蘇教版2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：選擇性必修第一冊+第二冊知識點清單匯編

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第1章:i線與方程知識點清單

目錄

第一章直線與方程

1.1直線的斜率與傾斜角

1.2直線的方程

1.3兩條直線的平行與垂直

1.4兩條直線的交點

1.5平面上的距離

第1頁共in頁

第一章直線與方程

1.1直線的斜率與傾斜角

一、直線的斜率

1.對于直線I上的任意兩點P(Xi,yO,Q(X,y),如果X1#X2,那么直線I的斜率k二漢

22X2-Xl

(X1NX2).如果X1=X2,那么直線I的斜率不存在.

二、直線的傾斜角

1.在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線，把X軸繞著交點按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)到與直線重合時，所轉(zhuǎn)過的最小正角a稱為這條直線的傾斜角.

2.規(guī)定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.因此，直線的傾斜角a的取值范圍

是{ot|0Wa<n}.

三、直線的斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

1.當(dāng)直線與x軸不垂直時,該直線的斜率k與傾斜角a之間的關(guān)系為k二tana(aW?

四、傾斜角和斜率的關(guān)系及其應(yīng)用

1.當(dāng)直線I的傾斜角a￡[o,習(xí)時，也0,且a越大，斜率k越大；「，

當(dāng)直線I的傾斜角n)時，k<0,且a越大，斜率k越大；」

當(dāng)直線I的傾斜角a三時，它的斜率不存在.7Ta

k=tana(0<a<it,aw])的圖象如圖所示.”

2.由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象，可得到傾斜角a的范圍；反過來，由傾斜角a的

范圍截取函數(shù)圖象，可得到斜率k的范圍.

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五、直線斜率的應(yīng)用

1.求解三點共線問題

若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上，則kAB=kAC（或kAB=kBC或kAC二kBc）；反

之,若之二kAc（或kABnkBc或kAc=kBc）,則直線AB與AC（或AB與BC或AC與BC）的斜率

相同，又過同一點A（或B或C）,所以點A,B,C在同一條直線上.

2.求形如三的代數(shù)式的范圍（最值）問題

形如壯的范圍（最值）問題，可以利用T的幾何意義：過定點（a,b）與動點（x,y）的

x—ax—a

直線的斜率，并借助圖形解決.

1.2直線的方程

一、截距

我們把直線I與y軸的交點（0,b）的縱坐標(biāo)b稱為直線I在y軸上的截距；直線I

與x軸的交點（a,0）的橫坐標(biāo)a稱為直線I在x軸上的截距,（不是距離，可正、可負(fù)、

可為0）

二、直線的方程

名稱方程形式已知條件適用范圍

點斜式方程y-yi=k(x-xi)直線上一定點區(qū),y）斜率k不垂直于X軸的直線

斜截式方程y=kx+b斜率k,直線在y軸上的截距b不垂直于X軸的直線

y-yi_x-x!

不垂直于x軸和y軸

兩點式方程yz-yi乂2-XT直線上兩點%,yi),(x,y)

(Xi0X2,yi7^y2)22的直線

直線在x軸、y軸上的非零截不垂直于x軸和y軸，

截距式方程ab

(aXO,b聲0)距a,b且不過原點的直線

Ax+By+C=O

一般式方程系數(shù)A,B,C任何位置的直線

(A,B不全為0)

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注：幾種特殊的直線：

(1)X軸：y=0；

(2)y軸：x=0；

⑶平行于x軸的直線：y=b(b#O)；

(4)平行于y軸的直線:x=a(a#O)；

⑸過原點的直線：y=kx或x=0.

三、直線方程的合理選擇和求解

1.直線方程的合理選擇

⑴已知一點的坐標(biāo)，求過該點的直線方程，一般選取點斜式方程，再由其他條件確定

直線的斜率.注意斜率不存在的情況.

⑵已知直線的斜率，一般選用斜截式方程，再由其他條件確定直線的截距.

⑶已知兩點坐標(biāo)，一般選用兩點式方程或點斜式方程，若兩點是直線與坐標(biāo)軸的交點，

則選用截距式方程.

