24版高中同步新教材選擇性必修第一冊蘇教版數(shù)學(xué)備課4.3.3　等比數(shù)列的前n項和

選擇性必修第一冊

蘇教版高中數(shù)學(xué)1.等比數(shù)列前n項和公式1|等比數(shù)列的前n項和知識點必備知識清單破4.3.3等比數(shù)列的前n項和已知量首項、公比與項數(shù)首項、末項與公比求和公式Sn=

Sn=

2.等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征(1)當(dāng)q=1時,Sn=na1,Sn是關(guān)于n的一次函數(shù).(2)當(dāng)公比q>0且q≠1時,等比數(shù)列的前n項和公式Sn=

可以變形為Sn=-

·qn+

,設(shè)A=

,則Sn=A(qn-1),即Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,則利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公

式可推得Sn有如下性質(zhì):(1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.(2)當(dāng)q≠-1或q=-1且k為奇數(shù)時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比數(shù)列.(3)設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和.若項數(shù)為2n,則

=q;若項數(shù)為2n+1,則

=q.(4)當(dāng)q=1時,

=

;當(dāng)q≠±1時,

=

.2|等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知識點知識辨析1.若數(shù)列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和一定為Sn=

嗎?2.等比數(shù)列的前n項和一定是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)嗎?3.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則S4,S8-S4,S12-S8一定構(gòu)成等比數(shù)列嗎?4.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項和為Sn,則{Sn}也是遞增數(shù)列嗎?一語破的1.不一定.當(dāng)a=1時,Sn=n.2.不一定.當(dāng)公比q=1時,等比數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的一次函數(shù),當(dāng)公比q>0且q≠1時,等比

數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).3.不一定.當(dāng)a1=1,q=-1時,S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,構(gòu)不成等比數(shù)列.4.不一定.當(dāng)a1<0,0<q<1時,等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,此時an<0,從而{Sn}是遞減數(shù)列.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1,an,n,q,Sn,這五個量可以“知三求

二”,一般通過等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程(組)求基本量,注意一些解題技

巧,如用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元,整體代換的應(yīng)用

可以看作一個整體

等.1|等比數(shù)列前n項和基本量的求解

定點關(guān)鍵能力定點破典例已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(1)已知an=3n+1,求Sn和S4;(2)已知Sn=2-n-1,求an和a4;(3)已知S2=30,S3=155,求an和Sn;(4)已知S3S5-

=-16,a2a4=32,求S4.解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.(1)因為an=3n+1,所以a1=9,a2=27,所以q=

=3.故Sn=

=

=

(3n-1),所以S4=

×(34-1)=360.(2)當(dāng)n=1時,a1=S1=2-1-1=-

;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2-n-1)-(2-n+1-1)=

-

=-

.因為a1=-

適合上式,所以對任意的n∈N*,an=-

,因此a4=-

=-

.(3)由

得

解得

或

當(dāng)a1=q=5時,an=a1qn-1=5n,Sn=

=

=

(5n-1);當(dāng)a1=180,q=-

時,an=a1qn-1=180×

,Sn=

=

=

.(4)當(dāng)q=1時,S3S5-

=3a1×5a1-(4a1)2=-

=-16,得

=16,此時,a2a4=32≠

,矛盾;當(dāng)q≠1時,S3S5-

=

·

-

=-

q3=-16,所以

解得

因此S4=

=

=15a1=±15

.易錯警示

利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行運算時,一定要注意q的取值是不是1,如果不確定,

需要分情況討論.

在等比數(shù)列前n項和的有關(guān)問題中,把握好等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件,恰當(dāng)運用

性質(zhì)能幫助我們簡化運算,快速解題.2|等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用定點典例(1)已知一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項之和為170,則

這個數(shù)列的項數(shù)為

(

)A.2B.4C.8D.16(2)等比數(shù)列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,則數(shù)列{an}的前16項和S16=

(

)A.20B.

C.

D.-

(3)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于

(

)A.80B.30C.26D.16解析

(1)設(shè)這個等比數(shù)列為{an},{an}中共有2k(k∈N*)項,公比為q,前n項和為Sn,則奇數(shù)項之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,偶數(shù)項之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q=

=

=2,故S2k=

=22k-1=170+85=255,則22k=256,解得k=4,因此,這個等比數(shù)列的項數(shù)為8.故選C.(2)由題意得S4=20,S8-S4=10,則

=

,根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12構(gòu)成公比為

的等比數(shù)列,∴S12-S8=5,S16-S12=

,易求得S8=30,∴S12=35,∴S16=

,故選B.(3)設(shè)公比為q,則由條件知q>0且q≠1,根據(jù)Sn=2,S3n=14,得

=2①,

=14②,

得

=7,即1+qn+q2n=7,解得qn=2或qn=-3(舍去),∴

=

=

=15,∴S4n=15Sn=30.

1.分組求和法一般地,若{an},{bn}中一個是等差數(shù)列,一個是等比數(shù)列,則常用分組求和法求數(shù)列{an±bn}的

前n項和,即先分別求{an},{bn}的前n項和,再將兩個和式合在一起.2.錯位相減法已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為公比不為1的等比數(shù)列,由這兩個數(shù)列組成的新數(shù)列為

{anbn},在求該數(shù)列的前n項和時,常常將{anbn}的各項乘{(lán)bn}的公比q,并向后錯位一項,與

{anbn}中q的同次項對應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和,這種求數(shù)列前n項和的方法稱為

錯位相減法.若公比不確定,則需對其進(jìn)行分類討論.3|與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和定點當(dāng)q=1時,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·

;當(dāng)q≠1時,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1·b1qn-1+anb1qn,∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)·b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn,由等差數(shù)列的定義知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,∵q≠1,∴Sn=

+db1·

.求和過程如下:設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和是Sn,等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差是d,等比數(shù)列{bn}的首項是b1,公比是q,則典例已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn+3an=6n+4(n∈N*).(1)求證:數(shù)列{an-3}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{nan}的前n項和.解析

(1)證明:當(dāng)n=1時,2S1+3a1=6+4,∴a1=2,當(dāng)n≥2時,有

兩式相減得2an+3an-3an-1=6,∴5an-3an-1=6,故an-3=

(an-1-3),又a1-3=-1≠0,故

=

,∴數(shù)列{an-3}是以-1為首項,

為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可得an-3=-1×

,∴an=3-

,∴nan=3n-n·

,令Wn=1×

+2×

+3×

+…+n·

,①兩邊同乘

,得

Wn=

+2×

+3×

+…+(n-1)

+n

,②由①-②得