專(zhuān)題5-2數(shù)列遞推及通項(xiàng)應(yīng)用（解析版）

專(zhuān)題5-2數(shù)列遞推及通項(xiàng)應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型 1題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型 3題型03累加法求通項(xiàng) 5題型04累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型 7題型05累加法求通項(xiàng)：換元型 9題型06累積法求通項(xiàng) 11題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng) 15題型08分式型求通項(xiàng) 17題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng) 18題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng) 22題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng) 23題型12因式分解型求通項(xiàng) 25題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng) 27題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng) 28題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型 29題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型 31題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng) 32高考練場(chǎng) 34題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型【解題攻略】等差數(shù)列的判定方法

①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項(xiàng)法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).【典例1-1】（2024上·山東威?！じ呷y(tǒng)考）已知數(shù)列，對(duì)都有，且，則.【答案】【分析】分析題意，構(gòu)造等差數(shù)列，求其前項(xiàng)和即可.【詳解】令，可得，故是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，故，，，，故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，設(shè)前項(xiàng)和為，則.故答案為：【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可證明為等差數(shù)列，即可求解.【詳解】由得，所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為3，故，進(jìn)而，故答案為:【變式1-1】（2023下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則，.【答案】3【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而，代入化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由題意，得，則數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，所以，得，則；由，得，即，所以.故答案為：；3【變式1-2】（2024上·海南海口·高三海南中學(xué)?？迹┰跀?shù)列中，，則．【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，判斷為等差數(shù)列，即可求出的表達(dá)式，從而可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以為等差?shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，故，所以，而，故，故，故答案為：【變式1-3】（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足，且，則．【答案】/【分析】將取倒數(shù)化簡(jiǎn)可得，即判斷為等差數(shù)列，即可求得的通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】由題意知數(shù)列滿足，即，即，即為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列，故，故，故答案為：題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型【解題攻略】等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項(xiàng)法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【典例1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡(jiǎn)為，再利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.所以.故選：C【典例1-2】（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)賦值分析可得數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于，令，則，再令，則，可知，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，∴.故選：C.【變式1-1】．（2022上·山東日照·高三統(tǒng)考）正項(xiàng)數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B．[3，9] C． D．[3，15]【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式，求出，然后化簡(jiǎn)，令，得到關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求其取值即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，令，化?jiǎn)可得，令，所以．故選：A．【變式1-2】（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合單調(diào)性定義及數(shù)列的求和分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)減函數(shù)，故數(shù)列是減數(shù)列，故C正確；，故D正確.故選：B.【變式1-3】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)遞推公式和等比數(shù)列的定義，可證明是等比數(shù)列，進(jìn)而可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，.又所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以即，所以.故選：D.題型03累加法求通項(xiàng)【解題攻略】對(duì)于遞推公式為，一般利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【典例1-1】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A．2-1 B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)累加法得，進(jìn)而得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得當(dāng)時(shí)，的最小值為.【詳解】解：由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，檢驗(yàn)已知時(shí)，滿足.故，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：C.【典例1-2】已知數(shù)列中，，時(shí)，，______.【答案】【分析】首先遞推公式變形為，再利用累加法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，……………，，這個(gè)式子相加得：，解得，當(dāng)時(shí)，成立，所以.故答案為：【變式1-1】（2023下·北京·高三北京八中?？迹┤魯?shù)列滿足，則通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用累加法即可求解.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，故答案為：.【變式1-2】（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和．【答案】【分析】疊加法求解，再裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】∵，∴時(shí)，．∴（），當(dāng)時(shí)也滿足上式，∴（）∴，（）∴數(shù)列的前項(xiàng)和（）所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．故答案為：．【變式1-3】．