)研究[D].西安電子科技大學(xué),2012.][]陸銘鑫.數(shù)字圖像水印技術(shù)研究[D].西安電子科技大學(xué),2012.混沌是利用一定的行為規(guī)則復(fù)制前一階段的對(duì)象而產(chǎn)生的，導(dǎo)致不可預(yù)見的意外后果。所謂“差之毫厘，失之千里”就是這種現(xiàn)象的最好例證。特別是，混沌發(fā)生在一個(gè)快速變化的物體或系統(tǒng)中，該物體在行動(dòng)之初極為單純，但按照一定的規(guī)律不斷變化，產(chǎn)生意想不到后果，這就是我們所說的混沌狀態(tài)。但這種混沌與一般的混沌不同，因?yàn)檫@種混沌我們可以從中推導(dǎo)出一些規(guī)律。雖然混沌最初是用來解釋自然的，但它在人道主義和社會(huì)領(lǐng)域尤其明顯，因?yàn)槭挛锵嗷ノＨ绻墒胁▌?dòng)、生活平緩曲折、教育過程復(fù)雜等。混沌運(yùn)動(dòng)是某一個(gè)確定系統(tǒng)中一種看似不規(guī)則的隨機(jī)現(xiàn)象,它們是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中一種獨(dú)特的物理和化學(xué)運(yùn)動(dòng)方法[[][]付博.對(duì)幾類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及混沌控制[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2009.蝴蝶效應(yīng)與混沌學(xué)二十世紀(jì)六十年代初，美國的洛倫茲在給紐約科學(xué)院的一篇論文中用海鷗拍打翅膀的行為分析了這種影響。此后，他為了更加生動(dòng)形象地闡述該效應(yīng)，他采用了更具有詩意的美麗蝴蝶。原因主要在于是周圍的自然空氣流動(dòng)系統(tǒng)也因此發(fā)生了溫度改變,氣流也因此發(fā)生了微弱的溫度改變,而微弱的自然空氣和其它物質(zhì)通過直接改變周圍的自然空氣或其它氣體系統(tǒng),從而對(duì)周圍環(huán)境變化造成了連鎖反應(yīng),最終直接改變了其它的空氣系統(tǒng),而這一切都是因?yàn)橐恢缓拇蛑岚颍堰@種現(xiàn)象稱為混沌。當(dāng)然,蝴蝶效應(yīng)首先被認(rèn)為是與混沌理論相比較的。這也可以說是對(duì)蝴蝶效果產(chǎn)生真正的反應(yīng)。一個(gè)微妙而又不顯著引人注目的行為會(huì)給人帶來一系列強(qiáng)烈的回報(bào)。近五十年以來，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了許多自然現(xiàn)象。這些自然現(xiàn)象都具有一個(gè)共同的特征,即它們都可以被轉(zhuǎn)化成為一個(gè)單一的數(shù)學(xué)公式,但它們的行為無法預(yù)測(cè)。洛倫茲指出,"蝴蝶效應(yīng)"其實(shí)就是一種簡單的對(duì)流熱,會(huì)造成難以想象的天氣變化20世紀(jì)60年代,美國著名數(shù)學(xué)家斯蒂芬斯梅爾曾經(jīng)指出,在一些事件中物體的運(yùn)動(dòng)和行為都會(huì)發(fā)生規(guī)律性的改變之后,接下來的事件就會(huì)沒有特定的運(yùn)動(dòng)軌跡可以尋,混亂也就是我們無法被觀測(cè)察覺,由于這種混亂的系統(tǒng)本身就具有很強(qiáng)的技術(shù)復(fù)雜性和唯一性,科學(xué)界目前對(duì)"混沌"還未能夠給出一個(gè)全新的、通用性的、準(zhǔn)確定義。[[][]史婕,吳堅(jiān),朱卉喬.混沌時(shí)間序列及MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)[J].滁州學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,13（05）：18-21.混沌理論的背景20世紀(jì)60年代,美國的氣象學(xué)家愛德華諾頓-勞倫提出了一種基于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜和高度復(fù)雜的混沌理論,混沌理論闡述了一個(gè)決策體系會(huì)如何產(chǎn)生的隨機(jī)結(jié)果?；煦缋碚摰淖顐ゴ筘暙I(xiàn)之一就是通過簡單的數(shù)據(jù)模型可以得到清晰的研究結(jié)果,在我們的氣象學(xué)、航空飛行技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域研究中都發(fā)揮了巨大的作用。