2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第13講 函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應(yīng)用（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第13講函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應(yīng)用（精講）①求函數(shù)的零點(diǎn)和零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題②與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題③二分法的應(yīng)用④常見(jiàn)函數(shù)模型①-二次函數(shù)和分段函數(shù)⑤常見(jiàn)函數(shù)模型②-指對(duì)冪函數(shù)一、必備知識(shí)整合一、必備知識(shí)整合一、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).三、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法（1）定義：對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.（2）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.②求區(qū)間的中點(diǎn).③計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）④判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.）五、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對(duì)數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，六、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).③連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.二、考點(diǎn)分類精講二、考點(diǎn)分類精講【題型一求函數(shù)的零點(diǎn)和零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題】1.確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法2.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法【典例1】（單選題）（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】令，得，則．故選：A【典例2】（單選題）（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.一、單選題1．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】令，求解方程即得.【詳解】由，設(shè)，則得，解得，從而，所以.故選：C.2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.故選：B3．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.4．（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）已知符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分段寫(xiě)出的解析式，然后分類求方程的根即可.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，若，得，符合；當(dāng)時(shí)，若，得，符合；當(dāng)時(shí)，若，得，符合；故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.5．（2023·廣西·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)的定義，列式求解作答.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D6．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)x的取值范圍不同，分別解出根即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，，其中，，當(dāng)時(shí)，解得，綜上k的最大值是1.故選：C.7．（22-23高一上·四川涼山·期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.8．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【分析】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有3對(duì).

故選：C9．（22-23高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】由解得或2，再畫(huà)出，，的圖象數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋庵没?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，的圖象如圖：由圖可知使得或的點(diǎn)有4個(gè).故選：A.10．（22-23高二下·河南焦作·期末）設(shè)分別是方程，，的實(shí)根，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用零點(diǎn)的存在性定理，求得，，作出與的圖象，結(jié)合圖象得到或，即可求解.【詳解】令，可得在上單調(diào)遞增，又由，所以；再令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以；對(duì)于，即，則方程的根為與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，或，綜上，.故選：B.11．（23-24高三下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】準(zhǔn)確分析函數(shù)性質(zhì)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】，所以的最大值為2，當(dāng)取最大值時(shí)，有，即，由，令，解得，當(dāng)趨于時(shí)，趨于正無(wú)窮，而，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象與的圖象如圖所示，

由圖可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個(gè)交點(diǎn).故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是對(duì)區(qū)間進(jìn)行適當(dāng)劃分，從而研究函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，由此即可順利得解.二、填空題【題型二與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍【典例1】（單選題）（2023高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）設(shè)實(shí)數(shù)a為常數(shù)，則函數(shù)存在零點(diǎn)的充分必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函數(shù)與二次方程之前的關(guān)系，以及根的分布列出關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上存在零點(diǎn)，注意到的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且，故上述條件等價(jià)于，即，解得.所以函數(shù)存在零點(diǎn)的充分必要條件是.故選：A.【典例2】（單選題）（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢(shì)特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得極大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，需使，解得.故選：C.一、單選題1．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢(shì)特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得極大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，需使，解得.故選：C.2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知m為常數(shù)，函數(shù)，則“”是“有零點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，反之，有零點(diǎn)，即有解，因此，則，所以“”是“有零點(diǎn)”的必要不充分條件.故選：B3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可列式求解.【詳解】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因?yàn)樵趦?nèi)有零點(diǎn)，所以，解得.故選：A4．（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.5．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，由函數(shù)零點(diǎn)的意義可得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得，再借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)及基本不等式逐項(xiàng)分析得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因此直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，而當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，于是，對(duì)于A，由，得，即，A正確；對(duì)于B，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，B正確；對(duì)于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：C6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值不可能為（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，逐個(gè)帶入分析判斷即可得解.【點(diǎn)睛】若，可得，此時(shí)令可得，只有一個(gè)零點(diǎn)，故A不符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故B符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D符合；故選：A7．（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理，列出不等式，即可求解.由函數(shù)，【詳解】由函數(shù)，若，可得，令，即，解得，符合題意；若，令，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即且，則滿足，解得且，若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：D.8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)求解，畫(huà)出函數(shù)圖象觀察交點(diǎn)范圍，再用零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個(gè)分別在和之間的根，下面證明：方程在和之間各有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，則，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合題意可知，或，故選：C.9．（2024·安徽合肥·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得，結(jié)合圖象可得，求解即可．【詳解】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)的圖象，如圖所示：由此可知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又因?yàn)殛P(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，可得；當(dāng)時(shí)，，令，解得，又因?yàn)椋?，解得．故選:D．【題型三二分法的應(yīng)用】【典例1】（單選題）（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于長(zhǎng)度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么經(jīng)過(guò)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?，若要求精確度為時(shí)則，解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).【詳解】因?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所以經(jīng)過(guò)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?，令，解得，且，故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.故選：C.一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得，，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知零點(diǎn)，結(jié)合對(duì)二分法的理解即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算，即.故選：B.2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）設(shè)，用二分法求方程在上的近似解時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次二分法后，可確定近似解所在區(qū)間為（

）A．或都可以 B．C． D．不能確定【答案】B【分析】借助二分法定義計(jì)算即可得.【詳解】，，第一次取，有，故第二次取，有，故此時(shí)可確定近似解所在區(qū)間為.故選：B.3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法求零點(diǎn)的要求，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒(méi)有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)；對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但恒成立，故不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn).故選：B.4．（23-24高一上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求方程近似解時(shí)，至少需要求（