（2020上·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是．【答案】1300【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再并項(xiàng)求和求解前50項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，故時(shí)，，，…，，累加可得，，滿足上式，即，故的前50項(xiàng)和，即．故答案為：1300.題型04累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型【解題攻略】形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；利用累乘法求通項(xiàng)：【典例1-1】（2022·北京·清華附中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，即是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，再求通項(xiàng)公式即可.【詳解】數(shù)列滿足，，時(shí)，，，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，，．的通項(xiàng)公式為．故答案為：．【典例1-2】（2023上海市南洋模范中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【分析】在等式兩邊同時(shí)除以，得，然后利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可得出.【詳解】在等式兩邊同時(shí)除以，得，即.，，，.上述等式全部相加得，，因此，.故答案為.【變式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)第二中學(xué)校考）已知數(shù)列滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法以及裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.故選：C.【變式1-2】（2023下·山東濰坊·高三山東省昌樂(lè)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】先把，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求答案.【分析】因?yàn)椋?，則當(dāng)，時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以，，，故選：D.【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用累加法先求出，進(jìn)而求得即可.【詳解】由題意得，，則，…，，由累加法得，，即，則，所以，故選：D題型05累加法求通項(xiàng)：換元型【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足,數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【答案】【分析】把化為，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，兩邊同時(shí)除以得到，整理得到：即，累加得到即，所以，其中，又時(shí)，符合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故填.【典例1-2】（2021上·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，且，則(

)A．－1 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根據(jù)題意，將變形可得，由累加法分析可得﹒【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，且，變形可得，則有，則，故；故選：B．【變式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，所以，又符合上式，所以，則，故的最小值為.故選：B.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】由已知可得，構(gòu)造應(yīng)用累加法求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式.【詳解】等式兩側(cè)同除，得，所以，令，所以，則，，，……，，累加得：，而，故，即，整理得.故答案為：【變式1-3】（2022·甘肅白銀·高三）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進(jìn)而利用累加法可求得結(jié)果．【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，，，，且，，故選：A．.題型06累積法求通項(xiàng)【解題攻略】累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【答案】B【分析】若為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項(xiàng)相消法可得，利用累加法可得，進(jìn)而可得，可判斷BD.【詳解】因?yàn)椋?，即，若為等比?shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯(cuò)誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.【典例1-2】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用累加法和累乘法得到，，再利用數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算得到答案.【詳解】，則，故，；，故，，故，A，B錯(cuò)誤；，，，，故，，D錯(cuò)誤C正確.故選：C.【變式1-1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【答案】B【分析】運(yùn)用累和法和累積法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“等比差”數(shù)列，所以，因?yàn)?，，所以，所以有，累和，得，因此有，累積，得，所以，故選：B【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是3，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)新定義判斷出是公比為的等比數(shù)列，再利用迭乘法得到，最后根據(jù)和，聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】令，即，則，由已知得，所以數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，累乘可得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，故選：A.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，兩式相減得，把分別代入，用累乘法得，，再驗(yàn)證也成立，即可得到.【詳解】由得，兩式相減得:,即，即，即，.所以，，，…，.相乘得：……，即，因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng)【解題攻略】形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，，變形為，也可以變形為.【典例1-1】（2019·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，有，，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】由題意易得時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)構(gòu)造可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即，代入可得的解析式，設(shè)，作差判斷出的單調(diào)性，可得最大值.【詳解】由得當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，即，當(dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，，設(shè)，則，則有，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故選：D.【典例1-2】（19·20·專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當(dāng)時(shí)，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，bn＝，則當(dāng)為整數(shù)時(shí)，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．24【答案】D【分析】首先根據(jù)條件通過(guò)配湊系數(shù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；然后再根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出Tn，代入可求出，從而可判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，又因?yàn)?，所以從第二?xiàng)起是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，所以時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，要使為整數(shù)，需是15的因數(shù)，所以，此時(shí).故選：D.【變式1-1】（19·20下·綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足且，則此數(shù)列第5項(xiàng)是（