根據(jù)混沌理論，混沌系統(tǒng)的初始條件很小，并且是不斷擴(kuò)大的，可能導(dǎo)致其未來狀態(tài)的顯著差異。西方有一首民謠很好的解釋了這一理論。一顆馬蹄釘?shù)膩G失，是對(duì)原有狀態(tài)的一個(gè)很小的改變。然而，它的“長期”影響關(guān)系與一個(gè)帝國的生死存亡密切相關(guān)。2.2混沌的定義1975年,混亂一個(gè)名字第一次被約克和李天巖提出。在他們的第一篇文章"周期3意味著混沌"中,他們對(duì)混沌的概念進(jìn)行了定義，如今我們稱作為Li-Yorke定理[[]武光收.基于混沌的視頻圖像加密算法的研究[D].山東科技大學(xué),2009.][]武光收.基于混沌的視頻圖像加密算法的研究[D].山東科技大學(xué),2009.若是一個(gè)在整數(shù)區(qū)間[a,b]上的一個(gè)連續(xù)性自然數(shù)映射,且其中可以包含一個(gè)3周期內(nèi)的點(diǎn),則對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)正整數(shù)都可以包含一個(gè)只有n個(gè)在周期內(nèi)的點(diǎn)。定義2.1[[]邵鵬飛.混沌在圖像加密中的應(yīng)用研究[D].湖南大學(xué),2007.[]邵鵬飛.混沌在圖像加密中的應(yīng)用研究[D].湖南大學(xué),2007.則滿足（1）S不包含周期點(diǎn)。（2）任給X1limt→0limt→0這里ft(g)=f(f(?f(g)))表示（3）任給X1∈S及flim則稱f在S上是混沌的。在這個(gè)定義中,前兩個(gè)極限例子都表明了該子集的每一點(diǎn)都是非常分散且集中的;第三個(gè)極限證實(shí)了子集沒有接近任何一個(gè)周期的點(diǎn),因此該理論本身僅僅假設(shè)其存在一個(gè)非周期的軌道,無論子集是否有非零的測(cè)度,無論什么周期都是穩(wěn)定的。由此,li-yorke定義的最大缺點(diǎn)之一就是集合s的lebesgue測(cè)度值可能被設(shè)定為零,即混亂不可以被觀察,但是對(duì)于s的可以被觀察到的情況,人們很感興趣,那就是對(duì)s的方向有一個(gè)正測(cè)度。根據(jù)li-yorke的概念來定義,1983年,day認(rèn)為對(duì)于混亂體系統(tǒng)來說,應(yīng)該主要有以下三類定義[NOTEREF_Ref2422\h12]：存在所有階段的周期軌道；存在一個(gè)只包括混沌運(yùn)動(dòng)軌道的數(shù)不清集合,有些兩個(gè)運(yùn)動(dòng)軌道不趨向于遙或靠近,而是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)交替地出現(xiàn),每個(gè)運(yùn)動(dòng)軌道不趨向于包括具有一個(gè)循環(huán)周期的軌道,即該集合中不可能存在一個(gè)漸近周期的軌道;第三，混沌軌道的不穩(wěn)定性極高。在這一定義中，周期3混沌，后來被認(rèn)定為薩爾科夫斯基（1964）關(guān)于連續(xù)“周期點(diǎn)”發(fā)生順序理論的特例。定理2.1[[]李銀山,李欣業(yè),劉波.分岔混沌非線性振動(dòng)及其在工程中的應(yīng)用[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2004(02):96-103.]若fx為一個(gè)在線段I上的連續(xù)自映射,且f具有m個(gè)周期的特征點(diǎn)。如果n按sarkovskii次順序大于[]李銀山,李欣業(yè),劉波.分岔混沌非線性振動(dòng)及其在工程中的應(yīng)用[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2004(02):96-103.3,5,7，?,2n+1,2n+3,?2?3,2?5,2?7,?,2?(2n+1),2?(2n+3),?22?3,22?5,22?7,?,22?(2n+1),22?(2n+3),??,?,?,?,?,?,?2m?3,2m?5,2m?7，?，2m?(2n+1),2m?(2n+3),??,?,?,?,?,?,??,在這一定義中，周期3混沌，后來被認(rèn)定為前蘇聯(lián)學(xué)者薩爾科夫斯基（1964）關(guān)于連續(xù)“周期點(diǎn)”發(fā)生順序理論的特例。因此,3為現(xiàn)代sarkowski這個(gè)序列理論中的第一個(gè)數(shù),每個(gè)單位正整數(shù)中的n為0都會(huì)在現(xiàn)代sarkowski這個(gè)序列中首次出現(xiàn),就充分說明了rli-yorke序列理論本身就是現(xiàn)代sarkowski序列理論的一個(gè)重要特例。