滬科版初三數(shù)學知識點總結

初三數(shù)學知識點總結

一、二次函數(shù)概念：

1.二次函數(shù)的概念:一般地，形如>=依2+法+<?（4,b,C是常數(shù)，。/0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)。片0,而6,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實

數(shù).

2.二次函數(shù)>=依2+法+C的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，尤的最高次數(shù)是2.

⑵a,6,c是常數(shù)，。是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：y=aY的性質:

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨

a>0向上(0,0)y軸

x的增大而減??；x=0時，y有最小值0.

%>0時，y隨尤的增大而減??；x<0時，y隨

a<0向下(0,0)y軸

x的增大而增大；尤=0時，y有最大值0.

2.）=幺2+。的性質:

上加下減。

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨

a>0向上（0,C）y軸

x的增大而減??；x=0時，y有最小值c.

x>0時，y隨x的增大而減小；》<0時，y隨

a<0向下(O,c)y軸

x的增大而增大；龍=0時，y有最大值c.

3.y=a（x-h）2的性質:

左加右減。

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x>/z時，y隨X的增大而增大；x</z時，y隨

a>0向上（〃，0）X二h

尤的增大而減小；x=/z時，y有最小值0.

%>為時，y隨工的增大而減??；xv/z時，y隨

a<0向下（〃，0）X=h

x的增大而增大；x=九時，y有最大值0.

4.y=+4的性質:

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x＞"時，y隨X的增大而增大；x＜/7.時，y隨

a>0向上(h,k)X=h

x的增大而減??；x=/z時，y有最小值上.

時，y隨x的增大而減小；xv/z時，y隨

a<0向下(肌k)X=h

x的增大而增大；x=%時，y有最大值左.

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng)=a（x-〃）?+%,確定其頂點坐標（〃，左）;

⑵保持拋物線、=依2的形狀不變，將其頂點平移到他，大）處，具體平移方法如下：

向上（左＞0）【或向下（尢＜0）】平移肉個單位------

y=aj^-----------------------------------------------------Ay=ax2+k

向右（八＞0）【或左①＜0）】

向右①【或左供＜】

向右（/?0）【或左他＜0）】平移陽個單位＞0）0）

平移同個單位平移陽個單位

向上（k＞0）【或下伏＜0）】

平移同個單位

y=a(x-h)^向上（Q0）【或下依＜0）】平移肉個單位Hy=a（x"）2+左

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎上“人值正右移，負左移；左值正上移，負下移”.

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

方法二：

⑴y=ax?+人九十。沿丁軸平移:向上（下）平移加個單位，j;=ax2+bx+c

y=ax1+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m^

(2)y=+b%沿軸平移：向左(右)平移機個單位，y=。%2+Zzx+c變成

y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

四、二次函數(shù)y=〃（%-力）2+上與y=以2+力x+c的比較

從解析式上看，y=a（%—切2+左與y=依2+樂+。是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前

b\4tzc-b2.a...b,4ac—b2

者，即y=ax-\---+--------,其中/z=——，k=---------

2a4。la4。

五、二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=o%2+6x+c化為頂點式y(tǒng)=°（尤-7/）2+左，確定其開口方向、

對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸

的交點（0,c）、以及（0,c）關于對稱軸對稱的點（2寸c）、與x軸的交點a,0）,（尤2,0）（若與無軸

沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數(shù)片/+云+°的性質

1.當°＞0時，拋物線開口向上，對稱軸為無=-2,頂點坐標為1-幺，4改-」］.

2a（2〃4a）

當尤＜__L時，y隨x的增大而減??；當彳＞_2時，y隨X的增大而增大；當犬=_2時，y有最小

2a2a2a

2.當a＜0時，拋物線開口向下，對稱軸為尤=-2,頂點坐標為（一2,4",一、］.當彳＜-2時，y隨

2a（2a4aJ2a

尤的增大而增大；當x＞-2時，y隨尤的增大而減?。划敓o=-2時，y有最大值細二久.

2a2a4a

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，awO）；

2.頂點式：=a（x-h）2+k（a,h,左為常數(shù)，awO）；

3.兩根式：y=々（%-%）（%-%2）（QW0，%，馬是拋物線與不軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即〃—4QCN0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式

的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系

1.二次項系數(shù)。

二次函數(shù)＞=依2+廄+。中，。作為二次項系數(shù)，顯然0大0.

（1）當。＞0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之。的值越小，開口越大；

⑵當。＜0時，拋物線開口向下，。的值越小，開口越小，反之。的值越大，開口越大.

總結起來，。決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，問的大小決定開口的大小.