）A．15 B．255 C．16 D．63【答案】B【分析】由可得，即為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】∵，∴，∴是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則．∴，∴．故選：B．【變式1-2】（2021下·許昌）數(shù)列的首項(xiàng)，且，令，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】由題意得，結(jié)合已知有是首項(xiàng)、公比均為4的等比數(shù)列，進(jìn)而得到，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】∵，∴，即且，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，故，由得：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，∴．故選：C【變式1-3】（2022學(xué)業(yè)考試）數(shù)列滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可得，然后可得，然后得出即可.【詳解】由可得，所以所以，所以所以，所以，所以故選：D題型08分式型求通項(xiàng)【解題攻略】形如，取倒數(shù)變形為；【典例1-1】（2020上·濰坊）在數(shù)列中，，(n∈N+)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取倒數(shù)，確定是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.，，.故選：.【典例1-2】（2021上·南寧·）數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)（

）A．100項(xiàng) B．101項(xiàng) C．102項(xiàng) D．103項(xiàng)【答案】A【解析】由條件可得，則，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，求出值即可.【詳解】解：由，得，則，，令，得.故選：A.【變式1-1】（2022上·楚雄·）已知數(shù)列滿足,(),則A． B． C． D．【答案】C【解析】由遞推公式可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：()，().即(),所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,即,.故選：【變式1-2】（2016·六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用構(gòu)造法及已知條件可得是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，即可得，根據(jù)的單調(diào)性求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，則，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，因?yàn)榍沂菃握{(diào)遞增數(shù)列，即，所以，化簡(jiǎn)得恒成立，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，故選：B．【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，化簡(jiǎn)得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，取倒數(shù)可得，又由，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：C.題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng)【解題攻略】形如的遞推數(shù)列，方程的根，可以分兩種情況：（1）、若其中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x0，則是等差數(shù)列（2）、若其中有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m，n，則是等比數(shù)列【典例1-1】（22·23下·浦東新·）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)列的單調(diào)性可得出或，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，可求得，然后就或恒成立進(jìn)行討論，綜合可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得或，因?yàn)?，且，所以，?shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，解得.若恒成立，可得，即，即，因?yàn)椴坏仁讲豢赡芎愠闪ⅲ崛?；若，可得，即，即，解得，因此，首?xiàng)的取值范圍是.故選：A.【典例1-2】（22·23下·開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，利用等比數(shù)列的定義結(jié)合條件可得，然后利用錯(cuò)位相減法可得，再分類(lèi)討論可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，所以，而，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以，所以由，得，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，綜上，的取值范圍為．故選：B.【變式1-1】（23·24上·廈門(mén)·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將遞推式化為，從而得到是常列數(shù)，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，由此求得，據(jù)此解答即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，則，故，又，，所以，所以是以首項(xiàng)為的常數(shù)列，則，又，，所以是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，則，所以.故選：A.【變式1-2】（2020下·南寧·階段練習(xí)）數(shù)列滿足若不等式對(duì)任何正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為【答案】【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得的值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】，令，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.所以，所以.依題意對(duì)任何正整數(shù)恒成立，即，所以，所以的最小值為.故答案為：【變式1-3】（22·23下·浦東新）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)列的單調(diào)性可得出或，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，可求得，然后就或恒成立進(jìn)行討論，綜合可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得或，因?yàn)?，且，所以，?shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，解得.若恒成立，可得，即，即，因?yàn)椴坏仁讲豢赡芎愠闪?，舍去；若，可得，即，即，解得，因此，首?xiàng)的取值范圍是.故選：A.題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng)【解題攻略】若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).【典例1-1】（2023下·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以兩式相減可得；顯然不滿足上式，綜上可得.故答案為：【典例1-2】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則；使得命題“，都有”為真命題的一個(gè)的值為.【答案】3（答案不唯一，）【分析】根據(jù)給定的前項(xiàng)和求出通項(xiàng)即可，由求出的取值范圍作答.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足上式，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，，不等式，而，解得，因此對(duì)，不等式恒成立，所以“，都有”為真命題的，取的一個(gè)值為3.故答案為：；3【變式1-1】．