自動控制原理考試復(fù)習(xí)筆記-本科生總結(jié)

自動控制原理復(fù)習(xí)總結(jié)筆記

一、自動控制理論的分析方法：

(1)時域分析法；

(2)頻率法；

(3)根軌跡法;

(4)狀態(tài)空間方法；

(5)離散系統(tǒng)分析方法；

(6)非線性分析方法

二、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

(1)解析表達：微分方程；差分方程；傳遞函數(shù)；脈沖傳遞函數(shù)；頻率特性；脈

沖響應(yīng)函數(shù)；階躍響應(yīng)函數(shù)

⑵圖形表達：動態(tài)方框圖(結(jié)構(gòu)圖)；信號流圖；零極點分布；頻率響應(yīng)曲線；

單位階躍響應(yīng)曲線

時域響應(yīng)分析

一、對系統(tǒng)的三點栗求：

(1)必須穩(wěn)定，且有相位裕量Y和增益裕量

(2)動態(tài)品質(zhì)指標(biāo)好。tp、4、o%

⑶穩(wěn)態(tài)誤差小，精度高

二、結(jié)構(gòu)圖簡化——梅遜公式

例1、

解：方法一：利用結(jié)構(gòu)圖分析：

E(s)=Rs)—區(qū)(s)+y(s)]=鳳s)—y(5)]-X、(s)

方法二：利用梅遜公式G(s)=0-----

A

NMQ

其中特征式△=1一?，+?4一也L/+……

Z=11M=1d,ej=\

式中：為所有單獨回路增益之和

為所有兩個互不接觸的單獨回路增益乘積之和

^LdLeLf為所有三個互不接觸的單獨回路增益乘積之和

其中，Pk為第K條前向通路之總增益；

△*為從△中剔除與第K條前向通路有接觸的項；

n為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)目

對應(yīng)此例，則有：

通路：P,=G,G2,A,=1

—

特征式：A=1—(G]G,—G|G3)=1+G,G-,+G|G3

則：——也—

R(s)1+G]G2+G]G?

例2:[2002年備考題]

方法二：用梅遜公式

△=1-[-G3G2“|-G|G2G3兄-G4G3%]+。

通路：=G5G6GIG2G3,A]=1

P2=G5,A2=I+G3G2H1P3=G5G6G4G3,A3=1

y(s)PA+2&+鳥4-

于是：MS)△

三、穩(wěn)態(tài)誤差

(1)參考輸入引起的誤差傳遞函數(shù)：旦口=——?——

R(s)\+G.G2H

擾動引起的誤差傳遞函數(shù)：黑=-一網(wǎng)一

N(s)\+G,G2H

(2)求參考輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差氣,時?？梢杂肒p、K、,、K“疊加，也可以用

終值定理：lims.EG)

5->0r—

(3)求擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差%時，必須用終值定理：lims?EN(s)

5->0

(4)對階躍輸入：K?=limGo(s),

如小)=a,1(f),則R(s)=%=a

s1+Kp

(5)對斜坡輸入：K”lims-G)(s),

.v->0

b

如則H(s)=g,e:

ssr

(6)對拋物線輸入：K“=lims2.Go(s),

1Sf0

如也）=；，/,則E（s）=W，。，=小

LSA〃

例3：求：4"，令N（s）=0,求斗&,令R（s）=0

R[s）N[s）

解：結(jié)構(gòu)圖化簡：

繼續(xù)化簡，有:

當(dāng)N（s）=0時，求得型=。。。；當(dāng)R（s）=0時，有

…丫($)

求得

N(s)

例4：

令")=0,求鼎,令稱)=0,求晶

為了完全抵消干擾對輸出的影響，則Gv(5)=?

