浙江省杭州市富陽中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月三?？荚囋囶}含解析

PAGE24-浙江省杭州市富陽中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月三?？荚囋囶}（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆計算即可.【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于簡潔題.2.已知實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最大值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)已知條件畫出可行域，再依據(jù)的幾何意義即可得到最大值.【詳解】首先依據(jù)已知條件畫出可行域，如圖所示：由，得到，表示直線的軸截距相反數(shù).當(dāng)直線過時，取得最大值.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，依據(jù)題意畫出可行域?yàn)榻忸}關(guān)鍵，屬于簡潔題.3.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的漸進(jìn)線方程，可得到值，再由的關(guān)系和離心率公式，即可得到答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，又，所以該條漸近線方程為，所以，解得，所以，所以雙曲線的離心率為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的方程與性質(zhì)，考查離心率的求法，考查學(xué)生基本的運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖推斷出幾何體的形態(tài)，然后依據(jù)棱錐的體積公式計算出正視圖中的值即可.【詳解】由三視圖知，其直觀圖如下圖所示：該幾何體是四棱錐，底面是一個直角梯形，所以底面積，高，所以其體積，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)以及棱錐體積公式的運(yùn)用，難度一般.5.設(shè)，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到等價于，再分類探討解不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)榈葍r于，當(dāng)，時，解得，即，當(dāng)，時，解得，即，當(dāng)，時，解得.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)不等式的解法，同時考查了充分必要條件的推斷，屬于中檔題.6.函數(shù)的圖象不行能是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】變成分段函數(shù)后分段求導(dǎo)，通過對分類探討，得到函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性結(jié)合四個選項可得答案.【詳解】,∴.(1)當(dāng)時,,圖象為A;(2)當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,令得,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,圖象為D;(3)當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞減,令得,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,圖象為B;故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的圖像的識別，考查了分類探討思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.7.從0，2，4，6，8和1，3，5，7，9兩組數(shù)中各取兩個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是（）A.720 B.1120 C.1200 D.1680【答案】B【解析】【分析】依據(jù)兩組數(shù)的特點(diǎn)，按取到0和沒有取到0進(jìn)行探討，然后干脆計算即可.【詳解】取到0，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是沒有取到0，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是所以所求的結(jié)果數(shù)為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查特別元素的排列組合問題，審清題意，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.8.在四面體中，，，，點(diǎn)P是棱上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱的中點(diǎn)，記直線與直線所成的夾角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則有（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將該四面體補(bǔ)全為一個正方體，然后取特別點(diǎn)運(yùn)用解除法，簡潔推斷可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，，所以，，,所以,平面所以平面，又平面，所以平面將該四面體補(bǔ)全為一個正方體，如圖

當(dāng)為的中點(diǎn)時，為的中點(diǎn)，可知//，//，所以平面，所以，，則，故解除C當(dāng)為點(diǎn)時，，所以，故解除A、B故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線線角、線面角、面面角之間的關(guān)系，對選擇題、填空題可以運(yùn)用特別值法以及解除法，化繁為簡，便于計算，屬中檔題.9.已知向量，，滿意，在方向上的投影為2，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，向量的夾角為，可得，即可求出，不妨設(shè)，，設(shè)，由，整理可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，而，結(jié)合圓的性質(zhì)，可求出的最小值.【詳解】設(shè)，向量的夾角為，則，則，因?yàn)?，所?不妨設(shè)，，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，記圓心為，又，即，當(dāng)直線過圓心，且垂直于軸時，可取得最小值，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模，考查向量的數(shù)量積及向量的投影，留意利用數(shù)形結(jié)合的方法，屬于難題.10.在平面直角坐標(biāo)系中，定義（）為點(diǎn)到點(diǎn)的變換，我們把它稱為點(diǎn)變換，已知，，，是經(jīng)過點(diǎn)變換得到一組無窮點(diǎn)列，設(shè)，則滿意不等式最小正整數(shù)的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】可以先求得（當(dāng)然可求得，然后歸納出，對填空、選擇題這是不錯的解法），然后求得，從而可以得，說明數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項公式后求和，由得解．【詳解】由定義知，，，即．，視察可得，，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項為1．∴．，由，解得．即的最小值為11.故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查等比數(shù)列的通項公式與前項和公式．解題關(guān)鍵是求出．接著順理成章地寫出，視察兩項之間的關(guān)系，問題得以解決．屬于難題二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知復(fù)數(shù)滿意，則_________；___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先得到，再化簡，求模長即可.【詳解】，.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，同時考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡潔題.12.已知圓與圓外切，則__________，此時直線被圓所截的弦長為______________.【答案】(1).16(2).【解析】【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，，然后依據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計算到直線的距離，最終依據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長為故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系以及圓的弦長公式，駕馭直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系，同時識記圓的弦長公式，便于計算，屬基礎(chǔ)題.13.