專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（原卷版）

專題6-1立體幾何動點與外接球歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01四大基礎(chǔ)模型：三線垂直型 1題型02四大基礎(chǔ)模型：對棱相等型 2題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型 3題型04四大基礎(chǔ)模型：雙線交心型 4題型05垂面型外接球 5題型06二面角型外接球 6題型07四棱錐型外接球 8題型08圓錐形外接球 9題型09棱臺型外接球 10題型10圓臺型外接球 11題型11內(nèi)切球型 12題型12最值型外接球 14題型13翻折型外接球 15題型14外接球計算截面 16高考練場 16題型01四大基礎(chǔ)模型：三線垂直型【解題攻略】正方體的棱長為a，球的半徑為R，則： ①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長方體對角線，即：2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).【典例1-1】在三棱錐中，點在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為___________【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】．（2020下·四川綿陽·高三統(tǒng)考）在邊長為4的正方形中，，分別為，的中點.將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）A． B． C． D．題型02四大基礎(chǔ)模型：對棱相等型【解題攻略】對棱相等的四面體：三棱錐對棱相等，【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為．【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型【解題攻略】存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）1.模板圖形原理圖1圖22.計算公式【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過點分別作，交于點，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．題型04四大基礎(chǔ)模型：雙線交心型【解題攻略】解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心；3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；【典例1-1】（2023下·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長為2的正三角形，且平面底面，，，則該三棱錐的外接球表面積為．【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為.題型05垂面型外接球【解題攻略】面面垂直型基本圖形一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．A． B． C． D．【典例1-2】（2021·高三課時練習）在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方形的邊長為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點，則直線被四面體的外接球所截得的線段長為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三?？迹┮阎忮F，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為(

)A． B．C． D．.題型06二面角型外接球【解題攻略】二面角型求外接圓在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線的中點所以因為四點共圓，，根據(jù)余弦定理可知【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點為，則A．1 B．2 C． D．【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習）在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型07棱錐型外接球【解題攻略】錐體求外接球（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；(3)：勾股定理：，解出【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B．10 C． D．11【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點，那么當四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部時，的最大值為（

）A．1 B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．題型08圓錐形外接球【解題攻略】類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（

）

A．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則B．設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則D．設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的一點，為的中點，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．圓上存在點使平面B．圓上存在點使平面C．圓錐的外接球表面積為D．棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為.【變式1-2】圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為A． B． C． D．【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為___________.題型09棱臺型外接球【解題攻略】正棱臺外接球，以棱軸截面為主。，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺的高為，，．若三棱臺的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為______．【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺的各頂點都在球的球面上，若，三棱臺的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為___________.【變式1-1】已知正三棱臺的上下底邊長分別為，高為7，若該正三棱臺的六個頂點均在球的球面上，且球心在正三棱臺內(nèi)，則球的表面積為__________．【變式1-2】在正四棱臺中，，則（

）A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為【變式1-3】．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）A． B． C． D．題型10圓臺型外接球【解題攻略】圓臺外接圓模型圓臺外接球，即軸截面題型外接圓【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P．以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個球和一個圓臺．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①圓臺的母線長為3；②球的半徑為；③將圓臺的母線延長交的延長線于點，則得到的圓錐的高為；④點的軌跡的長度是．A．1 B．2 C．3 D．4【典例1-2】（2023下·湖南益陽·高三統(tǒng)考）已知一個球與某圓臺的上下底面和側(cè)面均相切，若圓臺的側(cè)面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．【變式1-2】已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．【變式1-3】已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（

）A． B． C． D．題型11內(nèi)切球型【解題攻略】內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)三角形內(nèi)切圓類比：三棱錐【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當時，則圓錐的體積為B．當時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當時，圓錐的外接球表面積為D．當時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為、，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】古代數(shù)學名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．圓O上存在點M使∥平面SBCB．圓O上存在點M使平面SBCC．圓錐SO的外接球表面積為D．棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為___________.題型12最值型外接球【典例1-1】在中，分別為三邊中點，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．3【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點，將沿中線折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為______．題型13翻折型外接球【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點D翻折到點P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（

）A．8 B．4 C． D．2【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（）A．14π B．15π C．π D．2π【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知矩形中，，，取線段，的中點，，連接，以線段為折痕進行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，直角梯形中，，取中點，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球為球（為球心）.是球上一動點，當直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】已知等邊的邊長為，，分別為，的中點，將沿折起得到四棱錐.點為四棱錐的外接球球面上任意一點，當四棱錐的體積最大時，到平面距離的最大值為______.題型14外接球計算截面【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（）A． B． C． D．【典例1-2】已知球是棱長為1的正方體的外接球，為棱中點，現(xiàn)在棱和棱上分別取點，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.【變式1-1】已知正方體的棱長2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為______．【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，過點A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過點M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點為中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.高考練場1.（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）A． B． C． D．2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中,,,.則該三棱錐的外接球表面積為.3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是.