DevaneyRL在二十世紀(jì)八十年代末給出了混沌的又一種定義：定義2.2設(shè)X為度量空間。若連續(xù)映射f：（1）f是拓補(bǔ)傳遞的；（2）f的周期點(diǎn)在X中稠密；（3）f對(duì)初始條件很敏感。則稱f在X上是混沌的。總之,混沌時(shí)間映射雖然必須具有很強(qiáng)的時(shí)間不可測(cè)量預(yù)測(cè)性和很強(qiáng)的時(shí)間不確定性,但仍然必須具有一定的時(shí)間規(guī)律性,正是因?yàn)榛煦鐣r(shí)間映射對(duì)于初始時(shí)間條件的規(guī)律依賴性強(qiáng)、敏感,我們無法對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。又因拓補(bǔ)的傳遞特性,它不可以被細(xì)分或者簡單地劃分成兩個(gè)彼此之間相互作用的子系統(tǒng)。即便如此,混沌行為中仍然存在著規(guī)則性成分,我們稱之為稠密周期點(diǎn)。2.3混沌特性(1)內(nèi)稟的隨機(jī)性:內(nèi)稟的隨機(jī)性指混亂系統(tǒng)因內(nèi)部的動(dòng)態(tài)隨機(jī)性而導(dǎo)致所產(chǎn)生的各種不規(guī)則行為。這種隨機(jī)性是指來自系統(tǒng)內(nèi)部,是一種以人為本而自發(fā)的活動(dòng),與外部隨機(jī)性的根本來源及其機(jī)制截然不同。內(nèi)部隨機(jī)性的另一個(gè)重要特征就是該系統(tǒng)存在局部的不穩(wěn)定性,說明了混亂對(duì)初值變化的敏感。(2)高度敏感性:對(duì)系統(tǒng)的混亂運(yùn)動(dòng),無論它們處于什么樣的狀態(tài),都應(yīng)該具有相同的物理學(xué)基本特點(diǎn),即對(duì)最初的值極為敏感。這種靈敏度不僅反映在非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，而且受隨機(jī)性的影響很大；這也反映在無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長期行為上。(3)分維特征:混亂具有一種基于分形維數(shù)的特征,即一個(gè)在同相空間中運(yùn)動(dòng)軌道的分布式幾何結(jié)構(gòu)也可以通過分形維數(shù)的方法來進(jìn)行描述。(4)物理系統(tǒng)的普適性:這也即是說當(dāng)一個(gè)物理系統(tǒng)更加復(fù)雜趨于混亂時(shí),其它在物理學(xué)上的特征就更加具有了它的普遍意義。其特殊運(yùn)動(dòng)性能卻也并非因?yàn)樘囟ǖ膭?dòng)力系統(tǒng)或物體運(yùn)動(dòng)動(dòng)力方程而不會(huì)發(fā)生重大差異。(5)標(biāo)度規(guī)則:混亂是一種非周期性的具有無標(biāo)度區(qū)域的非周期性狀態(tài)。在對(duì)進(jìn)行高精度的數(shù)值計(jì)算或者進(jìn)行高分辨率的實(shí)驗(yàn)時(shí),可以找到混亂的有序運(yùn)動(dòng)模型,并且它們具有坐標(biāo)律的性質(zhì)。2.4混沌理論的原則發(fā)展特征也屬于混沌理論，以下是它的三個(gè)原則：1、能量永遠(yuǎn)會(huì)遵循阻力最小的途徑。2、總會(huì)有一個(gè)我們看不到的基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu),阻力最低的路徑絕對(duì)會(huì)受到這個(gè)基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu)的影響。3、這種根本結(jié)構(gòu)不僅可以被發(fā)現(xiàn)，還可以被改變。2.5混沌兩個(gè)最根本特征混沌具有兩個(gè)最根本的特征：第一個(gè)特點(diǎn)就是系統(tǒng)的狀態(tài)具有對(duì)于初始環(huán)境條件的靈敏度和依賴程度。也就是說,初始條件下的微小偏移將隨著時(shí)空推移而呈現(xiàn)出指數(shù)性的增加。[[]周豐,關(guān)治洪.Maple環(huán)境下混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真[J].計(jì)算機(jī)仿真,2004(02)：135-137.][]周豐,關(guān)治洪.Maple環(huán)境下混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真[J].