解：求用用梅遜公式:

火(S)

"1,A|=1+KG|G2P2=G,GV,A2=1

△=1-[-KG|G?-KG』=1+KG,G2+KG1

則：需=今就同理求得爵…

若完全抵消干擾對輸出的影響，則干擾引起的輸出應(yīng)該為零。

即》或故綱J+KGG+GG、所以GJ+KGG

N(s)/?(.v)1+KGd+KGiG,

例5:

其中G(s)=M%，G，(s)=YF,r(t)和n⑴分別是參考輸入和擾動

S"2(5+2)

輸入。

⑴求誤差傳遞函數(shù)G,e(s)=黑和Gne(s)=;

(2)是否存在n1e0和n2,0,使得誤差為零？

⑶設(shè)r(t)和n(t)皆為階躍輸入，若誤差為零，求此時的n1和n2

解：

①*$)=需=-'*(，)=患=&，Ms)為負]

②r(t)=t,要求%,=0.則系統(tǒng)應(yīng)為II型系統(tǒng)，那么n1+n2=2.

（3）r（t）=1（t）,n（t）=1（t）,要求s=0,則n1+n2=1

E（s）K（s+4）

因為如,則

N（s）s（s+4）（s+2）+K（s+l）

e=lims-E（s）=lims-"7V（.v）=lims-?—=4

1

0.y->0N（s）STON（s）s

E（s）_Ks（s+4）

而事實上:

N（s）s（s+4]s+2）+K（s+1）

e-lims-E（s）-lims-.N（5）=lims-旦，?—=0

s->0s->0N（s），s->0'N（s）s

可見積分環(huán)節(jié)在G/s)部分中，而不在G2(s)中。

故n1=1,n2=0。就可以實現(xiàn)要求

例6:如圖，當(dāng)=sin（，+15。）_2cos?_20。）時，求穩(wěn)態(tài)輸出

解：應(yīng)用頻率法：

0（詞二.§，則

JS+7

Y（s）

5----------------?

,S'-1-

55icca

。(/1)=Z-tan'-,^3)=-^Z-tan^

J+7-75O

四、動態(tài)指標(biāo)

⑴二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形：

y（s）=M

R（s）S?+2弛+修

(2)cos0-,e越大，&越小

(3)t,.=—^=,tp=-^=,學(xué)(4=5%或2%)

①n)[-30)nJl—-物n

例7：如圖，要求%=0.1s,<r%=30%,試確定參數(shù)K,To

R(s)+-Y(s)

----------------------------------?K--------------------?

_s(7X+l)

解?SKKITo；

2222，

R(s)TS+S+KS+S/T+K/Ts+2^a)ns+CDn

則。2^a)-—o由乙,=---=0.1,

T丁P以人常

例8:

求：①選擇&,K,,使得。％W20%,ts=1.8秒(△=±2%)

②求K。、K,、Ka,并求出山)=l(f)+f時的穩(wěn)態(tài)誤差

R(s)+c+cIY(s)

LA廠￡----------------?1------------------r-

_產(chǎn)

Ktsv

4)____紐一-___，2

頻率法

一、基本概念:

G(“=〃。=G(/G)，輸入是正弦信號，穩(wěn)態(tài)輸出。如：r(/)=R|Sin卬，

(

則了⑺=Risingt+N

1+G(/?)1+G(,M)

二、①慣性環(huán)節(jié)

\G(J^=iK--?

Ts+ly!\+T2co2

NG(池)=-tan-1(Tty),0°--90°

②G(.汝)=-iK，

s(Ts+l)a)yl\+T2(o2

NG(/力-90°-tan-'(T<y),

則：69:0f+8,

。(①)一90。——180。，A(&}oof0

注意：助=g=g

K

③(小+lX/s+l)(如圖3)5H

A(69)Z(b(a))=——/二~.-Z一90°-tan-17]69-tan_1T^co求w1。因

。（他）=—180。，故

-1-11-1

-90°-tanT^ty-tanT2a)=-180°=>tan'7j(y+tanT2CD=90°

兩邊取正切：+,必=oo=><y

\-Tia）T2a）

K(TS+1)