2.求直線方程的兩種方法

⑴直接法：根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時應(yīng)注

意各種形式方程的適用范圍，必要時進(jìn)行分類討論.

⑵待定系數(shù)法：先設(shè)含有參數(shù)的直線方程，然后根據(jù)條件列出方程(組)，求出參數(shù)，

最后將其代入得到直線方程.

注意：

①在求直線方程時，通常將結(jié)果化為一般式方程.

②一般式方程的寫法要求：

(i)x的系數(shù)為非負(fù)數(shù)；

(ii)x,y的系數(shù)都為整數(shù)；

(iii)各項系數(shù)沒有公約數(shù).

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四、利用直線方程中系數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題

1.對于含參數(shù)的直線方程，一般將方程整理成點斜式或斜截式，然后利用系數(shù)的幾何

意義，結(jié)合圖形探求和證明過定點問題.

2.根據(jù)斜截式方程中k,b的幾何意義，可確定函數(shù)圖象的位置分布.

1.3兩條直線的平行與垂直

一、兩條直線（不重合）平行的判定

類型斜率都存在斜率都不存在

葉片尸蚌+“

RL

4.

圖示0\^)rx

\\\

11〃120kl=1<2

對應(yīng)關(guān)系兩直線斜率都不存在=11〃12

二、兩條直線垂直的判定

類型斜率都存在一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0

2

l-y=kx+b

圖示]ll

一0X

0X

僮斜率不存在，）11|2

對應(yīng)關(guān)系1」I2=kil<2=-1

12的斜率為0

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三、兩條直線平行

1.利用直線方程判定直線平行

⑴已知直線11:y=kix+bi,12：y=k2x+b2,則Ii〃l2=ki=k2,且bi^b2.

⑵已知直線h：Aix+Biy+Ck0（A］，B］不全為0）,l2：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不全為0）,

或［AIB?-A?Bi=0,

財〃叱仁晨。tB1C2-B2clW0.

當(dāng)A2B2C2KO時，二白六詈.

氏2t*2。2

2.與已知直線平行的直線方程的設(shè)法

⑴與直線y=kx+b平行的直線的方程可設(shè)為y=kx+m（mWb）；

⑵與直線Ax+By+C=0（A,B不全為0）平行的直線的方程可設(shè)為Ax+By+m=0（mWC）.

四、兩條直線垂直

1.利用直線方程判定直線垂直

（1）已知直線1:y=kiX+bi,I2:y=kzX+bz,則li~Ll2Qkrk2=-l.

⑵已知直線li：A1x+B1y+Ci=0（A1,B］不全為0）,12：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不全為0）,

則II_LI2=AA+BIB2=0.當(dāng)B1B2六0時，I1U2Q*?警:-L

2.與已知直線垂直的直線方程的設(shè)法

1

⑴與直線尸kx+b（kX0）垂直的直線的方程可設(shè)為y=-K-x+m；

⑵與直線Ax+By+C=0（A,B不全為0）垂直的直線的方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.

五、平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用

1.利用平行、垂直關(guān)系求參數(shù)

已知兩條直線平行、垂直關(guān)系求參數(shù)時，根據(jù)定點L定點2中平行、垂直的判

定條件建立方程（組）求解.用點的坐標(biāo)表示斜率，通過斜率列關(guān)系式時，要注意對參數(shù)

的討論.

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2.利用平行、垂直判斷圖形形狀的步驟

⑴描點：在坐標(biāo)系中描出給定的點.

⑵猜測：根據(jù)描出的點猜測圖形的形狀.

⑶求斜率：若斜率不存在，則直接說明；若斜率存在，則根據(jù)給定點的坐標(biāo)求出直線

的斜率.

⑷結(jié)論：由斜率之間的關(guān)系判斷圖形形狀.

注意在求解過程中既要考慮斜率是否存在，又要考慮圖形可能出現(xiàn)的各種情形.