計(jì)算機(jī)仿真,2004(02)：135-137.混亂的第二個(gè)主要特征就是它的一個(gè)吸引子本身具有一個(gè)奇異性和吸引子的結(jié)構(gòu),也叫“隨機(jī)吸引子”[NOTEREF_Ref11386\h15]。它分別位于兩個(gè)相鄰的空間,具有一個(gè)維的分?jǐn)?shù)維。它的原子軌道必須一定是在有限的原子空間內(nèi),其結(jié)構(gòu)形狀非常復(fù)雜,但是這種軌道結(jié)構(gòu)必須能夠具備一定的化學(xué)穩(wěn)定性。隨著宇宙時(shí)間的緩慢流逝,它的最大運(yùn)動(dòng)量和軌跡也從來就不會(huì)彼此發(fā)生任何重疊。具有可以無限制地嵌入成套的自相似引子結(jié)構(gòu),這就是目前奇異放大吸引子最為典型的再次放大引子物理結(jié)構(gòu)特征,即首先再次取出奇異吸引子的一小部分一并繼續(xù)再次放大,它的奇異吸引子導(dǎo)體內(nèi)部結(jié)構(gòu)仍然與原來的奇異吸引子相同,然后從其中再次取出一小部分被再次放大的奇異吸引子一并繼續(xù)再次放大,其引子內(nèi)部結(jié)構(gòu)仍然與原來的奇異吸引子相同,按照這樣循環(huán),無窮無盡。如果這兩種性質(zhì)同時(shí)存在于一個(gè)系統(tǒng)中,則假定系統(tǒng)具有混沌性質(zhì)。

Maple簡介3.1Maple系統(tǒng)簡介Maple是20世紀(jì)80年代在美國和加拿大發(fā)展產(chǎn)生的一種計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件,20世紀(jì)80年代初,滑鐵盧大學(xué)創(chuàng)建了一個(gè)關(guān)于符號(hào)計(jì)算科學(xué)研究的小組,并開始了多年來關(guān)于符號(hào)計(jì)算機(jī)科學(xué)研究的課題,Maple正是該項(xiàng)目的成果之一。Maple是一個(gè)比較受歡迎的通用計(jì)算機(jī)代數(shù)體系其中擁有豐富的數(shù)學(xué)演算功能[[][]葉藝林.用Maple探討一階常微分方程的初等解法[J].景德鎮(zhèn)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020,35（06）：100-104.功能齊全。它的功能包括代數(shù)、幾何、矩陣、微積分、組合學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)與運(yùn)算、圖形學(xué)、集合論等。操作方便。在windows系統(tǒng)上設(shè)置操作模式，命令格式符合windows統(tǒng)一風(fēng)格。程序設(shè)計(jì)命令規(guī)范。命令的主表達(dá)式和子程序名稱基本符合專業(yè)習(xí)慣，方便用戶查閱。輸出結(jié)果內(nèi)容與格式豐富多樣。它所輸出的結(jié)果不僅符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，還便于用戶對(duì)其進(jìn)行分析和保存。3.2Maple系統(tǒng)的組成與優(yōu)點(diǎn)Maple由三部分組成：iris、內(nèi)核和外部庫。c語言中的iris和kernel應(yīng)用非常廣泛,它們只是整個(gè)軟件的一小部分,maple用自己的編程語言代碼來編寫了很多數(shù)學(xué)函數(shù)并將其存儲(chǔ)在外部的函數(shù)庫中。因而一個(gè)用戶可以直接訪問其外部函數(shù)的一個(gè)數(shù)據(jù)庫,使得用戶學(xué)習(xí)變得便捷。此外,用戶還甚至可以在maple的函數(shù)庫中直接添加自己的函數(shù)和進(jìn)程,或者是創(chuàng)建自己的函數(shù)庫,讓不同行業(yè)和領(lǐng)域的人員都能輕松地?cái)U(kuò)大maple的范圍。在掌握了maple之后,他的個(gè)人數(shù)學(xué)處理和計(jì)算能力將會(huì)與maple并行發(fā)展。與其他較為廣泛流行的實(shí)際數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件符號(hào)相比,maplee等具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)符號(hào)計(jì)算推導(dǎo)功能,可以逐步地向?qū)嶋H數(shù)學(xué)應(yīng)用中用戶進(jìn)行符號(hào)理論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和符號(hào)計(jì)算操作過程[[]林挺.Maple軟件在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用[J].