⑤,其中（>T>T,（如圖5）

s(7>+I，4+1)2

⑥增益裕量：K=—J—r,相位裕量：7=180。+9（牝），如圖6

A（（yJ

1/T1-40dB/se5-^1/T②

-60dB/sec

K（益+1）

T1>T2K=10,作出波德圖

m+i）（1s+i）f

例2：

求：(1)寫出開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)

(2)計算系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量

(3)做出G0(s)的Nyquist曲線，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

K（2s+1）

解：①G0（s）=

.r（0.1.v+l）

可見圖中。，=2,因為幅頻特性曲線在w1=0.5和w2=10時發(fā)生轉(zhuǎn)折，顯然w=2

時，曲線只在w1=0.5發(fā)生轉(zhuǎn)折，而未到w2=10o故w2=10不發(fā)生作用，所以

當(dāng)⑵=CK=I,故G（s）=湍為

-1_1

②相位裕量：/=180°+^（6yc）=tan4-tan2=

因為tan-GoOs）=180。，則

-1_1

tan物=tan0.\a）x=2coi=0.\cox=q=0=K&=oo

三、Nyquist判據(jù)

Z為閉環(huán)右半平面根數(shù)，P為開環(huán)G0(s)右半平面根數(shù)，N為G0(s)包圍7圈數(shù),

順時針為正，逆時針為負。當(dāng)符合Z=P+N是系統(tǒng)穩(wěn)定。其中ZR

「、K（外+1）/

例3：

解：奈氏曲線如下圖。N=2,P=0,Z=N+P=2/0,故不穩(wěn)定。

例4：GO（S）=F^~~如圖：N=2,P=0,Z=N+P=2/0,故不穩(wěn)定。

52（75+1）

例4凰

例5:1+G0(s)=s4+2.J+5.d+6s+10=0,判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

分析：判斷穩(wěn)定性，用勞斯判據(jù)：

①相鄰系數(shù)必須為正，不能缺項

如：

l+Go(s)=7：J+./+K=0。顯然缺s項，故不穩(wěn)定。

②勞斯陣列第一列全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個負數(shù)，則變號2次，即系

統(tǒng)有2個有根，不穩(wěn)定。

③系統(tǒng)如果與虛軸有交點，則勞斯陣有一行全為。，此行的上一行為輔助多項

式，由輔助多項式可求出與虛軸的交點坐標(biāo)。如

?+3s2+25+6=0,勞斯陣為：

:120

./：360

則由于一行全為零。則系統(tǒng)與虛軸相交。輔助多項式為:

51:000

5°:6

3s2+6=0=.*2=±V2J,則與虛軸的交點為土行人

解：勞斯陣：

541510

260

15110

-_

226_20_

s—-1=2---=10,可見系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右根。

2620

.-210-20

51------=-4------=0

例6:1+G（5）=54+253+5s2+105+20=0,

解：勞斯陣:

1520

2100

0（￡）20

210因為此處。不能往下計算，換成

s°20

40

當(dāng)￡->0且￡〉(時，，10——<0,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

￡

0000

例7:〈2002年備考題〉單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)=J、

S(5+100)

要求：①畫出對數(shù)幅頻特性，求0,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

②加入矯正裝置，使g擴大一倍，求矯正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)和相位裕量。

解：①開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)由所給的零極點形式化成時間常數(shù)形式：

100

GO(S)=F-------由作圖可得g=10,由勞斯判據(jù)可知，

(0.015+1)

0.00153+52+100=0,缺項，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

0.01x10

也可由/6。")=-180°-tan-1

~F=-190°,

o

/=180°+ZG(j?r)=-10,判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。

也可由零極點判斷〈畫圖〉，不穩(wěn)定。

100(5/6),+1)

②加入矯正裝置是-!-s+i即G0'(s)=

52(0.015+1)

NGo'(s]<0-20=-180°+tan-1--tan-10.01x20

-160°

(w1可由圖中按比例讀出)，則/=180°+ZG(jco'.

