南陽師院課程（課時）教學計劃培訓課件

南陽師院課程（課時）教學計劃

課程：材料力學

教師：葉鐵

院（系）：機械電子工程學院

學年學期：2017年第一學期

南陽師范學院課程教學安排

教材名稱及使用版本材料力學劉鴻文，高等教育出版社

本課程教學計劃課時數(shù)54本課程實際安排課時數(shù)72

第一章：緒論...................................4學時

第二章拉伸、壓縮與剪切.......................12學時

第三章扭轉...................................8學時

第四章彎曲內力...............................8學時

第五章彎曲應力...............................8學時

第六章彎曲變形...............................8學時

第七章應力和應變分析、強度理論...............8學時

第八章組合變形..............................8學時

第九章壓桿穩(wěn)定...............................8學時

備

注

計劃

教學

課時

學院

師范

南陽

緒論

課題

第一章

章節(jié)

子15

機械電

級

授課班

數(shù)2

課時

計劃

教

學

目

的

教

學

設

基本假

性質的

形固體

務，變

的任

力學

材料

重

點

教

學

的概念

及應力

截面法

內力、

難

點

教

學課堂講授

方

幻燈演示

法

和課后作業(yè)

手課堂討論

段

備

注

教學內容批注

第一章：緒論

1.1材料力學的任務

建筑物承受荷載而起骨架作用的部分，稱為結構。

組成結構或機械的單個部分則稱為構件或零件。如：橋梁的橋墩、

橋面等。

每一構件都應滿足一定的條件，這些條件主要是指經濟與安全。

所謂經濟是指構件應采用適當?shù)牟牧喜⑹菇孛娉叽缱钚。ㄏ淖钌俚?/p>

材料）；安全則是指構件在受力或受外界因素（如溫度改變、地基沉陷

等）影響時，應同時滿足強度、剛度及穩(wěn)定性三方面的要求。即：安

全包括三個方面：

（1）足夠的強度——構件具有足夠的抵抗破壞的能力；

（2）足夠的剛度——構件具有足夠的抵抗變形的能力，即要

把變形控制在一定的范圍內；

（3）足夠的穩(wěn)定性——構件具有足夠的保持原有平衡形式的

能力。

構件在強度、剛度和穩(wěn)定性三方面所具有的能力統(tǒng)稱為構件的承

載能力。

經濟與安全是一對矛盾的兩個方面。而材料力學就是要解決這一

矛盾，即是研究構件在各種外力或外界因素影響下的強度、剛度和穩(wěn)

定性的原理及計算方法的科學。包括對材料的力學性質的研究。這就

是材料力學的任務。

1.2材料力學與生產實踐的關系

生產的發(fā)展推動了材料力學的發(fā)展；材料力學的發(fā)展又反過來對

生產實踐起著重要的指導作用。

1.3可變形固體的性質及其基本假設

任何固體在外力作用下都要產生形狀及尺寸的改變一一即變形。

外力大到一定程度構件還會發(fā)生破壞，這種固體稱為“變形固體”。承

認構件的變形，是材料力學研究問題、解決問題的基本前提。

變形包括：（1）彈性變形——外力去掉后可消失的變形；

（2）塑性變形——外力去掉后不能消失的變形。

關于變形固體性質的基本假設：

1.連續(xù)性假設：材料內部連續(xù)、密實地充滿著物質而

毫無空隙；

-2.八’均勻性假設：材料沿各部分的力學性能完全相同；

3.各向同性假設：材料沿各方向的力學性能完全相同。

這樣的材料稱為各向同性材料，否則稱為各向異性材料。

4.小變形假設：認為受力后構件的變形與其本身尺寸相比很小。

小變形包括兩方面含義：（1）變形與原始尺寸在量級上進行比較,

很?。唬?）變形對外力的影響很小——不會顯著改變外力的作用位置

或不產生新的外力成分。

1.4材料力學主要研究對象（桿件）的幾何特征

所謂桿，是指其縱向（沿長度方向）尺寸比其橫向（垂直于長度

方向）尺寸大得多的構件。我們常見的柱、梁和傳動軸等均屬于桿。

桿件的兩個幾何元素：

1.橫截面：垂直于桿件長度方向的截面稱為桿的橫截

面。

2.軸線：各橫截面形心的連線稱為桿的軸線。

直桿的軸線為直線；曲桿的軸線為曲線。橫截面沿桿軸不變者稱

為等截面桿；改變者稱為變截面桿。桿軸線為直線，橫截面沿桿軸又

不變者稱為等截面直桿，簡稱等直桿。

1.5桿件變形的基本形式

作用在構件上的荷載是各種各樣的，因此，桿件的變形形式就呈

現(xiàn)出多樣性，并且有時比較復雜。但分解來看，變形的基本形式卻只

有四種。

1.軸向拉伸或軸向壓縮在一對大小相等、方向相反、作用線

與桿軸線重合的外力作用下，桿件將發(fā)生伸長或縮短變形，這種變形

形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮。其受力特性為外力的作用線與桿件的

軸線重合。變形特征為桿件沿軸線方向伸長或縮短。

2.剪切在一對相距很近的大小相等、方向相反、作用線與

桿軸線垂直的外力作用下，桿的主要變形是橫截面沿外力作用方向發(fā)