1.4兩條直線的交點

一、兩條直線的交點

1.設(shè)兩條直線h：AiX+Biy+Ci=O,。：AzX+Bzy+CzR,將兩條直線的方程聯(lián)立,得到方

程組：收x+?+?=0。若方程組有唯一解，則兩條直線相交，以此解為坐標(biāo)的

IA2x+B2y+C2=0.

點就是兩直線的交點.

二、兩條直線的位置關(guān)系與方程組解的聯(lián)系

已知直線h:AiX+Biy+Ci=0,直線I2:A2x+B2y+C2=0.

AiX+Biy+Ci=0,的解

方程組?一組無數(shù)組無解

1A2x+B2y+C2=0

直線k,b的公共點一個無數(shù)個零個

直線L.12的位置關(guān)系相交重合平行

三、求過兩條直線交點的直線方程的方法

1.直接法：求出兩直線的交點，作為待求直線上的已知點，再根據(jù)已知條件求出待求

直線的方程.

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2.待定系數(shù)法：設(shè)經(jīng)過兩直線li：AiX+B1y+Ci=O（Ai,B］不全為0）,12：A2x+B2y+C2=0

（A2,B2不全為0）的直線方程為AiX+B1y+Ci+NA2X+B2y+C2）=0（人為任意實數(shù)），然后根

據(jù)條件求入.

注意該設(shè)法中直線的方程可表示除卜外所有過兩直線交點的直線.

四、求解直線過定點問題的常用方法

1.將直線方程轉(zhuǎn)化為y-y產(chǎn)k（x-x。）的形式，則直線必過定點（x。，y。）.

2.應(yīng)用分離參數(shù)的方法，將直線方程轉(zhuǎn)化為aiX+biy+Ci+X（a2x4-b2y+C2）=0,由

［a】x*y+c1=0,求出定點坐標(biāo).

3.應(yīng)用特殊值法，給方程中的參數(shù)賦兩個特殊值，可得關(guān)于x,y的兩個方程，將其

聯(lián)立并求解，則解出的x,y的值分別為所求定點的橫、縱坐標(biāo).

1.5平面上的距離

一、兩點間的距離

平面上P1（X1,,），P2（x2,y2）兩點間的距離公式為P1P2=J（X2-X］）2+（丫2-%）2.

二、中點坐標(biāo)公式

對于平面上的兩點Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）,線段PR的中點是M（x0,y0）,則xO二

、，_yi+y2

三、點到直線的距離

L點Po（x。，y。）到直線I：Ax+By+C=0（A,B不全為0）的距離d二號舞件.

2.兩條平行直線h：Ax+By+C產(chǎn)。與I?：Ax+By+C2=0（A,B不全為0,C/C#間的距

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3.注意：應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式時，兩條平行直線的方程需為一般式，且x,

y的系數(shù)對應(yīng)相等.

四、常見的對稱問題

1.點關(guān)于點的對稱

求點Pi%,y】)關(guān)于點P2%,丫2)的對稱點P(x,y)時,可由中點坐標(biāo)公式得

X-i+x

x2-，-X=2X2-X],

y扃則有

y=2丫2

(y2--)

2.點關(guān)于直線的對稱“5)1/急+%+。=。

Q)如圖，已知點P(x,y),直線I:Ax+By+C=O,

求點P關(guān)于直線I的對稱點P'X，y)的步驟如下：/J。

第一步，由直線PP'和I垂直，得kpik-l①

第二步,由線段PP’的中點在直線I上，得(等，等)滿足直線方程Ax+By+C=0,

艮UA.詈+B.等+C=0②.

第三步，聯(lián)立①②兩式可以解出內(nèi)/.

⑵點關(guān)于直線對稱的常用結(jié)論：

①點(xo,y°)關(guān)于直線y=0(即x軸)的對稱點為%,-y0)；

②點(xo,y°)關(guān)于直線x=0(即y軸)的對稱點為(-Xo,y0)；

③點(xo,yo)關(guān)于直線y=x的對稱點為%,x0)；

4點%,y0)關(guān)于直線尸-x的對稱點為(-y0,-X。)；

⑤點(xo,y°)關(guān)于直線x=m(m卉0)的對稱點為(2m-Xo,y0)；

⑥點%,y°)關(guān)于直線y=n(nWO)的對稱點為(xo,2n-y0).