20°o

例8：<2001年備考題〉

求：①系統(tǒng)阻尼比匕=0.5時，降,=?

②K-0時，求a%,小ts(△=±2%)

解：①Ms)=4(1+K.)s；

22

R(s)/+5+4(1+勺)5+2^a)ns+con

①〃=,4+4勺

_1__]n勺=_9

:---=-h4

2』房函2

②叱。時,^二號著0=

J=0.25

4

于是/,=---=8s,t.,=???a%='"

她

例9〈設(shè)計型題，較易，主要考概念〉

例9圈

求：G,.(s),①使r(f)=f時，%=0;②使r(f)=g產(chǎn)時，ess<0.01

解：①G《)=窗+l,r>T,〈利用基本概念，不用計算〉

AT（CT+1）x10

②G,（s）=K（⑦+l）,（r>7j,則K,=lim.v2?=10K

a5->052（7i+l）

—=—1―<0.01nK210。

故：ess

K.10K

根軌跡法

一、定義:

K*日（s+zj

〈①〉l+G0（5）=l+^^Oo

fl（s+P,）

j=l

Kn,

其中K”為根軌跡增益。開環(huán)放大倍數(shù)K=—月一

J=I

閉環(huán)特征方程的根隨參數(shù)K*而變化的軌跡，稱為根軌跡o

幅值條件|G0(s)=l

其符合兩個條件：.相角條件：NG0(s)=(2Z+lk，(最小相位系綁

或NG0(s)=2攵肛俳最小相位系用

〈②〉幾條規(guī)則：①實軸上的根軌跡

〈最小相位系統(tǒng)〉右邊有奇數(shù)個零極點時，有根軌跡

〈非最小相位系統(tǒng)〉右邊有偶數(shù)個零極點時，有根軌跡

②根軌跡條數(shù)=Max(n,m),

起點為開環(huán)極點（K.=0）,終點為開環(huán)零點（K,foo）

③漸進線條數(shù)：（n-m）條，與實軸交點坐標(biāo)：a,-Z極點'零點

n-m

與實軸夾角：（p\=±儂+1）"。

n-m

④分離點與會合點：使”=0,并使K*>0的點

ds

⑤復(fù)數(shù)極點出射角：

%=18（尸+￡零點至極點的向量輻角■￡其他極點至該極點的［穗輻角

對非最小相位系統(tǒng)

=z零點至極點的向量輻角-Z其他極點至該極點的市量輻角

復(fù)數(shù)零點的入射角：

氏=180。-Z其他零點至該零點的唯輻角+Z極點至該零點的向量轆

對非最小相位系統(tǒng)

%'=一z其他零點至該零點的向量輻角+Z極點至該零點的向量藏

⑥與虛軸交點：

（a）用勞斯判據(jù)確定，用輔助方程求得

（b）s=Jo代入閉環(huán)特征方程，由實部=0,虛部=0求得

例仙G?）=而。

解：漸進線(3條)：b=(-1)+(-2)(2攵+1)乃=.兀

-3-033

由1+^~t——；=0,則K=-s(s+l)(s+2),

s(s+\\s+2)

K=_J(53+3.y2+2,v)=_,2+6s+2)=o,得

dsds'7

?4=-0.423,K；=0.385

與=-L577,K；=-0.385

與虛軸的交點：方法一

53+3./+2S+K=0,勞斯陣：

53120

523K

3

s。K

要與虛軸有交點，則有一行全零，即2-4=0nK=6

3

輔助方程：3s?+6=0=邑2=±五/

方法二

將5=代入特征方程:（加y+3（jt）2+2（j0）+K=0

實部：K-3心°=>K=6,co=V2,

虛部：2G—369^=0

則與虛部的交點”2=±行'長=6根軌跡如下圖

例2：以上附2

解：漸進線一條。出射角內(nèi)?=18（F+tanT后—tanT迪=140。

pi0

s~+2s+3

分離點與會合點：K*=

s+2

得

NG(s)=Ncr+2+jco-Z(((T4-jcof+2(b+加)+3)

（應(yīng)用輻角條件）

CD_j2CO+2(769

=tan---------tan=180。

b+2B2+2(T+3

兩邊取正切:

co2co+2aco12+2。n(y+()2=()2

------=-9-----;-----------n-------

(T+2(y~—co~+2。+3cr+2o'—co~+2b+3

可見是圓。

例3:

R(s)+-Y(s)

--------------??-----?