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】取得到，時(shí)，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，取得到，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，不滿足。所以.故答案為：.【變式1-2】（2023上·北京·高三北京市十一學(xué)校?？迹┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】利用計(jì)算即可，注意求時(shí)，的值.【詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，故的通項(xiàng)公式為，故答案為：..題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)【解題攻略】前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)，可以類(lèi)比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.n=1，得a12.n時(shí)，所以【典例1-1】（22·23·沈陽(yáng)·三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)及遞推式求項(xiàng)，然后求即可.【詳解】由題設(shè)，即，，即，，即，，即，所以.故選：B【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，再根據(jù)題意可得,化簡(jiǎn)為，由此求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，故選：D【變式1-1】（21·22下·包頭·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將等式化為的關(guān)系式并化簡(jiǎn)，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是是以-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，所以.所以，故選：D.【變式1-2】（21·22上·合肥）若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值之和為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由題可得，利用數(shù)列的增減性可得最值，即求.【詳解】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)也適合上式，∴，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，故的最大值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為2.故選：C.【變式1-3】（20·21·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則數(shù)列的前n項(xiàng)之積的最大值為（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】由得到數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，再由求得數(shù)列即可.【詳解】由可知，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.由可知，，所以.所以數(shù)列為，所以的前n項(xiàng)之積的最大值為.故選：C.題型12因式分解型求通項(xiàng)【解題攻略】因式分解型求通項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)型：一般情況下，數(shù)列次冪比較高（二次型）遞推公式，可以考慮因式分解，或者配方型【典例1-1】（22·23上·四川·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】將化為，可得，，解不等式組求出，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，又滿足上式，所以，所以，所以，設(shè)為數(shù)列中的最大項(xiàng)，則，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最大值?故選：C【典例1-2】（22·23上·漳州·）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由遞推公式推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列特征求和.【詳解】由，得，又是正項(xiàng)數(shù)列，所以，，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.，，，可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：B.【變式1-1】（20·21下·衡水·）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為前項(xiàng)和，且，則.【答案】【分析】將遞推關(guān)系式因式分解為，從而可得，由累乘法可得，可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】解：，，即，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，即，，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?【變式1-2】（19·20上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】【分析】由已知表達(dá)式因式分解得到數(shù)列的遞推式，再運(yùn)用累乘的方法求得通項(xiàng)公式，再將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和得解.【詳解】由已知得所以又因?yàn)樗运运?；累乘得所以所?所以累加求和得故答案為題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)【解題攻略】同除型換元形如，累加法即可?！镜淅?-1】（2022下·上饒·）在數(shù)列中，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】構(gòu)造新的數(shù)列，通過(guò)新的數(shù)列的通項(xiàng)求.【詳解】∵數(shù)列的首項(xiàng),且,，∴,，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式：.故答案為：.【典例1-2】（2022下·沈陽(yáng)·）已知數(shù)列中，,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】由題意得，則，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式1-1】（22·23下·淄博·）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【分析】由已知可得，利用為等差數(shù)列求的通項(xiàng)公式.【詳解】由得，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以所以.故答案為：【變式1-2】（22·23·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】由兩邊同除，構(gòu)造等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，則.故答案為：.題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)【典例1-1】（2022·唐山·二模）數(shù)列滿足，若時(shí)，，則的取值范圍是．【答案】【詳解】,,故填.【典例1-2】（20·21上·清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到答案.【詳解】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以故答案為：【變式1-1】（2019·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【分析】在等式兩邊同時(shí)除以得，利用待定系數(shù)法得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出.【詳解】由，兩邊同時(shí)除以得，設(shè)，化簡(jiǎn)得，與比較得.，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，故答案為.【變式1-2】.（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【解析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到答案.【詳解】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以故答案為：題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型【典例1-1】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逐項(xiàng)計(jì)算找到數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意，，，，，…故數(shù)列周期為4，則.