的綻開式中全部系數(shù)的和為____________，含項的系數(shù)為_____________.【答案】(1).0(2).【解析】【分析】將代入即可得到綻開式中全部系數(shù)的和.再將化簡為，求出綻開式通項，令得到，即可得到答案.【詳解】令，得，故的綻開式中全部系數(shù)的和為.因?yàn)?，所以綻開式通項令，解得.所以項的系數(shù)為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理，熟記二項式綻開式的通項為解題關(guān)鍵，屬于中檔題.14.在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則____________，的面積的取值范圍是___________.【答案】(1).6(2).【解析】【分析】依據(jù)得，再依據(jù)余弦定理便可解出的值及的值；由列出關(guān)于的表達(dá)式，依據(jù)為銳角三角形確定邊的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)思想處理的最值.【詳解】因?yàn)椋瑒t又，得，所以.又為銳角三角形，所以又，得，所以，所以.故答案為：6，.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用及利用三角形中邊角關(guān)系求面積的最值問題，難點(diǎn)在于面積取值范圍的確定，解答時將面積最值轉(zhuǎn)化為處理函數(shù)最值來解決，留意邊長的取值范圍確定.15.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．【答案】1.96【解析】【分析】依據(jù)二項分布，由公式得到結(jié)果.【詳解】由于是有放回的抽樣，所以是二項分布，,填1.96【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查二項分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．16.橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，若過A的橢圓的切線斜率為，直線斜率為（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時，橢圓的焦距為_________________.【答案】【解析】【分析】假設(shè)點(diǎn)以及直線方程為，可得在點(diǎn)處的切線方程為，依據(jù)，可得，然后結(jié)合，，計算可得結(jié)果【詳解】由題可知：直線方程為，設(shè)點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，斜率，由，所以，又，所以，橢圓方程則即所以所以由，所以所以所以橢圓的焦距為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的幾何關(guān)系，還考查橢圓上的點(diǎn)的切線方程，考查分析實(shí)力以及計算實(shí)力，屬難題.17.已知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】計算，可知唯一零點(diǎn)，同時可知該函數(shù)為奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)，利用不等式，以及構(gòu)造函數(shù)，最終有導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判讀即可.【詳解】由題可知：函數(shù)定義域?yàn)榍乙驗(yàn)楹瘮?shù)存在唯一零點(diǎn)所以只有一個零點(diǎn)0因?yàn)樗院瘮?shù)為奇函數(shù)，故只考慮當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)當(dāng)時，有，所以令，則因?yàn)樗院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，嫻熟運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，駕馭函數(shù)零點(diǎn)問題等價于方程根的問題又等價于兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.已知，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)函數(shù)圖象得到，依據(jù)周期得到，再依據(jù)得到，從而得到函數(shù)解析式.（2）依據(jù)函數(shù)的變換得到，再求最小值即可.【詳解】（1）由圖可得.因?yàn)椋?，?又，所以，.因?yàn)椋?所以.（2）的圖象向左平移個單位得到：，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到：，因，所以.當(dāng)，即時，取得最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，同時考查了的圖象和三角函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.19.矩形中，，，E、F分別為線段、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿翻折成四棱錐，且二面角的大小為.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，依據(jù)四邊形為正方形，可得，，然后依據(jù)線面垂直的判定定理可得面，最終可得結(jié)果.（2）依據(jù)二面角的大小為，計算點(diǎn)F到平面的距離，然后依據(jù)，計算點(diǎn)到平面的距離，同時計算，最終計算即可.【詳解】（1）由題意在矩形中，，，∴四邊形為邊長為2的正方形.連結(jié)，交于點(diǎn)M，如圖則，且.在四棱錐中，，，∴面，又面，∴（2）設(shè)點(diǎn)F到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為由（1）就是二面角的平面角，∴.∵面，∴面面，過F作于H，∵面面，∴面.又∵在中，，∴，，∴，∵，∴.由題意可得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查通過線面垂直證明線線垂直，還考查利用幾何法求解下面角，考查對線面關(guān)系的相識，考查分析實(shí)力以及計算實(shí)力，屬中檔題.20.各項都是正數(shù)的數(shù)列中，，它的前項和滿意.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得的值，再令，由得出，兩式作差可得出，然后對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況探討，利用等差數(shù)列的通項公式可分別求得當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)時的表達(dá)式，綜合可得出數(shù)列的通項公式；（2）推導(dǎo)出和，進(jìn)而可求得.【詳解】（1）對隨意的，.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，由可得，兩式作差得，，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項成以為首項，以為公差的等差數(shù)列.數(shù)列中的偶數(shù)項成以為首項，以為公差的等差數(shù)列.①當(dāng)為正奇數(shù)時，設(shè)，則；②當(dāng)為正偶數(shù)時，設(shè)，則.綜上所述，對隨意的，；（2）當(dāng)時，，①當(dāng)時，，②①②兩式相減得.當(dāng)時，，③①③兩式相加得，..【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項，同時也考查了分組求和法，考查計算實(shí)力屬于中等題.21.已知點(diǎn)F是拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點(diǎn)，與橢圓交于，，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.求的最大值及相應(yīng)的.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，然后依據(jù)，，計算可得，最終可得結(jié)果（2）假設(shè)直線的方程為，依據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計算，然后計算點(diǎn)到的距離，計算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，.得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點(diǎn)到距離為..令，則，.此時，即【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析實(shí)力以及計算實(shí)力，屬難題.22.已知.（1）若不存在極值點(diǎn)，求的最小值；（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，記在上最大值和最小值分別為，，若是常數(shù)，求的取值范圍.【答案】