_s(s+K典〃)

解：結(jié)構(gòu)圖化簡，有：

閉環(huán)特征方程為1+——=0n$2+&K?s+&=0

s~+K、Kfjs

n+1=0,(K*=(％),由此畫K根軌跡圖。

s+K]h

4

也可以由=>1+勺(11K心)=0,畫(根軌跡。

例4：Go（s）=，（s+1）,a>0

+a）

融.*_l（s+a）dtC_+（3+a）s+2a]

S+1ds（s+1）-

.，1-（3+a）土J（3+a）2-16a-

則:s=-----------------------或s=0

4

①a=1,a=9時，有一個分離點

②（3+0）2-16&>0,解得&〉9或&<1

當(dāng)a〈1時，顯然不穩(wěn)定。

當(dāng)a>9時，如取a=10,則⑶=二10一（二1）=7.5,

3-1

-13±7132-16010,比…一…

=---------------=——-4,根軌跡如上圖。

44

離散系統(tǒng)分析方法（考研題綱外）

一、采樣定理

二、①

開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

1八一八

G°(z)=Z1-e-7^=K(l-zT).Z

s(s+l)」'7Lsss+1

Ml".Tz1)?zzK(0.368z+0.264)

----1----Z7

z-1z-e~T(z-lXz-0.368)

閉環(huán)落.=綱=特征方程

°Mz)1+G0(z)

2

1+GQ(Z)=OBPz+(0.368K-1.368)z+(0.264K+0.368)=0。

②判斷穩(wěn)定性：用雙線性變換z=",將其代入特征方程中，再用勞斯判據(jù)。

CD-1

如果K給定，則直接解特征方程，若|z|<1則穩(wěn)定，若|z|>1則不穩(wěn)定。

③G0(z)=Z[G(s)],對參考輸入有:

K「=limGo(z),當(dāng)&)=a.1(/肘，e5.=

ZT11+K〃

K、.=lim(l-z-'匕°(z)，當(dāng)r(。=匕?時，%=?

zfKv

K“=吧(1一z-iyGo(z),當(dāng)&)=時,r=

有干擾時，霜^=①,“(z),e、,“=lim(z-l)￡(z)

＜此時必須且唯有用終值定理＞

④求Y(z)=%(z)?Mz"(。=Z-僅z)]=Z-吼(z)R(z)]時，可以用兩種方法:

a)部分分式法；b)長除方法

r(t)+e(t)e?(t)________'*j*(t)

------------A?______Z—?G(s)________FltT

------------------④暇

⑤z變換公式：

咐=1(。X(s)」X(z)=-^

sz-1

如：G0(s)=Z

(s+2)(s+3)

=(l_z-)K.Z應(yīng)+小+衛(wèi))K.

ss+2s+3

非線性系統(tǒng)分析方法

+八xsinvt

2_＞G(s)

注：1為sinwt;2為基波和高次諧波經(jīng)過G（s）后剩下的基波。

一、分析方法：

'相平面法——只適用于二階系統(tǒng)（不考）

＜描述函數(shù)法——可適用于高階，是頻率法的推廣（考）

李雅譜諾夫方法

二、描述函數(shù)法：

1

①閉環(huán)特征方程：l+N（X〉G（s）=O,則G（s）=

麗

判斷G（/w）是否包圍-亮，包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。

如同1+GO（S）=O,GC＞，）=-1,判斷是否包圍T,包圍則不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。