故選：B【典例1-2】（2023下·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得周期，利用周期即可求解.【詳解】由得，，，因此數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，所以，故選:A【變式1-1】（2023上·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考）在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出對(duì)任意的，，利用數(shù)列的周期性可求得的值.【詳解】在數(shù)列中，，且，則，，，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，.故選：D.【變式1-2】（2022上·河南鶴壁·高三鶴壁高中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式可驗(yàn)證知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，則由可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，……，以此類(lèi)推，可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，.故選：A.題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型【解題攻略】若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足【典例1-1】（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，推得，得到數(shù)列的一個(gè)周期為，求得的值，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，所以，即，所以，所以數(shù)列的一個(gè)周期為，又由，所以，所以.故答案為：.【典例1-2】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且（n為正整數(shù)），則．【答案】1【分析】通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期，根據(jù)周期求解即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，，，，，，…，所以是?為周期的數(shù)列，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?【變式1-1】（2023上·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則其前2022項(xiàng)的和為.【答案】0【分析】求出數(shù)列的周期，并得到，求出前2022項(xiàng)的和.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，依次進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)為周期數(shù)列，周期為6，且，故，故其前2022項(xiàng)的和為.故答案為：0【變式1-2】（2023下·吉林長(zhǎng)春·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，，則.【答案】【分析】計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列的最小正周期為6，計(jì)算可得所求值．【詳解】由題意知，，，，，，，，易知是周期為6的數(shù)列，．故答案為：-3題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)【解題攻略】奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)【典例1-1】（2020上·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．4 B．2 C．5 D．【答案】A【解析】根據(jù)，再寫(xiě)一個(gè)式子，兩式相比得到奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可解.【詳解】解：，所以，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，故，故選：A【典例1-2】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（

）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】D【解析】由題意可得，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式分組求和可得和.【詳解】由，，可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以，，所以.故選：D【變式1-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，則.【答案】9【分析】當(dāng)時(shí)，求出，由可得，兩式相減可得，所以的偶數(shù)項(xiàng)是以為首相，公差為的等差數(shù)列，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，解得：，，兩式相減可得：，所以的偶數(shù)項(xiàng)是以為首相，公差為的等差數(shù)列，所以.故答案為：9.【變式1-2】（2022下·四川自貢·高三統(tǒng)考）如果數(shù)列滿足=1，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，，則下列結(jié)論成立的是（）A．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列B．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列C．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列D．該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)條件，此數(shù)列的前幾項(xiàng)是，觀察前幾項(xiàng)，就可知此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)加4后是也不構(gòu)成等比數(shù)列，所以都不正確，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，所以代入上式，兩邊同時(shí)加4后得到，等價(jià)于，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，各項(xiàng)加4后成為等比數(shù)列．.高考練場(chǎng)1.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則．【答案】【分析】根據(jù)“等比差”數(shù)列的概念可得，進(jìn)而得解.【詳解】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列，則，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，故答案為:.2.（2021·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，，記集合，若集合M的子集個(gè)數(shù)為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，，然后研究的單調(diào)性求解即可．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為所以，即，又，所以，又?jǐn)?shù)列滿足，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為，所以，得，所以，設(shè)，令，得，即，，又集合M的子集個(gè)數(shù)為16，所以M只有4個(gè)元素，即不等式只有4個(gè)解，又，所以，故選：C．3.．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝．【答案】2n－1＋1【解析】依題意可得，再利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)?，所以所以則故答案為：4.（2023下·江蘇南京·高三南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，，且，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意利用裂項(xiàng)法可得，再利用累加法可得答案.【詳解】由題意得，則，故時(shí)，，，，，所以以上式子相加得，，時(shí)，也符合上式，.故答案為：.5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和【答案】C【分析】令，由已知得運(yùn)用累加法得，從而可得，作差得，從而可得，由此可得選項(xiàng).【詳解】令，則，又，所以，，，，，所以累加得，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選：C.6.（2021·全國(guó)·高三）已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______________．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系得，應(yīng)用累乘法求的通項(xiàng)公式即可.【詳解】由，可得：，又，∴＝．∴