生錯動。這種變形形式稱為剪切。其受力特性為一對大小相等、方向

相反的外力的作用線與桿軸線垂直且相距很近。變形特征為橫截面沿

外力作用方向發(fā)生相對錯動。

3.扭轉在一對大小相等、轉向相反、作用面與桿軸線垂直

的外力偶作用下，桿件的任意兩橫截面將繞軸線發(fā)生相對轉動，這種

變形形式稱為扭轉。其受力特性為外力偶的作用平面與桿軸線垂直。

變形特征為任意兩相鄰橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉動。

4.彎曲在桿的一個縱向平面內，作用一對大小相等、轉向

相反的外力偶，這時桿將在縱向平面內彎曲，任意兩橫截面發(fā)生相對

傾斜，這種變形形式稱為彎曲。其受力特性為外力偶的作用平面在含

桿軸線在內的縱向平面內。變形特征為桿件的軸線由直線變?yōu)榍€，

任意兩橫截面發(fā)生相對傾斜。

工程中常用構件在荷載作用下的變形，在很多情況下都包含有兩

種或兩種以上的基本變形，我們把這種變形形式稱為組合變形。

南陽師范學院課時教學計劃

章節(jié)第二章課題拉伸、壓縮與剪切

計劃課時數(shù)6授課班級機械電子15

教

學

目

的

教

1.講清基本概念；

學2.理清分析問題的思路。

重

點

教

1.軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力

學2.直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力

難3.材料拉伸時的力學性能

點

教

學課堂講授

方

幻燈演示

法

和課后作業(yè)

手課堂討論

段

備

注

教學內容批注

第二章：拉伸、壓縮與剪切

2.1軸向拉伸和壓縮的概念

受軸向拉伸的桿件稱為拉桿；受軸向壓縮的桿件稱為壓桿。

受力特征：外力（或其合力）的作用線與桿軸線重合；

變形特征：沿軸向伸長或縮短。

實例：起重機吊繩、千斤頂?shù)取?/p>

PP

軸向拉伸軸向壓縮

2.2內力?截面法?軸力及軸力圖

一、內力

內力——物體一部分對另一部分的作用。

注意：這里的內力是指附加內力，是外力作用后所引起的內力改變。

二、截面法?軸力

(a)

(b)

(c)