②負倒特性:

A點不穩(wěn)定，自激振蕩

B點為穩(wěn)定自激振蕩，因有干擾時系統(tǒng)發(fā)散，則系統(tǒng)正好進入穩(wěn)定區(qū)，而系統(tǒng)穩(wěn)

定時要衰減，則系統(tǒng)又回到B點右邊，又再次進入到不穩(wěn)定區(qū)，又要發(fā)散，然后

又進入穩(wěn)定區(qū)，如此反復(fù)，則系統(tǒng)始終穩(wěn)定再B點附近。

例1:如圖。其中:

A^(X)=—Jl-|—|,G(s)=^——工一；,K=ll,a=l1=3

'，成丫(xjS(0.15+1/5+1)

判斷是否存在穩(wěn)定的自激振蕩？為消除自激振蕩如何調(diào)整？

解：

NG（_/M）=-180。n求出相交頻癡

=lx）=>求出相交幅度

B點是穩(wěn)定的自激振蕩點A點不穩(wěn)定。~Xp不穩(wěn)定10cxe/

和X〉/穩(wěn)定?減小K,使兩者不相交或調(diào)整。、。使兩者不相交。

解：-2,當(dāng)x<Xo時無輸出，x>x（）時輸出則合成為:

M

『七T變換成:

①討論參數(shù)T為系統(tǒng)自激振蕩的影響

②設(shè)T=0.25sec,求輸出自激振蕩的振幅和頻率。

解：G0(s)=(W"皿。，箭=

兩者相切時，即頻率特性G(jw)的虛部等于-1/N(X),B點穩(wěn)定,A點不穩(wěn)定。

此時，4<X</穩(wěn)定;°<X<4和X>/不穩(wěn)定

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

連續(xù)系統(tǒng)在左平面釣士

特征方程求利

離散系統(tǒng)在單位圓

判斷穩(wěn)定忸勞斯判據(jù)

穩(wěn)定判據(jù)

李氏穩(wěn)定判據(jù)

一、①李氏第一方法：線性化方法

工(鼠,9..…X,,)

力(項，工2……七,)

,平衡狀態(tài)為口即/(乙,。=

x=f[xe,t)0,

〃匹，》2??…%,)

線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)只有一個;非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)有多個。雅可比矩陣:

%第

dxxdx2

A=,判斷其穩(wěn)定性用特征多項式卜/-A=0,

Lv=.re吼

dXn

x=xe

然后用勞斯判據(jù)。如果線性系統(tǒng)穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果線性系統(tǒng)

不穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如果處于穩(wěn)定邊界(有純虛根)，則不能判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

Hx)=/Px,P為正定對稱矩陣，貝UV(x)>0；如果匕(x)<o,則大范圍穩(wěn)定②李氏直接

方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉變量梯度法(不考)

二、對非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性問題的解題步驟:

①先用線性化方法:

第第

dxxdx2

A旦,由\sl—4=0得，s}=Aj,s2—

dxxV空%=%

dx1ex、

若：(1)4>0,4>°，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是不穩(wěn)定的;

(2)<0,/12<0,則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xeo處是漸進穩(wěn)定的。

(3)%,%中至少有一個實部為0,則此方法失效。

②否則，用克拉索夫斯基方法:

.

或=陰露，其中/（x）=［第,0（6=—|停）+某當(dāng)Q3正定時，

dx^fi_以［力⑴」l_w

dx{_

即當(dāng)主子式均大于零時，且當(dāng)聞->00時，有:

K(X)=f'(x)/(x)=……=—>8,則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)匕=。處大范圍漸進穩(wěn)定。