2.一次項系數(shù)6

在二次項系數(shù)。確定的前提下，6決定了拋物線的對稱軸.

⑴在。＞0的前提下，

h

當6＞0時，-一＜0,即拋物線的對稱軸在y軸左側；

h

當6=0時，=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

h

當6<0時，——>0,即拋物線對稱軸在y軸的右側.

2a

⑵在。<0的前提下，結論剛好與上述相反，即

A

當6>0時，-一>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側；

2a

h

當b=0時，=即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

A

當6<0時，-2<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側.

2a

總結起來，在。確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.

b

出?的符號的判定：對稱軸x=——在y軸左邊則ab>0,在y軸的右側則aZ?<0,概括的說就是

2a

“左同右異”

總結：

3.常數(shù)項c

⑴當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

⑵當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；

⑶當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負.

總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.

總之，只要。，6,。都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根

據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂點式；

3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關于x軸對稱

y=ax2+灰+(;關于天軸對稱后，得到的解析式是y=-依2-fcv-c；

y=a(x-h)2+左關于無軸對稱后，得至！J的解析式是y=-k-

2.關于y軸對稱

y=ax2+bx+c關于y軸對稱后，得至!］的解析式是y=依?—法+c；

y=a(x-h)2+k關于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；

3.關于原點對稱

y=4+b%+c關于原點對稱后，得至|J的解析式是y=一加+灰一。；

y+上關于原點對稱后，得至IJ的解析式是y=—a（x+〃）2一左；

4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180。）

力2

y=依2+版+。關于頂點對稱后，得到的解析式是y=_加2x+c---；

2a

y=a（x—M+左關于頂點對稱后，得至U的解析式是y=-〃（％-//）2+%.

5.關于點（m,九）對稱

y=a[x-Jif+k關于點（m,〃）對稱后，得至U的解析式是y=—〃（工+力一2"?）2+2〃一左

根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此同永遠不變.求

拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原

拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，

然后再寫出其對稱拋物線的表達式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與無軸交點情況）：

一元二次方程依2+法+c=o是二次函數(shù)y=aY+"+c當函數(shù)值y=0時的特殊情況.

圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當△=/??-4ac>0時，圖象與無軸交于兩點A（X],0）,8（無2，。）（占#/），其中的不，%是一元二次

J/一4。。

方程辦2+bx+c=0（a片0）的兩根.這兩點間的距離48=博-占卜

1?1

②當△=（）時，圖象與x軸只有一個交點；

③當A<0時，圖象與x軸沒有交點.

r當a>0時，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實數(shù)，都有y>0；

2'當a<0時，圖象落在尤軸的下方，無論尤為任何實數(shù)，都有y<0.

2.拋物線y=o?+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0,c）；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結：

（1）求二次函數(shù)的圖象與無軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)丁=依2+灰+。中°,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號

判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；

⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一

個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式“/+法+c(awO)本身就是所含字母尤的二次函數(shù);

下面以。＞0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：

A>0拋物線與無軸有二次三項式的值可正、一元二次方程有兩個不相等實根

兩個交點可零、可負

A=0拋物線與X軸只二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根

有一個交點

A<0拋物線與無軸無二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.

交點

二次函數(shù)圖像參考：

Iy=3(x+4)2々2

y=2x2+2

\/y=2x2

...1...

11

''；=-2X2'y=-2(x-3)2

y=-2x2

、函數(shù)的應用

'剎車距離

二次函數(shù)應用,何時獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以X為自變量的二次函數(shù)丁=（相-2）/+根2-根-2的圖像經(jīng)過原點，則加的值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查

兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù),=履+》的圖像在第一、二、三象限內，那么函數(shù)y=+法—1的圖像大致是（）

3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經(jīng)過（0,3）,（4,6）兩點，對稱軸為x=3,求這條拋物線的解析式。

3

4.考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：

3

已知拋物線y=以2+力火+。（aWO）與x軸的兩個交點的橫坐標是一1、3,與y軸交點的縱坐標是一萬

（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1⑴二次函數(shù)＞=加+法+。的圖像如圖1,則點〃（瓦￡）在（）

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=l

和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關系，是解決問題的關鍵.

例2.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,0)、(xi,0),且l〈x《2,與y軸的正半軸的交

點在點(0,2)的下方.下列結論：①a〈b〈0；②2a+c>0；③4a+c<0；?2a-b+l>0,其中正確結論的個數(shù)為()

A1個B.2個C.3個D.4個

答案：D

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線

x=2,則拋物線的頂點坐標為()

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)

答案：C

例4、如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合.設

x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ynR

(1)寫出y與x的關系式；

(2)當x=2,3.5時，y分別是多少？AD

(3)當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，|\

三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、\

對稱軸.\

例5、已知拋物線y=°*x2+x-』.