受外力作用而處于平衡的物體，其內力可用截面法顯示并確定。

用截面法求構件內力可歸納為以下三個步驟：

1.截開在需要求內力的截面處，假想地將桿截分為兩部分；

2.代替取截開后的任一部分作為研究對象（稱為隔離體），并

把棄去部分對保留部分的作用以截開面上的內力代替；

3.平衡對保留部分即隔離體建立平衡方程，計算內力的大小和

方向。

如圖所示拉桿，由截面法可得相截面上的內力

N=P

在此說明取左、右部分為研究對象，結果相同。

由于拉壓桿橫截面上的內力N的作用線與桿軸線重合，因此，拉

壓桿的內力也稱為軸力。

符號規(guī)定：拉桿的變形是軸向伸長，其軸力為正，稱為拉力，方

向是背離截面的；壓桿的變形是軸向縮短，其軸力為負，稱為壓力，

方向是指向截面的。

必須指出，在采用截面法之前，不能隨意使用靜力學中力（或力

偶）的可移性原理，以及力的等效代換。因為這樣就會改變構件的變

形性質，并使內力也隨之改變。但在截開后建立隔離體的平衡方程時，

則可以使用力的等效代換及可移性原理。

三、軸力圖

為了表明軸力隨橫截面位置的變化情況，通常作出軸力圖。其作

法如下：選取一定的比例尺，用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位

置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數(shù)值，從而繪出表示

軸力與橫截面位置關系的圖形，稱為軸力圖。通常將正值的軸力畫在

上側，負值的畫在下側。

2.3橫截面及斜截面上的應力

要解決強度問題，不僅要知道構件沿哪個截面破壞，而且要知道

從其上哪一點破壞。

應力——是受力構件某一截面分布內力在一點處的集度。

一、應力的概念

平均應力——pm=%

AA

一般地說，截面上的分布內力并不是均勻的，故平均應力外的大

小和方向將隨所取微面積AA的大小而不同。為表明分布內力在M點

處的集度，令AA-O,則得A7/AA的極限值p,即

Az?dP

p=lim—=——

—AAdA

p稱為M點處的總應力，其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相

切。通常將總應力沿截面的法向和切向分解為兩個分量，即

cr=pcosa,T=psma

法向分量cr稱為正應力，切向分量7稱為剪應力。

二、拉（壓）桿橫截面上的應力

在拉（壓）桿橫截面上，軸力N的作用線與橫截面垂直，且通過

橫截面的形心，因此，分布在橫截面上各點的應力只有正應力。

為計算正應力CT,可首先考查桿件在受力后表面上的變形情況，

并由表及里地推出反映桿件內部變形情況的幾何關系，再根據(jù)力與變

形間的物理關系，得到應力在截面上的變化規(guī)律，最后再通過應力與

內力的靜力學關系，得到應力的計算公式。下面就以上述方法，來推

導等直拉（壓）桿橫截面上的正應力計算公式。

1.幾何方面

2

根據(jù)實驗現(xiàn)象，提出如下著名的平面假設：變形前原為平面的橫

截面，變形后仍保持為平面。

由這一假設可以推斷，拉桿所有縱向纖維的伸長相等。即，拉桿

在其任意兩個橫截面之間的伸長變形是均勻的。

2.物理方面

應力是伴隨著變形同時產生的，且與桿的變形程度有關。既然各

點的變形程度相同，則我們可以認為，橫截面上各點的正應力也是相

等的。

3.靜力學方面

根據(jù)靜力學求合力的方法

N=jdN=J<jdA=（y^dA=GA

AA

即得拉桿橫截面上正應力（T的計算公式

N

<7=—

A

式中N為軸力，A為桿的橫截面面積。對壓桿，此式同樣適用。

常用的應力單位為：Pa、kPa、MPa、GPa。其中l(wèi)Pa=lN/m\lkPa=103

Pa、lMPa=106Pa、1Gpa=109Pa-

正應力的符號規(guī)定：以拉為正，以壓為負。

必須指出，作用在桿件上的軸向外力，一般是外力系的靜力等效

力系，在外力作用點附近的應力比較復雜，并非均勻分布。但圣唯南

原理指出：“力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的

橫截面尺寸的范圍內的應力分布受到影響”。根據(jù)這一原理，除

了外力作用點附近以外，都可用上式計算應力。

當?shù)戎睏U受幾個軸向外力作用時，桿內的最大正應力為

k-Nmax

amax-.

最大軸力所在橫截面稱為危險截面，危險截面上的正應力稱為最大工

作應力。

三、拉（壓）桿斜截面上的應力

由平衡方程2才=0,可得斜截面長左上的內力

N—P

仿照橫截面上正應力分布規(guī)律的分析過程，同樣可得到斜截面上各點

處的總應力是均勻分布且與桿軸平行的結論。設斜截面k-k的外法

線n與桿軸線的夾角為a,則橫截面面積A=A.cosa,于是有

k

Ta

以P

pe=--=—COS。=<7COSdf

4An

式中％=￡為橫截面上的正應力。

A

總應力是矢量，可將它沿截面的法向和切向分解為兩個分量：

正應力氣和剪應力％。它們?yōu)?/p>

2

<Ja=pacosa=cr0cosa

,

Ta=pasina=cr0cosasina=—sin2a

（c）這就是拉（壓）桿斜截面上的正應力^算公式。其中1自桿軸轉至

斜截面的外法線，以逆時針為正，順時針為負。正應力及剪應力的符

號規(guī)則同前所述。使用公式時注意連同符號代入運算。

由式（c）可知：

1.ba和%都是a的函數(shù)。即同一點處的應力隨過該點的斜截面

的方向不同而改變。

2.當a=0°時，＜7“=5）,它是中的最大值，即桿內任一點處

的最大正應力發(fā)生在桿的橫截面上。

3.當1=45°時，7a=金，它是7a中的最大值，即桿內任一點

處的最大剪應力發(fā)生在45°斜截面上，其值等于該點處最大正應力的一

半。

4.當a=90°時，cra=O,ra=0,即在桿的縱向截面上無應力存

在。

通過以上分析，我們已經清楚地了解了拉（壓）桿內任一點處各

個不同方向截面上的應力情況。

我們把通過一點的所有不同方向截面上應力情況的總和稱為該點

處的應力狀態(tài)。由式（c）可知，在所研究的拉（壓）桿中，一點處的

應力狀態(tài)由其橫截面上的正應力bo即可完全確定，這樣的應力狀態(tài)就

稱為單向應力狀態(tài)。

2.4拉（壓）桿的變形-虎克定律

一、拉（壓）桿的變形

1.縱向變形

拉（壓）桿的原長為L,受力變形后其長度變?yōu)閁,則桿的絕對

伸長為

---'—L—1----

一L一

A￡=Li-L

絕對線變形AL的大小與原長度有關。為了更好地說明桿件變形

的程度，引進相對線變形

AL

￡=——

L

式中￡——相對線變形，是一個無量綱的量，表示單位長度的縱向變

形（當沿桿長度均勻變形時），常稱為縱向線應變，簡稱為線應變。當

￡為正時，對應于拉伸，稱為拉應變；當￡為負時，對應于壓縮，稱

為壓應變。

當沿桿長度為非均勻變形時，

2.橫向變形

拉（壓）桿在縱向變形的同時產生橫向變形。設桿的原有橫向尺

寸為“，受力變形后變?yōu)楣势錂M向變形為

Nd=小-d

在均勻變形情況下，其相應的橫向線應變?yōu)?/p>

,Nd

￡=——

d

由于壓桿的Ad與其AL的符號向反,故橫向線應變短與縱向線應變￡

的正負號相反。

二、虎克定律

對工程中常用的材料，經大量的實驗表明，當桿內的應力不超過

材料的某一極限（比例極限）時，力與變形之間存在以下關系：

引進比例常數(shù)E,貝IAL=—=—

EAEA

（a）式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，它表示材料在拉伸或壓縮時抵

抗彈性變形的能力，其量綱為［力］/［長度］2,單位為帕。￡的數(shù)值隨材

料而異，是通過實驗測定的。

EA稱為桿的抗拉（抗壓）剛度,對于長度相等且受力相同的拉（壓）

桿，其抗拉（壓）剛度越大，則桿件的變形越小。

以。=兇4和￡="/心代入（a）式，則得

_<7

￡~E

（b）式（a）與式（b）是虎克定律的兩種不同的表達方式。前者是對

桿的，只適用于受軸向外力的桿件。后者是針對桿中一點的，而拉（壓）

桿中任一點的應力狀態(tài)是單向應力狀態(tài)，所以，凡是單向應力狀態(tài)，

式（b）均適用。

實驗結果還表明，當拉（壓）桿內的應力不超過材料的比例極限

時，

s'

