《高等數(shù)學》(第三版)教案第四章全

《高等數(shù)學》（第三版）教案第四章全4.1.1微分方程及其通解與特解教學目標： （1）感知并了解微分方程的概念。（2）理解微分方程的階、通解、特解、初始條件等概念；教學重點： 微分方程的基本概念教學難點： 微分方程的通解、特解等概念的理解。授課時數(shù)：1課時教學過程過程備注引言介紹本章學習的主要內(nèi)容。教師講授5′知識回顧已知曲線經(jīng)過點（1，3），曲線上任意點M（x，y）處切線的斜率為2x，求曲線的方程． 設(shè)曲線方程為．根據(jù)導數(shù)的幾何意義，有．積分得． 其中C是任意常數(shù)．由于曲線經(jīng)過點（1，3），故，解得．所以曲線的方程的方程為引導學生回答10′新知識上面的問題中所建立方程的特點是，方程中含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分），其解是函數(shù)．像這樣，含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程叫做常微分方程．本章內(nèi)只討論常微分方程．如，，，，．出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階．上述五個方程中，和是二階微分方程，其余三個是一階微分方程．如果將一個函數(shù)代入微分方程，使其成為恒等式，那么，這個函數(shù)叫做這個微分方程的解．由于，故是微分方程的解．但是C是任意常數(shù)，表示的不只是一個函數(shù)，從幾何意義上看，表示一族拋物線（圖4－1）．因為已知曲線過點（1，3），即曲線滿足條件．將條件代入中，得到C=2．故微分方程滿足條件的解為．實際上，曲線是拋物線族中通過點的一條（圖4－1）．圖4－1若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)（如），這樣的解叫做微分方程的通解．在通解中，利用給定的條件，確定出任意常數(shù)的值的解（如）叫做微分方程的特解，所給定的條件（如）叫做初始條件．一階微分方程的初始條件一般記成的形式，如．二階微分方程的初始條件一般記成，的形式．教師講授與學生回答相結(jié)合25′知識鞏固例1求微分方程滿足初始條件，的特解． 解將微分方程，兩邊積分，得，（1）兩邊再一次積分，得． （2）將初始條件，代入方程（1）和方程（2），得 解得．因此，微分方程滿足初始條件的特解為． 說明型的微分方程，都可以采用方程兩邊同時積分的手段求解．教師講授30′1.試寫出下列各微分方程的階數(shù).(1)； (2)； (3)；(4)2.求微分方程，，的特解.學生課上完成42′小結(jié)新知識：常微分方程的基本概念。45′作業(yè)1.復習微分方程的基本概念；2.完成高等數(shù)學習題集“”。4.1.2可分離變量的微分方程教學目標：（1）掌握可分離變量微分方程的特點；（2）會求可分離變量微分方程的通解和特解。教學重點： 可分離變量微分方程的解法。 教學難點： 可分離變量微分方程的特點。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注探究微分方程可以用方程兩邊同時積分的手段求解．那么微分方程如何求解呢？ 由于方程右邊同時含有x和y，故無法積分，為了達到兩邊可以兩邊同時積分的目的，可以把寫成的形式，將方程恒等變形為．這種變形的作用是分離變量．教師講授5′新知識形如(4.1)的一階微分方程叫做可分離變量的微分方程.其中，都是連續(xù)函數(shù)．這類微分方程可以通過下面的步驟求解（分離變量法）：(1)將方程分離變量；(2)兩邊積分；(3)分別計算兩邊的積分，整理化簡可以得到微分方程的通解．教師講授10′知識鞏固例2解微分方程.解分離變量得，兩邊積分得記，則，所以即，記則原方程的通解為.說明（1）微分方程的通解也可以表示為隱函數(shù)的形式.如上面的通解可以寫作.（2）為了簡單起見，在本章中可以直接將寫成，將寫成，從而省略記的過程；將直接寫成，從而省略記的過程.例3解微分方程，.解分離變量得，兩邊積分得，代入初始條件時，得.故微分方程的特解為.例4解微分方程.解分離變量得，兩邊積分得．故微分方程的通解為.例5求微分方程滿足初始條件的特解.解分離變量得，兩邊積分得.代入初始條件時，得.故滿足初始條件的微分方程的特解為教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成30′練習4.1.21.求解微分方程.2.求解微分方程學生課上完成42′小結(jié)新知識：可分離變量微分方程的特點和解法。45′作業(yè)1.梳理可分離變量微分方程的特點和求解過程；2.完成高等數(shù)學習題集“”4.2.1一階線性齊次微分方程教學目標：（1）理解一階線性微分方程的概念。（2）學會一階線性齊次微分方程的解法。教學重點： 一階線性齊次微分方程的解法。