22

(1)用配方法求它的頂點坐標和對稱軸.

(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.

【點評】本題(1)是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的

關系.

例6、”己知函數(shù)y=gx?+bx+c的圖象經(jīng)過點A(c,—2),

求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。

(1)根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，

并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。

(2)請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。

點評：對于第(1)小題，要根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結

論”函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經(jīng)過點A(c,—2)”，就可以列出兩個

方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題，只要給

出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添

加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點

的坐標等。

1,

［解答］(1)根據(jù)y=］廠+bx+c的圖象經(jīng)過點A(c,-2),圖象的對稱軸是x=3,

(3,-金)

1,c

—c2+bc+c=-2,

2

得《-1=3

2.1，

2

b=-3,

解得4

[c=2.

所以所求二次函數(shù)解析式為丁二^--3x+2.圖象如圖所示。

=

（2）在解析式中令y=0,得/x?—3x+2=0,解得X]=3+J5,x23—V5.

所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+右,0）”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是

（3-V5,O）.

令x=3代入解析式，得y=—』，

2

所以拋物線丁=3——3x+2的頂點坐標為（3,—g）,

所以也可以填拋物線的頂點坐標為（3,-g）等等。

函數(shù)主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；

將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與相關知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點

P,使矩形PNDM有最大面積.

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考查學

生的綜合應用能力.同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間.

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關系

如下表：

X（元）152030???

y（件）252010???

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

[15k+b=25,

【解析】（1）設此一次函數(shù)表達式為丫=1?+也貝必解得k=-l,b=40,即一次函數(shù)表達

2k+b=20

式為y=-x+40.

（2）設每件產(chǎn)品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=（x-10）（40-x）=-X2+50X-400=-（X-25）2+225.

產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元.

【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數(shù)在“當

某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；（2）

問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

二次函數(shù)對應練習試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=4x—7的頂點坐標是（）

A.（2,-11）B.（-2,7）C.（2,11）D.（2,-3）

2.把拋物線y=-2V向上平移1個單位，得到的拋物線是（）

A.y=-2(x+l)2B.y=—2（x—I）2C.y=—2x2+1D.y=—2x2—1

k

3.函數(shù)y=kx2一人和)=—（左wO）在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的（）

X

斗土

A

4.已知二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c（awO）的圖象如圖所示,則下列結論：①a,b同號;②ly

攵值相等;③4〃+Z?=0④當v=-2時，x的值只能取0.其中正-A-7-A

當x=l和4=3時，函婁一...............——■（；U/

確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.已知二次函數(shù)_y=奴？+bx+c（aw0）的頂點坐標（-1,32）及部分圖象（如圖），“

由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+云+。=0的兩個根分別是石=1.3和々=；J彳

（）

A.—1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3

6.已知二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象如圖所示，則點（呢,"。）在（y

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2

7.方程2x—d=—的正根的個數(shù)為()

x

A.0個B.1個C.2個.3個

8.已知拋物線過點A⑵0),B(-1,0),與y軸交于點C,且0C=2.則這條拋物線的解析式為

A.y—x~~x—2B.y=—x~+x+2

C.y-x2-x-2^y--x2+x+2D.y--x2-x-2^y=x2+x+2

二、填空題

9.二次函數(shù)y=x2+6x+3的對稱軸是龍=2,則Z?=o

10.已知拋物線y=-2(x+3)2+5,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是.

11.一個函數(shù)具有下列性質：①圖象過點(一1,2),②當大<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；

滿足上述兩條性質的函數(shù)的解析式是(只寫一個即可)。

12.拋物線y=2(x-2)2-6的頂點為C,已知直線y=—日+3過點C,則這條直線與兩坐標軸所圍成的

三角形面積為o

13.二次函數(shù)y=2必一4犬-1的圖象是由y=2x2+6x+c的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位

得到的，則b=,c=?

14.如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地

方，橋的高度是(口取3.14).

三、解答題：

15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3=0,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點為(0,-g).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；0

⑵當x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為o?

(3)當x在什么范圍內變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？AZ-------丁-------’8

第15題圖

16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關系式=（0<t<2）,其中重

力加速度g以10米/秒2計算.這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？

（2）在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.

17.如圖，拋物線+bx-c經(jīng)過直線y=x-3與坐標軸的兩個交

點A、B,此拋物線與x軸的另一個交點為C,拋物線頂點為D.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S^pc：5AA⑺=5：4的點P

的坐標。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行

結算，未售出的由廠家負責處理）.當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤，

準備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5

噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設每噸材料售價為x（元）,

該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）.