v=-

￡

或改寫為￡=-V￡

式中負號表示￡'與￡的正負號恒相反。U稱為橫向變形系數(shù)或泊松比,

是一個無量綱的量，其數(shù)值隨材料而異，也是通過實驗測定的。

2.5拉（壓）桿內的應變能

一、應變能

彈性體在受力后要發(fā)生變形，同時彈性體內將積蓄能量。這種因

彈性變形而積蓄在彈性體內的能量，稱為“彈性應變能”或簡稱為“應

變能”。略去其它微小的能量損耗不計，可以證明應變能在數(shù)值上等于

外力對彈性體所作的功。

u=w

P

應變能U的單位為焦耳，符號為J,lJ=lN-m。

在荷載P的作用下，桿伸長了AL,這也是荷載作用點的位移。由

于在彈性變形范圍內，P與AL成線性關系，因此，P力對此位移所作

的功可由圖中的三角形面積來計算。即

W=-PAL

2

積蓄在桿內的應變能為

2

TT1?Ar1Ar.rNLEA-2

U=—P?AZ^=-N?AZy=----=----N，

222EA2L

二、比能

單位體積內的應變能，稱為比能，用u表示

比能的單位用J/H?表示。

以上計算拉桿內應變能的各公式也適用于壓桿。而上式則普遍適

用于所有的單向應力狀態(tài)。

這里必須指出，應變能的概念只適用于彈性變形，而不適用于塑

性變形，即不能從拉伸圖直線階段的三角形面積推廣到拉伸圖的全部

面積。但是，拉伸圖的全部面積可以代表拉（壓）桿的破壞功，這個

面積越大，則使拉（壓）桿破壞所需的功就越大，因而這一拉（壓）

桿抵抗沖擊的能力就越強。

2.6材料在拉伸和壓縮時的力學性能

一、材料的拉伸和壓縮試驗

1.拉伸試件L=10d或L=5d（圓

形截面）

L=11.3VI或L=5.65/A（矩形

截面）

式中A為矩形截面的面積。

2.壓縮試件L/d或L/b規(guī)定為1~3。

3.主要設備

一是加力、測力的機器，通常采用萬能試驗機，也可用拉力機或

壓力機；一是測量變形的儀器，通常采用的有杠桿變形儀、鏡式引伸

儀、電阻應變儀等。

4.試驗條件：常溫、靜載。

二、低碳鋼試件的拉伸圖及其力學性能

低碳鋼是工程上使用廣泛、用量最大的一種鋼材，它的力學性能

有較大的代表性，所以我們首先來討論這種材料。

1.拉伸圖

一般萬能試驗機上備有自動繪圖設備，可以繪出試件在試驗過程

中工作段的伸長和荷載間的關系曲線，此曲線通常以橫坐標代表試件

工作段的伸長量AL而以縱坐標代表萬能試驗機上的荷載P,習慣上

稱為試件的拉伸圖。

由圖可見，低碳綱在整個拉伸試驗過程中，其工作段的伸長量與

荷載間的關系大致可分為以下四個階段。

第I階段——彈性階段在這一階段開始后的絕大部分中，尸與A

L保持直線關系，即尸與△乙成正比。

第II階段——屈服階段或流動階段在變形繼續(xù)增長的過程中，

荷載保持在某一數(shù)值附近上下波動。如果略去這一微小的變化，則可

認為荷載保持不變，而變形繼續(xù)迅速增加，這一現(xiàn)象通常稱為屈服或

流動。若試件表面經過拋光，此時可見到與軸線成45°方向的條紋，它

們是由于材料沿試件的最大剪應力面發(fā)生滑移而出現(xiàn)的，稱為滑移線。

第III階段——強化階段經過屈服階段以后，P與△L恢復曲線上

升的關系，直到拉伸圖的最高點。在這一階段中，如果不增加荷載，

則變形也不發(fā)展。試件在強化階段中的變形主要是塑性變形，可以較

明顯地看到整個試件的橫向尺寸在縮小。

第w階段一一局部變形階段從曲線最高點到試件斷裂的一點是

材料的破壞階段。試件某一段內的橫截面開始收縮，出現(xiàn)所謂“頸縮”