）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)的近似值求解.【詳解】由所給區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，經(jīng)過(guò)n次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?，故需，解得，所以至少需要操?次.故選：C5．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法，結(jié)合表格計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋圆粷M足精確度為因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，滿足精確度為，所以方程的一個(gè)近似根精確度為可以是區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)值包括端點(diǎn)值.故選：C.【題型四常見(jiàn)函數(shù)模型①-二次函數(shù)和分段函數(shù)】【典例1】（單選題）（23-24高三上·上海奉賢·期中）某紀(jì)念章從某年某月某日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間天41036市場(chǎng)價(jià)元905190根據(jù)上表數(shù)計(jì)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系（

）A． B．C． D．；【答案】B【分析】由題意觀察出隨的變化趨勢(shì)，對(duì)比函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】∵隨著時(shí)間的增加，的值先減后增，而三個(gè)函數(shù)中、、顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，∴選擇．故選：B.一、單選題1．（23-24高一上·四川綿陽(yáng)·期中）紅星幼兒園要建一個(gè)長(zhǎng)方形露天活動(dòng)區(qū)，活動(dòng)區(qū)的一面利用房屋邊墻（墻長(zhǎng)），其它三面用某種環(huán)保材料圍建，但要開(kāi)一扇寬的進(jìn)出口（不需材料），共用該種環(huán)保材料，則可圍成該活動(dòng)區(qū)的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這個(gè)活動(dòng)區(qū)垂直于墻的一邊長(zhǎng)是，則平行于墻的一邊是，面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】設(shè)這個(gè)活動(dòng)區(qū)垂直于墻的一邊長(zhǎng)是，則平行于墻的一邊是，面積，墻長(zhǎng)，所以，解得，對(duì)稱軸方程，拋物線開(kāi)口向下，，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，最大為（），故選：C．2．（22-23高三上·廣東深圳·期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（

）A．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元【答案】C【分析】先求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值.【詳解】該企業(yè)每年利潤(rùn)為當(dāng)時(shí)，在時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即在時(shí)，取得最大值；由，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為.故選：C3．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖，某小區(qū)內(nèi)有一個(gè)矩形花壇，且矩形的周長(zhǎng)是4，設(shè)，，則函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知寫(xiě)出的解析式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出選項(xiàng)．【詳解】由條件，得，在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1,2)上是增函數(shù)，由題可知選項(xiàng)C適合題意.故選：C.二、解答題4．（23-24高三下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來(lái)的大計(jì)，是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容．習(xí)近平指出：“綠水青山就是金山銀山”．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開(kāi)墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調(diào)研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹(shù)的產(chǎn)量（單位：千克）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：．此外，還需要投入其它成本（如施肥的人工費(fèi)等）元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為16元千克，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是430元．【分析】（1）根據(jù)題意可得，則化為分段函數(shù)即可，（2）根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求出最大利潤(rùn)．【詳解】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是430元．5．（23-24高二下·山東德州·期中）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱產(chǎn)品的售價(jià)為200元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部每售完.(1)求銷售利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，所獲利潤(rùn)最大【分析】（1）分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在時(shí)的最大值，利用基本不等式求出當(dāng)時(shí)的最大值，即可得解.【詳解】（1）由題意可知，銷售收入為萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足萬(wàn)箱，即時(shí)，.當(dāng)產(chǎn)量不小于萬(wàn)箱，即時(shí)，.綜上可得.（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則，當(dāng)時(shí)，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又，所以當(dāng)產(chǎn)量為萬(wàn)箱時(shí)，所獲利潤(rùn)最大值為萬(wàn)元.6．（23-24高一下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離．在某種路面上，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)測(cè)試，某種型號(hào)汽車的剎車距離y（米）與汽車的車速x（千米/時(shí)，）的一些數(shù)據(jù)如下表．為了描述汽車的剎車距離y（米）與汽車的車速x（千米/時(shí)）的關(guān)系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③．x0406080y08.418.632.8(1)請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過(guò)13米，求行駛的最大速度．【答案】(1)最符合實(shí)際的函數(shù)模型；解析式為；(2)行駛的最大速度為千米/時(shí)．【分析】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，然后列方程組求解即可；（2）令，結(jié)合二次不等式的解法求解，再結(jié)合，即可求出的取值范圍，即可得解．【詳解】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)可得最符合實(shí)際的函數(shù)模型，將，；，；，分別代入上式可得，解得，即所求的函數(shù)解析式為，；（2）令，即，解得，又，所以，即要求剎車距離不超過(guò)米，則行駛的最大速度為千米時(shí)．【題型五常見(jiàn)函數(shù)模型②-指對(duì)冪函數(shù)】【典例1】（單選題）（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷售價(jià)格：一次購(gòu)買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買的件數(shù)為，花費(fèi)為元，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出滿足的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，求出的最大值即可.【詳解】設(shè)購(gòu)買的件數(shù)為，花費(fèi)為元，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最多可購(gòu)買這種產(chǎn)品件，故選：C.一、單選題1．（23-24高二下·湖南衡陽(yáng)·期中）衡陽(yáng)五一期間某服裝店每天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)每天都在變化，設(shè)第天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為y，且y與（表示不大于的最大整數(shù)）成正比，第1天有15人進(jìn)店消費(fèi)，則第2天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】利用題中的條件，第1天有15人進(jìn)店消費(fèi)，即可得出比例系數(shù)，進(jìn)而可以解出．【詳解】由題意可設(shè)比例系數(shù)為，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故選：D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見(jiàn)葉片數(shù)進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長(zhǎng)期可見(jiàn)葉片為7片，葉齡指