電子技術(shù)與軟件工程,2020(22)：24-25.]。Maple的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)在于它可以通過fortran或者c語言直接生成結(jié)果,在fortran或者c語言編程中,別寫比較復(fù)雜的幾何公式會(huì)比較麻煩。但.aple卻能通過對(duì)程序進(jìn)行優(yōu)化來徹底解決該問題。因此,[]林挺.Maple軟件在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用[J].電子技術(shù)與軟件工程,2020(22)：24-25.Maple的優(yōu)點(diǎn)是它有一個(gè)很好的輸出接口，這幾乎符合我們的正常寫作；它的另一大優(yōu)勢(shì)是強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能，這也是它最大的優(yōu)勢(shì)。這使得處理數(shù)字運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算的結(jié)合變得容易。此外，它的軟件只有30兆字節(jié)，易于安裝。所以我們把它放在學(xué)校網(wǎng)站上，直接進(jìn)行調(diào)用。當(dāng)然它也有一些缺點(diǎn)。缺點(diǎn)是市場上沒有教材，而且?guī)椭到y(tǒng)是用英語，這使學(xué)習(xí)變得困難。Maple是其簡單的計(jì)算機(jī)交互、強(qiáng)大的數(shù)值處理功能和無與倫比的符號(hào)推理技術(shù)能力,在許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用程序中脫穎而出;如今,它在眾多領(lǐng)域都擁有了成千上萬的用戶。Maple字符計(jì)數(shù)系統(tǒng)于mathcad、MATLAB等著名軟件的字符處理中也起著關(guān)鍵作用。

混沌特性4.1吸引子的仿真在混亂理論的研究發(fā)展過程中,基于計(jì)算機(jī)軟件的計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)已經(jīng)成為強(qiáng)大的技術(shù)手段,并且它們還可以為我們提供一個(gè)混亂理論體系的所有已知屬性[[][]張靜.混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2008(08):58-59+131.以x+c為例。操作步驟如下：將（4.1）式轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型；令y=xx=y求解微分方程（4.2）；利用Maple軟件繪制圖樣。為了能夠更加生動(dòng)的展現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌特性，我們必須要選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)。為此，我們選取常數(shù)a=-1，b=1，c=0.15，A=0.3以及Ω=1。接下來，假定我們選取的初始條件是y(0)=?0.5,然后，我們可以利用Maple軟件，在Maple環(huán)境中，用以下Maple程序來繪制其混沌圖樣：Maple程序如下：restart:#清零。with(plots):#加載繪圖庫。de1:=diff(x(t),t)=y(t):#標(biāo)準(zhǔn)方程之一。de2:=diff(y(t),t)=-a*x(t)-b*x(t)^3-c*y(t)+A*cos(Omega*t):#標(biāo)準(zhǔn)方程之一。a:=?1:b:=1:c:=0.15:A:=0.3:Omega:=1:#給定參數(shù)。duffing:=dsolve({de1，de2,y(0)=-0.5,x(0)=-1},{x(t),y(t)},type=numeric，method=lsode):#求解微分方程。duffplot:=odeplot(duffing,[x(t),y(t)],0..200,numpoints=8000):#微分方程求解結(jié)果繪圖。duffplot;#繪制相圖分。最后，我們就利用Maple繪制出了此時(shí)非線性達(dá)芬方程得到混沌相圖，如圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s11所示。