③最后想到用李雅普諾夫第二方法：構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V(x),例如：

V(x)=x：+x；,要求V(0)=0,xH0,V(x)>0。

步驟：1、構(gòu)造V(x)=

2、V(x)=2xtx］+2X2X2,將后，4代入，若舊(x)為負定,半負定，國一>8,有

V(x)foo。則系統(tǒng)在兒=0處大范圍漸進穩(wěn)定。

例1:《2000年題6>使用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點平衡狀態(tài)的

穩(wěn)定性。

?,3-5

X1=-X|+X-X）=%1

2,X2x2-x2

解：線性化方法失效，則只好用克拉索夫斯基方法:

紅—1-1-3元；I

dx~[1-1-5%/則

2+6x；-2

4

-22+10X2

???主子式2+6x：>o,（2+6~2）（2+10々2）-4>0,Q（x）正定

且k|8時，有

T352

V(x)=f(x)f(x)=[-xi+x2-X,)'+(x,-x2-X2j=—>00,故此系統(tǒng)在原點處大

范圍漸進穩(wěn)定。

例2：<2001年題6〉試用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點平衡狀態(tài)的

穩(wěn)定性。用=-X|-3x「,尢2=X]+%2-5尤2，

解：用線性化方法:

或-105+10

A=，卜/—A|=52—1=0

dxxe-011-15-1

則4=1,$2=L故系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。

狀態(tài)空間分析方法

一、模型的建立

分析。

A

1

(v0~y')c

0

則x=R

m

則產(chǎn)+(%-?)c—攵y=/沖，即：my+cy+ky-F+cv0

玉=/

令$=y,x2=y,則<工="一組一至+￡+強，

mmmm

乜口對y（"）+qy（'i）(?-1)

+...+an_iy+any^h]u,令司=y,x2==y'

&=七

v?

Xi=X"

X?=_%X|-<2?_|X2-----a,x?+b]U

輸出方程：'=項

y=[l0???0]x

例1:由傳遞函數(shù)來求

r（A=%s"'+4s"I+…+仆+》,=組頌

s〃+qs〃T+…+*5+/17（s）U（s）9

Q（s）;___________1___________

=如"'+…+b_s+b,

U（s）s"+%$""??+%_/+%U（s）mx

s"Q（s）=U（s）-+…%s+a,[Q（s）

則

x]=x2

尤2=*3

=,即

尤-I=X,

xn^u-anx]-an_}x2-------a}xn

010

00

x=

__an_an-\,

y=瓦也-%0

例2：G(S)=444s2+17S+20-125

---------4-----------77-----------，

s'+Is2+165+125+2(s+2)s+3

吊二—2X]+x?-2100

x——2M+uX=0-20x+1u

有：，2-即：〈

*3——3工3+〃00-3_1

一元2+5X[2-15Jr

>'=2xl37=

可見-2為重根，則此為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。約當(dāng)塊對應(yīng)B陣中的行中有一列不為零,

則能控；約當(dāng)塊對應(yīng)C陣中的列中有一列不為零，則能觀。

x=Ax+如型題的解答步驟:

二、對，

[y=s

①判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：卜/一4=0,得4=4,52=4，…，若4<°，4<0…則系統(tǒng)

穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

②能控性判別矩陣：

M=\bAb\<二階>,M=\bAbA2b\<三階>

若r（M）=n,即滿秩，為完全能控，否則不完全能控。

能觀性判別矩陣：N=[ccA.....Y,若為滿秩，為完全能觀，否則不完全能

觀。

注意：如果A是對角陣且沒有重根時，則用直接觀察的方法判別能控、能觀便可。

若b中對應(yīng)的值不為0,則此狀態(tài)分量能控，若b中全不為0,則為完全能控。

若c中對應(yīng)的值不為0,則此狀態(tài)分量能觀，若c中全不為0,則完全能觀。

如果A是對角陣且有重根，或是一般矩陣時，則必須用能控性判別矩陣M和能觀

性判別矩陣No

③狀態(tài)反饋：條件——所調(diào)整的極點對應(yīng)的狀態(tài)分量必須能控。

原理：

1

x=Ax+huirq,fx=（A^bk\x

\,引入k2???x2,則有《））

y=ex.[y=ex

解題方法：特征多項式=期望多項式，即兇-（A+4:）=（.石）…

得到&,勺,a,即長=[&K2KJ

④狀態(tài)觀測器〈不考計算，因為太復(fù)雜〉

條件：系統(tǒng)完全能觀，才可用狀態(tài)觀測器

⑤輸出可控性矩陣：P=\cbCAbCA2h-??],若滿秩，則輸出完全可控，否

則輸出不完全可控。

例3、<2001年題5>

0

-2y=[011x2

0

要求：

(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并指出各狀態(tài)分量的能控，能觀性

⑶能否用線性狀態(tài)反饋(7=依=也k2…卜將原有的極點7,-2,3調(diào)整為7,

-2,-3?若能請計算出K1,K2,K3的值；若不能，請說明原因。

⑷判斷系統(tǒng)的輸出可控性

解：

(1)顯然有+3特征根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定

(2)由B陣知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C陣知不完全能觀，x2,x3

能觀，x1不能觀。

(3)能，因為x3時能控的，設(shè)/^=[00嗎],由

5+10一舄,=-1

\sI-(A+bk)=05+20故<.=-2

00s-(3+2()4=3+2K3

因此有3+2K3=-3=>長3=-3,故長=[00-3]

(4)輸出可控性矩陣P=[C5CABCA2B]^\2618],秩為1,可控。

例4：<2002年題2>

X-100b、王

y=[i1C3]/

x20-10+b?u

A00a1

要求:

⑴判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。

(3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？

⑷能否應(yīng)用狀態(tài)觀測器？

解：(1)顯然a>0,系統(tǒng)不穩(wěn)定；a=0邊界狀態(tài)；a<0時系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)因為7時重根，由不是約當(dāng)型，則用較穩(wěn)妥的方法，即用可控性矩陣。

仇-仄仇Eoo

AbA%]=b-h1+12-1

22b2aa

1a000

則秩為2,為不完全能觀

(3)狀態(tài)反饋要通過x3進行，則要能觀測x3才行。當(dāng)C3不為0時，可以通過

狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(4)系統(tǒng)完全能觀，才可應(yīng)用狀態(tài)觀測器。

例5:

101

+My=[oi]玉

0-2J|_X2_0

要求：

⑴判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。

(3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？

⑷能否應(yīng)用狀態(tài)觀測器？

解：(1)顯然有+1根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定

(2)不完全能控，x1可，x2不可

不完全能觀，x1不可，x2可

(3)因為x1能控，則可以改成7,

1+K|0

設(shè)長=因0］貝必+必

0-2

故1+&=-1=>&=-2nK=[-20]

(4)不能，因為系統(tǒng)不完全能觀

例6：

內(nèi)其中A01o-

，仇G=[21]

%=。內(nèi)-3-4i

x=AX+bU甘比入_\_\_i

S?.22222，其中——l,b?=1,C9—1

%=C2X2

要求：①…②…③…

X010王0王

1My=[2ii]

解:x2-3-40x2+x2

*3

00-1“3ix3

傳遞函數(shù):

010

X=X+u.，故黑=d(…尸小

加：-3-411

〔必[2l]x

三、狀態(tài)方程的解，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

-1

如：3⑺=Av(r)+x(，0)=%,則X(5)=[si-A][X(0)+BU(s)]

齊次，則x(f)=Z-'[(5/-A)Tx(o)]=Z-'[(.vZ-A)T].x(o)

x(r)=。⑺x(0)+[M，-T}BU(T)dr,)=cx(t)。采用變換的方法:

PT＜最簡單，推薦〉

其中：p=[qp2…p?]

特另U當(dāng)

一010…04，丸2，…丸〃互異

001…011??1

4=4丸2.

,則「=

0??????01

1〃-11n-11〃一]

-ani-I……一。［

如果有二重根，則

4