（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；

（2）求出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？

（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大.”你認為對嗎？請說明理由.

相似三角形基本知識

知識點一：放縮與相似形

1.圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。

2.把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形,或者就說是相似性。

注意：⑴相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關。

⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

⑶我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的.

⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例一一全等形.

3.相似多邊形的性質:如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊

的長度成比例。

注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的長度的比值是1.

知識點二：比例線段有關概念及性質

（1）有關概念

1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比是a：b=m：

a_m

n（或?！保?/p>

2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。

說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。

ac

3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如Z=Z

a_c

4、比例外項：在比例6d（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外項。

a_c

5、比例內項：在比例石一萬（或a：b=c：d）中b、c叫做比例內項。

a_c

6、第四比例項：在比例了一不（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。

a_b

7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為廠￡（或a:b=b:c時,我們把b叫做a和d的比

例中項。

8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即

-=-（或a：b=c：d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單

bd

位要統(tǒng)一,單位不統(tǒng)一應先化成同一單位）

（2）比例性質

ac77

————<^>ad—be

1.基本性質：bd（兩外項的積等于兩內項積）

2.合比性質：y=-=>—=（分子加（減）分母，分母不變）

baba

注意：實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間

b-ad-c

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：一ci二—ca"c

bda-bc-d

^a+bc+d

3.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.）

acem,.八、a+c+e-\-----1-ma

如果一=一=一=???=一(z7b+d+fH-----i-awO),那么---------------------=—

bdfnb+d+f-----\-nb

注意：⑴此性質的證明運用了“設左法”，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法.

（2）應用等比性質時，要考慮到分母是否為零.

（3）可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質也成立.

知識點三：黃金分割

1）定義:在線段AB上，點C把線段分成兩條線段AC和BC64c>BC）,如果絲=—,即AC2=ABxBC,

ABAC

那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點，AC與的比叫做黃金比。

J5-1

其中AC=-------AB心0.618ABo

2

2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.

BD=-AB

作法：①過點B作BDLAB,使2；

②連結AD,在DA上截取DE=DB；

③在AB上截取AC=AE,則點C就是所求作的線段AB的黃金分割點.黃金分割的比值為:

AC_BC

―一廠.（只要求記住）

3）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。

知識點四：平行線分線段成比例定理

（一）平行線分線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比.

例.已知

ABDE7

可得一=——或

BCEF

2.推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例.

AF）AZ7RDprAF）AZ7

由DE〃BC可得：巴=2士或叱=f*或任=仝.此推論較原定理應用更加廣泛，條件是平

DBECADEAABAC

行.

3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例.那么這

條直線平行于三角形的第三邊.（即利用比例式證平行線）

4.定理：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對

應成比例.

5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另

一條直線上截得的線段也相等。

★★★三角形一邊的平行線性質定理

定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應成比例。

幾何語言VAABE中BD〃CE

AB_AD上=上

.?.比=正簡記：

ABADBCDE±_±工—1

歸納：ACAE和ACAE推廣：類似地還可以得到全全和全全

★★★三角形一邊的平行線性質定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.

★★★三角形一邊的平行線的判定定理

三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線

平行于三角形的第三邊.

三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三

邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

★★★平行線分線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理：

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.

DEBC_EFABDE

用符號語言表示：AD〃BE〃CF,—

BC

2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所

截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.

_AD\BECF

用符號語言表示：\^AB=BC.

DE=DF

重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.

重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.

知識點三：相似三角形

1、相似三角形

1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。

幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似。

兩個等腰直角三角形一定相似。

兩個等邊三角形一定相似。

兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。

補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；

2）性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。

3）相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。

如△ABC與△DEF相似，記作凡相似比為k。

4）判定：①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。

②三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩

個三角形相似.簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）

判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾

角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似.

判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這

兩個三角形相似.簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似.

直角三角形相似判定定理：

①.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

②.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三

角形也相似。

相似三角形的性質

①相似三角形對應角相等、對應邊成比例.

②相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比（對應邊的比）.

③相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.

2、相似的應用：位似

1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖

形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。

需注意：①位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不

一定是位似圖形。

②兩個位似圖形的位似中心只有一個。

③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。

④位似比就是相似比。

2）性質：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質。

②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似

中心的距離等于位似比（相似比）。

③每對位似對應點與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應線段平行。

直角三角形的性質

1、直角三角形的兩個銳角互余

可表示如下：ZC=90°=>NA+NB=90°

2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°

可表示如下：[=>BC=，AB

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