系統(tǒng)有兩個(gè)吸引子，可以直觀地知道圍繞著他們的系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。[NOTEREF_Ref11386\h15]。這兩個(gè)吸引子所呈現(xiàn)的整體穩(wěn)定性和局部發(fā)散性，也表明了混沌是有一定的確定性規(guī)律但其運(yùn)動(dòng)軌跡具有一定的隨機(jī)性。圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s11混沌相圖接下來，我們對(duì)圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s11中的編程數(shù)據(jù)進(jìn)行一些改變。改變圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s11中的初始值y(0)=?2,x(0)=?4，即將原初始值同時(shí)擴(kuò)大四倍，我們得到圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s12中的相圖。圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s12改變初值后的新混沌相圖通過對(duì)比REF_Ref7272\h圖STYLEREF1\s4–1與REF_Ref7314\h圖STYLEREF1\s4–2，我們可以清晰的看出，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)說明初始值的敏感性時(shí)，很難預(yù)測(cè)那個(gè)。這也符合混沌的靈敏度。在混沌過程職中，因?yàn)閷?duì)初值的敏感性，使得丟失部分信息出現(xiàn)在每次預(yù)測(cè)之中，但是經(jīng)過數(shù)次預(yù)測(cè)后，不斷增加的丟失信息量，使得剩余信息量無法支持正確的預(yù)測(cè)，所以混沌不適合作長期預(yù)測(cè)。但從兩個(gè)圖片中我們也發(fā)現(xiàn)了他們具有相似之處。我們發(fā)現(xiàn)REF_Ref7272\h圖STYLEREF1\s4–1與REF_Ref7314\h圖STYLEREF1\s4–2圖片的形狀就像千層餅，一層一層可以分開，這就說明其符合混沌的分形性。混沌狀態(tài)下無窮多個(gè)層次的自相似結(jié)構(gòu)，也就是分形性?；煦缦鄨D通常是一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，但通過連續(xù)放大可以觀察到自相似的特征。觀察圖4-1與圖4-2的兩條運(yùn)動(dòng)曲線,不難看出它們總會(huì)被局限于某個(gè)區(qū)域,即混亂的吸引子;它也可以說是混亂有界性最佳的體現(xiàn)。從圖4-1與圖4-2中我們可以發(fā)現(xiàn)他們的行為在混亂的吸收區(qū)域內(nèi)經(jīng)過了各種不同的狀態(tài)。在有限的時(shí)間內(nèi),它們的混亂軌道并沒有發(fā)生在吸引子內(nèi)各個(gè)狀態(tài)點(diǎn)附近反復(fù)的經(jīng)歷。而且,他們的軌跡只能局限于一個(gè)有限的空隙,軌道中永遠(yuǎn)都不會(huì)發(fā)生重復(fù)。通過改變初值進(jìn)行對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)這一個(gè)系統(tǒng)的混沌圖樣發(fā)生了明顯的變化，這也恰恰符合了混沌的特性之一——混沌的敏感性。為了進(jìn)一步理解混沌特性，探索混沌的敏感性。在不改變?cè)瓉韉uffing方程的基礎(chǔ)參數(shù)的基礎(chǔ)上，即a=-1，b=1，c=0.15，A=0.3均不改變，初值依舊選取y(0)=-0.5,x(0)=-1,嘗試改變?chǔ)讣磎aple程序中的Omega，進(jìn)而運(yùn)行上述程序，通過對(duì)比不同Ω下的混沌圖樣，探索只改變?chǔ)敢粋€(gè)參數(shù)對(duì)其混沌圖樣的影響，研究混沌的敏感性。