現(xiàn)象。在此階段，由于“頸縮”部分的橫截面面積急劇縮小，因此，

荷載反而下降，一直到試件被拉斷。

卸載規(guī)律——若在強化階段中停止加載，并將荷載緩慢減少即卸

載，則可看到，拉伸圖中的P-AL曲線將按直線規(guī)律下降，這條直線

EF與彈性階段的直線近乎平行。由此可見，在強化階段中，試件的變

形包括兩個部分：塑性變形ALs，彈性變形ALe。在卸載過程中彈性

變形ALe逐漸消失，只留下塑性變形ALs。

若卸載后又立即加載，則P-AL曲線仍沿EF上升，到達E點后，

又大致上順著拉伸圖的原有關系曲線繼續(xù)發(fā)展，直至破壞。

冷作硬化——經過一次拉伸并達到強化階段的試件，當再加載時，

試件在線彈性范圍內所能承受的最大荷載將增大，而塑性變形則相應

減少，這一現(xiàn)象通常稱為冷作硬化。工程上常利用這一特性來提高鋼

筋和鋼纜繩等構件在線彈性范圍內所能承受的最大荷載。

冷作時效——若試件經過拉伸至強化階段卸載，不立即加載，而

是經過一段時間后再加載，則其線彈性范圍內的最大荷載進一步提高。

這種現(xiàn)象稱為冷作時效。

低碳鋼拉伸試件的斷口呈杯狀，靠近表面部分有約45°方向的斜

面。

2.應力一應變曲線及其特征

試件的拉伸圖只能代表試件的力學性能，它與試件的粗細和長度有

很大的關系。為了反映材料的力學性能，必須消除試件尺寸的影響。

為此我們將拉伸圖的縱坐標除以試件的原橫截面面積A,同時將橫坐

標除以試件的原長L,這樣得到的曲線，與試件的尺寸無關，可以代

表材料的力學性能。此曲線稱為應力一應變曲線，即b-￡曲線。

(1)反映強度特性的重要指標

比例極限bp——直線段的最高點對應的應力。在此范圍內虎克定

律成立。

彈性極限be——發(fā)生彈性變形的最高點對應的應力。

be與(TP相差不大，在實測中很難區(qū)分，因此，將兩者混同起來,

統(tǒng)稱為彈性極限。

屈服極限或流動極限SS——應力(T有幅度不大的波動，其最高點

C的應力稱為屈服高限，最低點D的應力稱為屈服低限。試驗結果表

明，屈服高限不穩(wěn)定，受加載速度等許多因素的影響較大，而屈服低

限則較為穩(wěn)定。因此，通常將屈服低限作為材料的屈服極限，此時，

材料發(fā)生顯著的塑性變形。

強度極限Ob——使材料完全喪失承載能力的最大應力值。

上述所有四個極限應力都是反映材料強度特性的重要指標，而屈

服極限和強度極限更是構件設計時的重要依據(jù)。

(2)衡量材料塑性的重要指標

延伸率(或伸長率)d——是試件標距范圍內的應變值，代表試件

拉斷時的塑性變形程度。其值通常用百分數(shù)來表示，即

T-T

5=」^xl00%

和工作段的長度與橫截面尺寸的比值有關系。通常不加說明的d指的

是L=10d的標準試件的延伸率。

截面收縮率〃=-----Lxl00%

A

式中Ai為斷口處的最小橫截面面積。

Q235鋼的強度特性指標的平均約值如下：

ss=240MPa,sb=390MPa,d=20~30%,y=60%

左右

在實際工程中，通常將材料分為塑性材料和脆性材料兩類。一般

將d25%的材料稱為塑性材料，而將d〈5%的材料稱為脆性材料。

由s-e曲線中直線段OA的斜率還可確定材料的彈性模量E,即

E=tga

三、其它金屬材料在拉伸時的力學性能

1.塑性材料

16鎰鋼及一些高強度低合金鋼的s-e曲線與低碳鋼十分相似，有

明顯的彈性階段、屈服階段和強化階段，也有頸縮現(xiàn)象。它們與低碳

鋼相比，屈服極限和強度極限都顯著地提高了，而屈服階段稍短且延

伸率略低。

對于其它金屬材料，s-e曲線并不都像低碳鋼那樣具備四個階段。

如退火球墨鑄鐵、鋁合金沒有屈服階段，其它三個階段都很明顯。另

外一些材料例如鑄鋼則僅有彈性階段和強化階段，而沒有屈服階段和

局部變形階段。這些材料的共同特點是延伸率d均較大，它們和低碳

鋼一樣都屬于塑性材料。

“名義屈服極限”so.2——對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通

常規(guī)定以塑性應變es=0.2%時的應力作為屈服極限，稱為名義屈服極

限。

2.脆性材料

灰口鑄鐵是明顯的脆性材料，其特點是：沒有屈服階段，強化階

段和頸縮階段，也沒有明顯的直線階段。而且強度低，拉斷時的變形

很小，延伸率低，斷口沿橫截面。強度極限Sb是衡量材料強度的唯一

指標。

在實際工程中，對于沒有直線階段的材料，通常用規(guī)定某一總應

變時s-e曲線的割線(圖中的虛線)來代替變形開始部分的曲線，從

而確定其彈性模量E,并稱為“割線彈性模量”。

四、金屬材料在壓縮時的力學性能

1.塑性材料(低碳鋼)