3.直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱實際上可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱.

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4.直線關(guān)于直線的對稱

已知直線I】：Aix+B?+C尸0,b:A2x+B2y+C2=0,求直線I1關(guān)于直線b的對稱直線

的方程：

⑴如果li〃b,則設(shè)所求直線的方程為AiX+Biy+m=0(m#Ci,m0C2),然后在k上找

一點P(x,y),求出點P關(guān)于直線I的對稱點P1(x',y'),再將(x',y')代入A1x+B1y+m=0,

即可解出m；

⑵如果11與。相交，則先求出h與12的交點N,然后在I】上確定一點M(不同于交點N),

找出點M關(guān)于卜的對稱點由點N,即可確定所求直線的方程.

五、對稱在求最值中的應(yīng)用

1.在直線I上求一點P,使P到兩個定點的距離之和最小的求法

⑴當(dāng)兩定點A,B在直線I的異側(cè)時，如圖①，連接AB,線段AB交直線I于點P,此

時AB與I的交點P到兩定點的距離之和最小，最小值為線段AB的長.在直線I上任

取一點P1,貝IJP'A+P'B2AB.

⑵當(dāng)兩定點A,B在直線I的同側(cè)時，如圖②，作點A關(guān)于直線I的對稱點A1,連接

A'B交直線I于點P,此時點P到兩定點的距離之和最小.

%

%_____

~OX

A'

圖①圖②

2.在直線I上求一點P,使P到兩定點的距離之差的絕對值最大的求法

⑴當(dāng)兩定點A,B在直線I的同側(cè)時(A,B連線與I不平行)，連接BA并延長，交直線

I于點P.此時點P到兩定點的距離之差的絕對值最大，最大值為線段AB的長.如圖

①，在I上任意取一點P’,則有|PB-P冏WAB.

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⑵當(dāng)兩定點A,B在直線I的異側(cè)時，作點A關(guān)于直線I的對稱點A"連接BA，（BA，所

在直線與I不平行）并延長，交I于點P.此時點P到兩定點距離之差的絕對值最大，

最大值為線段AB的長,即|PB-PAF|PB-PA'|二A'B.如圖②，在I上任取一點P’,則有

|P'B-P冏=|P'B-P'A'|WA'B.

yf

0x

圖①圖②

六、平面上兩點間的距離

平面上兩點P1（X1,yi）,p2（x2,y2）之間的距離公式為PR=Y（X2-X1）2+（y2-yQ2.

注：兩點間的距離公式與兩點的先后順序無關(guān)，即公式既可以寫成PF2二

22X-x22

7（X2-Xi）+（y2-yO,也可以寫成PiP2=7（12）+（Y1-Y2）.利用此公式可

以實現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化.

七、點到直線的距離

1.應(yīng)用點到直線的距離公式時的注意事項

⑴當(dāng)點在直線上時，點到該直線的距離為0,點到直線的距離公式仍然適用.

⑵點到直線的距離公式對于直線的一般式方程中A=0或B=0的情況仍然適用.

⑶在應(yīng)用點到直線的距離公式時，若給出的直線方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為

一般式，

八、兩條平行線之間的距離

將兩條直線的方程化為久，y的

1.當(dāng)直線的方程為一般式時，整理系數(shù)對應(yīng)相等的一般式，即

可利用兩平行線間的距離公式，其步驟如下：4：4欠+8y+C]=0,4以+力+。2=°

將4,8,代入公式

代'人

IC2-C,I

JA2+B2

計算得到d的值

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解題時必須注意兩直線方程中X,y的系數(shù)要對應(yīng)相等，若不相等，則先將系數(shù)化

為相等，再代入公式求解.

2.當(dāng)直線的方程為斜截式，即I1：尸kx+bi,12：尸kx+b2,且b/b2時,d二號著.