圖STYLEREF1\s4-SEQ圖\*ARABIC\s13Ω=0.05時(shí)的相圖圖STYLEREF1\s4-4Ω=0.1時(shí)的相圖圖STYLEREF1\s4-5Ω=0.5時(shí)的相圖圖STYLEREF1\s4-6Ω=1時(shí)的相圖圖STYLEREF1\s4-7Ω=1.5時(shí)的相圖圖STYLEREF1\s4-8Ω=20時(shí)的相圖通過圖STYLEREF1\s4-3、圖STYLEREF1\s4-4、圖STYLEREF1\s4-5、圖STYLEREF1\s4-6、圖STYLEREF1\s4-7與圖STYLEREF1\s4-8的相圖的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，在不改變duffing方程的初值以及方程參數(shù)的前提下，只改變其中的一個(gè)參數(shù)Ω時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)duffing方程所對(duì)應(yīng)的相圖也隨之發(fā)生了明顯的改變，這說明了混沌不僅僅體現(xiàn)在對(duì)其對(duì)初值的敏感，也體現(xiàn)出其對(duì)參數(shù)的敏感。在此理論研究基礎(chǔ)上,結(jié)合了各種相應(yīng)混沌控制算法理論,采用適當(dāng)?shù)目刂扑惴?實(shí)現(xiàn)對(duì)于混沌數(shù)學(xué)系統(tǒng)的物理控制與綜合利用,對(duì)于混沌數(shù)學(xué)系統(tǒng)的物理控制與綜合利用問題進(jìn)行綜合研究分析具有重要指導(dǎo)意義[[]王改云,馬姝靚.典型混沌系統(tǒng)的Matlab仿真實(shí)現(xiàn)[J].中國科技信息,2008(03)：252-253.]。[]王改云,馬姝靚.典型混沌系統(tǒng)的Matlab仿真實(shí)現(xiàn)[J].中國科技信息,2008(03)：252-253.4.2龐家萊截面的繪制由于Duffing體系的相圖還有些混亂，可以采用繪制龐加萊截面的方法得到更為準(zhǔn)確直觀的圖像[NOTEREF_Ref11386\h15]。給出一個(gè)周期外力作用下的Duffing方程：x+a為了繪制系統(tǒng)的龐加萊橫截面，不再需要繪制每個(gè)模擬點(diǎn)，而只需要繪制系統(tǒng)通過固定時(shí)間和空間橫截面的那些點(diǎn)。對(duì)于Duffing系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的周期是2π，所以需要畫出當(dāng)前的橫截面t=0π,t=2π,t=4π時(shí)的點(diǎn)[NOTEREF_Ref11386\h我們先定義微分方程，取μ=1，a=0.1，ω=1，F(xiàn)=50。Maple程序如下：restart:with(plots)：de1:=diff(x(t),t)=y(t):de2:=diff(y(t),t)=-μ*x(t)^3-a*y(t)+F*cos(Omega*t):a:=0.1:μ:=1:F:=50:Omega:=1:取初值x(0)=1,y(0)=1。Maple程序如下：duffing:=dsolve({de1，de2,y(0)=1,x(0)=1},{x(t),y(t)},繪制龐加萊截面圖像，如REF_Ref7755\h圖STYLEREF1\s4–9所示圖STYLEREF1\s4–9龐加萊截面圖像此時(shí).繪出了該Duffing系統(tǒng)在初值為y(0)=1,x(0)=1時(shí)下的龐加萊時(shí)間截面圖，如REF_Ref7755\h圖STYLEREF1\s4–9所示。與完整軌道的相圖相比，我們不難發(fā)現(xiàn)圖像變得更加的清晰。圖形被限制在了一個(gè)很小的區(qū)域可以更好的觀察該系統(tǒng)的解的特性。我們改變其初值y(0)=?1,x(0)=?0.5。如REF_Ref7827\h圖STYLEREF1\s4–10所示：圖STYLEREF1\s4–10y(0)=?1,x(0)=?0.5時(shí)的龐家萊截面圖像為了樣本的多樣性，我們將其初值改為y(0)=0,x(0)=0。如REF_Ref7879\h圖STYLEREF1\s4–11所示：圖STYLEREF1\s4–11y(0)=0,x(0)=0時(shí)的龐家萊截面圖我們知道龐加萊截面是指離散點(diǎn)，就右圖中的空心點(diǎn)；即空心點(diǎn)為龐加萊截面圖像對(duì)應(yīng)的那個(gè)離散點(diǎn)。我們通過REF_Ref31102\h圖4–9、REF_Ref31295\h圖4–10和REF_Ref31948\h圖4–11的對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們?cè)诓桓淖僤uffing方程的前提下，只改變它的初值，不難發(fā)現(xiàn)龐家萊截面圖像中的離散點(diǎn)發(fā)生了變化，即混沌對(duì)初值具有很強(qiáng)烈的敏感。4.3時(shí)間歷程圖通過我們對(duì)Duffing方程的研究，我們利用maple軟件成功編輯繪制出了它的混沌圖樣和龐加萊截面圖像，了解到了duffing方程所具有的混沌特性，了解到了d