教學難點： 一階線性微分方程的概念的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識形如（4.2）的方程叫做一階線性微分方程.其中，是x的已知函數(shù)，叫做方程的自由項.當，方程（4.2）為一階線性齊次微分方程；當，方程（4.2）為一階線性非齊次微分方程.教師講授5′探究一階線性齊次微分方程為變形為這是可分離變量的微分方程，分離變量得，兩邊積分得.所以一階線性齊次微分方程的通解為.(4.3)教師講授與學生回答相結(jié)合10′新知識解一階線性齊次微分方程可以采用分離變量法，也可以采用公式法，直接應(yīng)用通解公式（4.3）．教師總結(jié)13′知識鞏固例1解微分方程.解1（分離變量法）分離變量，得，兩邊積分，得．故微分方程的通解為． 解2（公式法）利用公式（4.3），這里．所以． 故微分方程的通解為．例2解微分方程.解微分方程變形為，所以，.利用公式（4.3），得，故微分方程的通解為．在教師引領(lǐng)下完成28′練習4.2.1解下列微分方程1.；2..學生課上完成40′小結(jié)新知識：一階線性微分方程的概念，一階線性齊次微分方程的解法。45′作業(yè)完成高等數(shù)學習題集“”。4.2.2一階線性非齊次微分方程教學目標：（1）記住一階線性非齊次微分方程的特點；（2）學會一階線性非齊次微分方程的解法。教學重點： 一階線性非齊次微分方程的解法。 教學難點： 正確區(qū)別可分離變量微分方程和一階線性非齊次微分方程。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注探究下面研究一階非齊次線性微分方程（2）的通解.首先求出方程（2）所對應(yīng)的一階線性齊次微分方程的通解.設(shè)方程（2）的通解為，其中是x的待定函數(shù)，則，于是有，即，兩邊積分得.故所求通解為.因此，一階線性非齊次微分方程的通解為.(4.4)教師講授10′新知識探究過程中的解微分方程的方法叫做常數(shù)變易法.利用常數(shù)變易法解一階線性非齊次微分方程的步驟是：（1）將方程化成的形式；（2）求出對應(yīng)齊次方程的通解；（3）設(shè)方程的通解為，代入方程，確定．也可以直接應(yīng)用公式(4.4)求解，這種方法稱為應(yīng)用公式法．教師總結(jié)15′知識鞏固例2解微分方程.解1(常數(shù)變易法)方程對應(yīng)的齊次方程是，其通解為.設(shè)函數(shù)是已知非齊次微分方程的通解，則，代入原方程有，即.積分得，所以微分方程的通解為．解2(應(yīng)用公式法)這里，，因此，，所以原方程的通解是.例3解微分方程..解應(yīng)用公式求解，這里，．故.所以方程的通解為.例4求微分方程滿足初始條件的解.解方程可以化為．應(yīng)用公式求解．這里，，故．.代入初始條件得.故滿足初始條件的特解是.在教師引領(lǐng)下完成30′練習4.2.2求解下列微分方程1.；2.；3..學生課上完成42′小結(jié)新知識：一階線性非齊次微分方程的特點和解法。45′作業(yè)1.分析一階線性微分方程與可分離變量微分方程的區(qū)別;2.完成高等數(shù)學習題集“”。4.3.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程教學目標：（1）了解二階常系數(shù)線性微分方程及解的結(jié)構(gòu)；（2）理解二階常系數(shù)線性齊次微分方程的一般形式，會求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解和特解。教學重點： 二階常系數(shù)線性齊次微分方程及其通解。 教學難點： 二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解結(jié)構(gòu)的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識二階微分方程比較復雜，我們只研究二階線性常系數(shù)微分方程，即形如(4.5)和.(4.6)的方程，其中，均為常數(shù)．方程(4.5)叫做二階常系數(shù)線性齊次微分方程；方程(4.6)叫做二階常系數(shù)線性非齊次微分方程. 在實際應(yīng)用中，特別是在電學、力學及工程學中，很多實際應(yīng)用問題的數(shù)學模型都是二階常系數(shù)線性微分方程.關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)有如下的三個結(jié)論：結(jié)論1若是方程的兩個解，則對任意兩個常數(shù)、，仍是該方程的解.結(jié)論2若是二階線性齊次方程的兩個特解，且不等于常數(shù)，則是該方程的通解，其中，，是任意常數(shù).結(jié)論3若Y是方程的通解，是的一個特解.則是二階線性非齊次微分方程的通解.教師講授10′探究由前面的結(jié)論1和結(jié)論2知道，解微分方程的關(guān)鍵是找到其兩個特解和，且不等于常數(shù)．