VK?JL

3.利用化歸思想將求兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一

條直線的距離.

九、在利用直線系方程證明平面幾何問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

直線系是指具有某種共同性質(zhì)的直線的集合，在解析幾何中，常見的直線系有平

行直線系、垂直直線系、在兩坐標(biāo)軸截距滿足一定關(guān)系的直線系、過定點的直線系等，

利用直線系方程解決有關(guān)問題，可以把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，將直線的幾何性質(zhì)與

方程的代數(shù)特征結(jié)合起來，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理

及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

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第2章圓與方程知識點清單

目錄

第二章圓與方程

2.1圓的方程

2.2直線與圓的位置關(guān)系

2.3圓與圓的位置關(guān)系

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第二章圓與方程

2.1圓的方程

一、圓的定義

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點就是圓心，定長就是半徑.

二、圓的方程

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

方程(x-a)2+(y-b)2=/(r>o)叫作以點⑶b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別

地，當(dāng)a=b=O時，方程為x2+y2=/(r>0),表示以原點為圓心，r為半徑的圓.

2.圓的一般方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D'+E2-4F>0)叫作圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

(x+^+(y+黑四衿，表示以點。，3)為圓心，逆尸為半徑的圓.

①當(dāng)D2+E2-4F=O時，方程表示一個點(一微，一字)；

②當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形；

③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓時，B=0,A=CWO.

三、點與圓的位置關(guān)系

已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)或一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=O

22

(D+E-4F>0),設(shè)所給點為M(X。，y0),則點與圓的位置關(guān)系如下表：

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法

222

點在圓上MC=r(Xo-a)+(yo-b)=r(°5cxJ+yJ+Dxo+Eyo+F=O)

222

點在圓內(nèi)MC<r(Xo-a)+(yo-b)<r(^xJ+y^+Dxo+Ey0+F<0)

2

點在圓外MOr(x0-a)+(y0-bp〉/(或/+yo+Dx0+Ey0+F>0)

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四、圓的方程的求解

1.直接代入法

確定圓心坐標(biāo)和半徑，直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，確定圓心坐標(biāo)和半徑的方法：

⑴利用條件確定圓心C(a,b)及半徑r.

(2)利用幾何性質(zhì)確定圓心C(a,b)及半徑r,常用的幾何性質(zhì)如下：

①圓心與切點的連線垂直于圓的切線；

②圓心到切線的距離等于圓的半徑r；

③圓的半徑r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2；

④圓的弦的垂直平分線過圓心；

⑤已知圓心所在的直線I及圓上兩點，則此兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與I

不重合)與直線I的交點為圓心.

2.待定系數(shù)法

⑴根據(jù)題意，設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；

(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程組；

⑶解方程組，求出參數(shù)的值；

⑷將參數(shù)代入所設(shè)的方程中，即可得到所求圓的方程.

五、與圓有關(guān)的軌跡問題

1.求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法

⑴直接法：根據(jù)已知條件，先抽象出動點間的幾何關(guān)系，再利用解析幾何的有關(guān)公式

(兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等)進(jìn)行整理、化簡，即把這種關(guān)系“翻譯”

成含x,y的等式.

(2)定義法：若動點軌跡滿足已知曲線的定義，則可先設(shè)方程，再確定其中的基本量，

進(jìn)而求出動點的軌跡方程.

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⑶相關(guān)點法：有些問題中，動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點

(稱之為相關(guān)點)的運(yùn)動而運(yùn)動的，如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，

這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點坐標(biāo)所滿足的條件即可求得動

點的軌跡方程.

六、求與圓的方程有關(guān)的實際問題

1.建立平面直角坐標(biāo)系的一般原則

⑴原點取在某一定點處，坐標(biāo)軸為某定直線或定線段所在直線或圖形的對稱軸；

⑵盡量充分利用圖形的對稱性；

⑶設(shè)出各點的坐標(biāo)，使未知參數(shù)盡量少.