低碳鋼在壓縮時的s-e曲線有如下特點：

(1)與拉伸時有相似之處，有直線階段、屈服階段和強化階段。

(2)但由于低碳鋼是塑性材料，延性較好，隨著荷載的不斷增加，試

件被壓成鼓性，其橫向尺寸不斷增加，而單位面積上所受到的力增加

很慢，以至無法測出低碳鋼的壓縮強度極限。

可見，低碳鋼在壓縮時的彈性模量、比例極限、屈服極限與拉伸

時相同，因此，對于低

碳鋼就沒有必要再做壓縮試驗了。我們可以從拉伸試驗的結果來了解

它在壓縮時的重要的力學性能。

類似情況在一般的塑性材料中也存在。但有些材料（例如銘鋁硅

合金鋼）在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同。對這些材料就需要做

壓縮試驗，以確定其壓縮屈服極限。

2.脆性材料（鑄鐵）

與塑性材料不同，脆性材料在壓縮和拉伸時的力學性能有較大的

區(qū)別。鑄鐵在拉伸和壓縮時的s-e曲線如圖所示。實驗表明，其壓縮

強度指標和塑性指標比拉伸時大得多，所以鑄鐵宜于用作受壓構件。

鑄鐵壓縮破壞面與軸線的夾角稍大于45°。

五、幾種非金屬材料的力學性能

1.混凝土

天然石料與混凝土也是抗壓強度高于其抗拉強度的脆性材料，且

比鑄鐵更脆。一般都

用于受壓構件，其s-e曲線與鑄鐵相似，而破壞形式則隨試件兩端的

約束條件而有所不同。當潤滑不好，兩端承壓面的摩擦阻力較大時，

壓壞后呈兩個對接的截錐體；當潤滑較好、摩擦阻力較小時，則沿縱

向開裂?；炷恋目估瓘姸群苄?，約為抗壓強度的1/5T/20,故在用

作受彎構件時，其受拉部分一般用鋼筋來加強。

2.木材

木材的力學性能具有方向性，隨應力方向與木紋方向間傾角的不

同而有很大差異。木材的順紋抗拉強度比順紋抗壓強度高，但由于木

材在順紋拉伸時比在順紋壓縮時受木節(jié)等缺陷的影響大，因此，在工

程中，一般將木材用作柱、斜撐等受壓構件。木材橫紋抗拉強度很低,

工程中應避免。在橫紋壓縮時，s-e曲線的初始階段基本上是直線，

即應力與應變成正比，當應力超過比例極限后，曲線趨于水平，并產

生很大的塑性變形，因此，工程中通常以其比例極限作為強度指標。

￡

3.玻璃鋼

玻璃鋼是由玻璃纖維（或玻璃布）作為增強材料，與熱固性樹脂

粘合而成的復合材料。其主要優(yōu)點為：重量輕，比強度（抗拉強度/密

度）高，成型工藝簡單，且耐腐蝕、抗震性能好。因此，玻璃鋼作為

結構材料在工程中得到廣泛應用。

玻璃鋼的力學性能與所用的玻璃纖維和樹脂的性能，以及兩者的

相對用量和相互結合的方式有關。纖維呈單向排列的玻璃鋼沿纖維方

向拉伸時的應力一應變曲線如圖所示，直至斷裂前，基本上是線彈性

的。由于纖維的方向性，玻璃鋼的力學性能是各向異性的。

六、溫度、加載速度、時間對材料力學性質的影響

1.溫度的影響：大多數(shù)情況是溫度升高，材料的塑性增大，而

SS和Sb降低。

2.加載速度的影響：加載速度小時變形大；加載速度大時變形小。

3.時間的影響：

蠕變：在超過某一界限的固定溫度和固定應力作用下，材料的塑

性變形將隨時間的增長而不斷發(fā)展。這一現(xiàn)象稱為蠕變。熔點越高，

蠕變產生時的溫度越高。

應力松弛：受拉構件在固定溫度下受力時，若兩端位置固定不變

（總伸長量不變），則由于蠕變現(xiàn)象，其彈性變形將逐步為塑性變形所

取代，從而使構件中的應力隨時間的增長而逐漸降低。這種現(xiàn)象稱為

應力松弛。

七、兩類材料力學性能的比較

塑性材料與脆性材料是根據(jù)常溫、靜載下拉伸試驗的延伸率來區(qū)