考慮到指數(shù)函數(shù)的各階導數(shù)之間只相差一個常數(shù)，方程的解有可能具有指數(shù)函數(shù)的形式．不妨沿著這個發(fā)現(xiàn)做探究．設(shè)(是常數(shù))是方程的解，則，，代入方程中，得，于是有.(4.7)如果是方程(4.7)的根，那么函數(shù)就是方程的解.這樣就建立了微分方程與代數(shù)方程之間的關(guān)聯(lián)．教師講授與學生回答相結(jié)合15′新知識方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的根叫做特征根.特征方程是關(guān)于的一元二次方程.根據(jù)特征根的不同情況，可以得到微分方程的相應(yīng)通解（表4－1）.表4?1方程的特征根與通解特征方程特征根，方程的通解，由此得到，解二階常系數(shù)線性齊次微分方程(其中，均為常數(shù))的步驟為：(1)寫出特征方程；(2)求出特征方程的兩個根，；(3)根據(jù)表（4?1)寫出方程的通解.教師講授20′知識鞏固例1解微分方程.解特征方程為，特征根為，．故方程的通解為.例2解微分方程.解特征方程為， 此時判別式，故方程沒有實數(shù)根，利用求根公式有，即特征根為，.故方程通解是.例3求微分方程滿足初始條件，的特解.解特征方程為，特征根為，故方程通解為． （1）又． （2）將初始條件，代入（1）、（2）得，．所以，方程滿足初始條件的特解為.在教師引領(lǐng)下完成30′練習4.3.11.求下列微分方程的通解（1）；（2）.2.求微分方程滿足初始條件的特解.學生課上完成40′小結(jié)新知識：二階常系數(shù)線性微分方程及解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解。45′作業(yè)1.梳理節(jié)知識內(nèi)容;2.完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)”。4.3.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程教學目標：（1）了解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程及解的構(gòu)成；（2）學會求、、的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解和通解。教學重點： 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解。教學難點： 根據(jù)的不同形式設(shè)出二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一個特解的過程。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注1.的情形新知識下面研究微分方程．(4.8)其中是的次多項式，是常數(shù).可以證明，方程（4.8）具有形如的特解，其中是與同次多項式，而的值與有關(guān)，如表4-2所示．表4-2的形式的值特解的形式不是特征根是特征單根是特征雙根這樣，解微分方程（4.8）的步驟為（1）求出方程的通解；（2）根據(jù)表4－2設(shè)方程（4.8）特解，代入（4.8）確定，從而得到特解；（3）根據(jù)定理3寫出方程的通解．教師講授10′知識鞏固例4解微分方程.解對應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為，解得特征根為，. 所以的通解為.由于，不是特征根，故設(shè).于是，.代入原方程，整理得.比較兩邊同次冪的系數(shù)得，，即，，因此.所以原方程的通解為.例5解微分方程.解對應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為.解得特征根為.所以，齊次方程的通解為.由知，，.由于是特征重根.故設(shè)．于是，.將，，代入原方程，整理得，比較兩邊的同次冪系數(shù)得，，即，.于是.所以原方程的通解為.例6求微分方程滿足初始條件，的特解.解對應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為.解得特征根為，故齊次方程的通解為.這里，.由于不是特征根，故設(shè)，于是，.將，，代入原方程得.比較兩邊的同次冪系數(shù)得，，，即，，.于是.所以原方程的通解為.由初始條件，，得，.所以原方程滿足初始條件的特解是.在教師引領(lǐng)下共同完成30′2.或的情形新知識可以證明，微分方程或的特解的形式為，（4.9）其中與是同次多項式，的取值與有關(guān)，如表4-3所示.表4-3的形式的值特解的形式或不是特征根當是特征根這樣，解微分方程（4.9）的步驟為（1）求出方程的通解；（2）根據(jù)表4－