分的。這兩類材料在力學性能上的主要差異表現(xiàn)在下列四個方面：

1.變形方面塑性材料在破壞前的變形大，塑性指標較高，一般

有屈服階段；脆性

材料在破壞前的變形較小，塑性指標較低，且沒有屈服階段。

2.強度方面塑性材料常用的強度指標是屈服極限，且在拉伸和

壓縮時的屈服極限一般相同，故既可用于受拉構件，也可用于受壓構

件；脆性材料的強度指標是強度極限，且拉伸強度遠低于壓縮強度，

故適用于受壓構件。

3.抗沖擊方面由于使塑性材料破壞所需要作的功較大，故塑性

材料抵抗沖擊的能力要比脆性材料強。對承受沖擊或振動的構件，宜

采用塑性材料。

4.受應力集中影響方面因為塑性材料有較長的屈服階段，所以

當桿件孔邊最大應力到達屈服極限時，若繼續(xù)加力，則孔邊材料的變

形將繼續(xù)增長，而應力保持不變，所增加的外力只使截面上屈服區(qū)域

不斷擴展，這樣橫截面上的應力將逐漸趨于均勻。所以，塑性材料對

應力集中并不敏感。而脆性材料則不然，隨著外力的增加，孔邊應力

也急劇上升并始終保持最大值，當達到強度極限時，孔邊首先產生裂

紋，所以脆性材料對應力集中就十分敏感。塑性材料在常溫靜載荷作

用時，可以不考慮應力集中的影響，而脆性材料則必須加以考慮。

應該注意，材料是塑性的還是脆性的，并非一成不變，它將隨材

料所處的溫度、應變率和應力狀態(tài)等條件的變化而不同。例如，當溫

度發(fā)生很大的變化時，塑性材料可能轉化為脆性材料，而脆性材料也

可能呈現(xiàn)出良好的塑性。

2.7強度條件?安全系數(shù)?許用應力

一、拉（壓）桿的強度條件

確保拉（壓）桿不致因強度不足而破壞的強度條件為

bmaxW［CT］

對于等截面直桿，可改寫為

Nr1

式中的許用應力可由有關的設計規(guī)范中查得，它的確定稍后再作

討論。

針對不同的具體情況，根據(jù)拉（壓）桿的強度條件，可解決三種

不同類型的強度計算問題，即：

（1）強度校核

已知［。］、A和所承受荷載（即間接地已知內力Nmax）,可用強

度條件校核桿的強度是否能滿足要求，若強度條件成立，則表示桿的

強度是足夠的。否則即要加大桿的橫截面面積A或減小荷載。

根據(jù)既要保證安全又要節(jié)約材料的設計原則，在對桿進行強度校

核時，還應注意一方面不使桿內的最大工作應力小于許用應力

太多；另一方面，在必要時也可允許。儂稍大于但一般設

計規(guī)范規(guī)定以不超過許用應力的5%為限。

（2）截面選擇

已知Nmx和,根據(jù)強度條件即可求出所需的橫截面面積A,

根據(jù)計算出來的A值選用截面的形狀和尺寸時，也允許采用的A

值稍小于其計算值，但仍應以。3不超過許用應力的5%為限。

（3）確定許可荷載

已知A和［cr］,則可確定桿內容許承受的最大軸力，并從而計算

出容許它承擔的最大荷載。

NmaxWA［tr］

a）自重對強度的影響：

pP

A+rL-［a］或

由此式可知，若桿的gL與其材料的［s］相比很?。磄L＜〈［s］）,則桿

的自重影響很小而可略去不計。

b）自重對變形的影響：

等直桿因自重而引起的伸長等于將桿重的一半作用在桿端所引起

的伸長。

二、許用應力和安全系數(shù)

材料的許用應力是根據(jù)材料的極限應力來確定的。

式中的n是大于1的安全系數(shù)，極限應力su,對塑性材料是冬或so.

2,對脆性材料是Sb。兩者的安全系數(shù)是不同的。由于脆性材料的破壞

以斷裂為標志，而塑性材料的破壞則以開始發(fā)生一定程度的塑性變形

為標志，兩者的危險性顯然不同，且脆性材料的強度指標值的分散度

較大，因此，一般脆性材料安全系數(shù)nb規(guī)定得比塑性材料的安全系數(shù)

及要大。一般在靜荷載時，ns=1.4~1.7,a=3~9。

安全系數(shù)的選取牽涉到許多因素，但主要包括兩方面的考慮：一

是為主觀與客觀的差異留余地；另一方面是為意外情況和將來的發(fā)展

留儲備。選取安全系數(shù)時，具體需要考慮的因素如下：

1.荷載性質（靜荷載或動荷載）；

2.荷載數(shù)值的準確程度；

3.計算方法的準確程度；

4.材料的均勻程度；

5.材料的力學性質與試驗方法的可靠程度；

6.結構物的工作環(huán)境、重要性與使用年限；

7.施工方法（能否滿足設計要求）；

8.地震影響，國防要求等。

2.9應力集中的概念

等直桿在軸向拉伸（壓縮）時，橫截面上的正應力是均勻分布的。

但在實際工程中，往往需要在桿件上開槽、挖孔或帶有軸肩等，這樣

就引起了桿件橫截面尺寸的突然改變。實驗和理論分析表明，在尺寸

發(fā)生突變的橫截面上，正應力是非均勻分布的，例如開有圓孔和帶有

切口的板條，當其受拉時，在圓孔和切口的邊緣應力有急劇增大的現(xiàn)

象，但在離圓孔或切口稍遠處，應力即迅速下降并趨于均勻。這種由

于截面尺寸突然改變而引起的局部應力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應力集

中。應力集中的程度通常用截面上最大局部應力Smax與該截面上的名

義應力Snom（軸向拉壓時即為截面上的平均應力）的比值七來表示（下

標S表示是正應力），此比值稱為理論應力集中系數(shù)，即

實驗表明，截面尺寸改變得越急劇，孔越小、角越尖，勺值就越大，

應力集中的程度就越嚴重。對于工程上各種典型的應力集中情況，其

應力集中系數(shù)可在有關的工程手冊中查到。

應力集中對桿件的工作是不利的。因此在設計中應盡可能避免截

面尺寸發(fā)生突然改變，使桿的外形平緩光滑，以減小應力集中的影響。

南陽師范學院課時教學計劃

章節(jié)第三章課題扭轉

計劃課時數(shù)4授課班級機械電子15

教

學

目

的

教

1.分析圓形截面桿扭轉問題的思路；

學2.進一步鞏固強度、剛度的概念及其計算方法。

重

點

教

1.圓軸扭轉時的應力

學2.圓軸扭轉時的變形

難

點

教

學課堂講授

方

幻燈演示

法

和課后作業(yè)

手課堂討論

段

備

注

第三章：扭轉

3.1概述

扭轉變形的受力特點：外力偶是作用平面垂直于桿軸的平衡力系。

扭轉變形的變形特征：任意兩橫截面繞桿軸發(fā)生相對轉動。

相對轉動的角位移稱為扭轉角。

3.2薄壁圓筒的扭轉

一、概念

扭矩——扭轉變形橫截面上的內力偶矩，用T表示。根據(jù)截面法,

相對扭轉角——圓筒兩端截面之間相對轉動的角位移，用（P表示。

剪應變——直角的改變量，用/表示。從幾何關系可知，剪應變

沿周向是相同的。

二、扭轉時橫截面上的剪應力

剪應變和橫截面上沿圓周切線方向的剪應力是相對應的，由剪應

變沿圓周相等的現(xiàn)象及材料的均勻連續(xù)性假設，可以推知沿圓周各點

處剪應力的方向與圓周相切且數(shù)值相等；又由于壁厚/遠小于其平均半

徑廠0,故可近似地認為沿壁厚方向各點處剪應力的數(shù)值相同。綜上分

析就可得出，薄壁圓筒扭轉時，橫截面上任一點處的剪應力7都是相

等的，而其方向與圓周相切。

根據(jù)靜力學關系

frdA-r0-T=>T=-^—其中

JAArQ

A=2說?t

若令A=汨則

T

T=----------

2AQ,t

三、扭轉變形

尸"式中「為薄壁圓筒的外

L

半徑

四、剪切虎克定律

試驗表明，當外力偶矩在某一范圍內時，此時（即剪切比

例極限），相對扭轉角與外力偶矩成正比，剪應力與剪應變成正比，即

T=Gy——剪切虎克定律

G——剪切彈性模量

3.3傳動軸的外力偶矩?扭矩及扭矩圖

一、傳動軸的外力偶矩

已知：功率NK（bv）或N（馬力），轉速“（轉/分）

求：外力矩m（左Mn）

公式推導：

27m

*.*CD=------NK~mw

60

N60NKQS’NKJV^O.735N

m=---K--=----------=y.jj------=y.jj--------------=/—

co27mnnn

二、扭矩及扭矩圖

1.扭矩的計算

計算方法：截面法

扭矩Mr的符號規(guī)定一一右手螺旋定則：用右手的四指表示〃『的

轉向，當大拇指指離隔離體時，AG為正；當大拇指指向離隔離體時，

MT為負。

2.扭矩圖

規(guī)定將正的扭矩畫在基線（代表橫截面位置）的上方；負的畫在

基線的下方。作圖方法與軸力圖相同。

舉例說明。

3.4等直圓桿在扭轉時的應力?強度條件

一、橫截面上的應力

1.幾何方面（實驗觀察得變形規(guī)律）

實驗現(xiàn)象：a.所有縱向線變成平行斜線；

b.圓周線的形狀及尺寸均未改變;

c.圓周線之間的距離未變。

由此得假設：

a.剛性平面假設：變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，且

任意兩橫截面象剛性圓片那樣繞桿軸發(fā)生相對轉動。

b.扭轉后兩橫截面間的距離保持不變（無軸向拉、壓變形）。則

可由以上假設推得變形規(guī)律：

/=必

pdx

（2）物理方面

T<Tp時

TP=Gy.=Gp酶方向與半徑垂直。

dx

（3）靜力學方面

\AprpdA=T

fGp?鮑dA=T

iAdx

G^fp2dA=T

dxU

令I=fp2一極慣矩（單位等）

PJAdA

則鮑=工~.生

dxGIPIP

%ax發(fā)生在夕max處的圓周各點，

,SmaxT

IpWt

其中wt=^-——抗扭截面系數(shù)單位：加等。

「max

2.極慣矩及抗扭截面系數(shù)的計算

（1）圓形截面

取dA=Zn:p?dp則

r27,<d/23兀d，

/Tp=J/dA=Jo27ipdp=—

TIZIP欣4/327rd3

Wt===

夕maxdll16

(2)圓環(huán)形截面(外徑D,內徑d)

兀4

rr2,4產/2c3JD"nd^7VD(4\

IP—\pdA.—I271Pdp---------------=-------(1—CLI

Jd/2323232\7

其中a=d/D

二、斜截面上的應力

1.剪應力互等定理

用邊長無限微小的六面體表示“點”，其受力如圖所示，對邊面相

距很近可視為同一平面，其上應力不改變。

7的符號規(guī)定：以繞研究對象順時針轉為正，逆時針轉為負。

根據(jù)平衡條件=0得

(r'dxdz)dy=(rdydz)dx/.T'=T

剪應力互等定律：通過受力構件內一點所作的互相垂直的兩截面

上，若是垂直于兩截面交線的剪應力，則其大小相等，方向同時指向

或同時背離相交的棱邊。

2.純剪切應力狀態(tài)

在單元體的兩對互相垂直的平面上只有剪應力，而無正應力；在

另一對平面上，沒有任何應力(即為零應力面)，這樣的應力狀態(tài)稱為

純剪切應力狀態(tài)。

構件內各點的應力狀態(tài)都為純剪切應力狀態(tài)時，則該構件處于純

剪切。如薄壁圓筒。

3.斜截面上的應力

求純剪切應力狀態(tài)的單元體a斜截面上的應力，可沿1斜截面將

單元體假想地截開，取隔離體如圖所示。由平衡條件

En=0,cradA+(rdAcosa)sina+(rt/Asina)cosen=0

Et=0,7adA-(zdAcosa)cose+(r'dAsin?)sintz=0

：.\fcra?=-rsin2a