2.用坐標(biāo)法解決與圓的方程有關(guān)的實際問題的步驟

(1)審題：認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)

(2)建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過點的左邊及已知條件，求出幾何模型的方程

(3)求解：利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識求解

(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原為對實際問題的解釋

第16頁共111頁

2.2直線與圓的位置關(guān)系

一、直線與圓的位置關(guān)系

1.設(shè)直線I和圓M的方程分別為Ax+By+C=O,x2+y2+Dx+Ey+F=O,如果直線I與圓M

有公共點，那么公共點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程有

公共解，那么以公共解為坐標(biāo)的點必是直線I與圓M的公共點.

Ax+By+C=0,

2.直線I與圓M的方程聯(lián)立‘得方程組x2+y2+Dx+Ey+F=0)有

如下結(jié)論：

方程組解的情況無解僅有一組解有兩組不同的解

直線與圓公共點的情況沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點

直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交

二、直線與圓的位置關(guān)系的判斷

L代數(shù)法：通過聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的組數(shù)來判斷，若有

兩組不同的實數(shù)解，即△>（）,則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即則

直線與圓相切；若無實數(shù)解，即△<（）,則直線與圓相離.

2.幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓

相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.

3.定點法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，則直線與圓相交.該法有一定的局限性,

若定點在圓上或在圓外，則需利用代數(shù)法或幾何法進(jìn)行討論.

三、傾過點P（x。，y。）的圓的切線方程的求法

1.過圓上一點P（x。，y°）的圓的切線方程的求法

⑴直接法：先求切點與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為］（kWO）,

由直線的點斜式方程可得切線方程為y-yo=4（x-xo）.如果切點與圓心連線的斜率為

零或不存在，則由圖形可直接得切線方程為x=x。或尸y。.

第17頁共111頁

⑵待定系數(shù)法：設(shè)切線方程為y-y。=k(x-x。)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,

可求得k,即得切線方程.注意此時切點與圓心的縱坐標(biāo)不相等.

注：過圓上一點的切線僅有一條，可熟記下列結(jié)論：

2222

①若點P(xo,y。)在圓x+y=r(r>0)±,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r；

②若點P(x0,y。)在圓(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)上，則過點P的切線方程為

2

(x0-a)-(x-a)+(y0-b)(y-b)=r；

③若點P(x。，y。)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)±,則過點P的切線方程為

x0x+y0y+D昔+E?羅+F=0.

2.過圓外一點P(x°,y°)的圓的切線方程的求法

通常用待定系數(shù)法，其求法同1中的待定系數(shù)法.當(dāng)用此法只求出一個方程時，另一

個方程應(yīng)為x=x。，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線

有兩條.一般不用聯(lián)立方程的方法求解k.

四、切線長的求法

過圓外一點P,可作圓的兩條切線，我們把點P與切點所連線段的長稱為切線長.

切線長可由勾股定理來計算.如圖，從圓外一點P(x。，y。)作圓(x-ay+8-byluo)的切

第18頁共111頁

五、弦長與中點弦問題

1.直線與圓相交時弦長的兩種求法

⑴幾何法：如圖L直線I與圓C交于A,B兩點，設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦

2

長為AB的長,則有（第+cf=匕則AB=2.

圖1圖2

⑵代數(shù)法：如圖2所示，設(shè)直線I與圓的兩個交點分別是A%,VB（X,y）,將直線

。22

與圓的方程聯(lián)立，消元，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，

得AB=J（X1—X2）2+（%—丫2）2="+記|X1-X2|=J+百yiM

（直線I的斜率k存在且不為0）.

2.中點弦問題

若線段AB是圓C（a,b）的弦，D是弦AB的中點，貝IJ

①ABJ_CD,若斜率kAB,"D都存在,則kAB-kcD=-l；

②點差法：設(shè)））（）則二也券，丫。二"產(chǎn)，將坐標(biāo)分

A%,yB%,y2,Dx0,y0,x0A,B

別代入圓C的方程，利用作差法得到紂辦二-華羨二-守羨，利用D點坐標(biāo)求出直

X2-X1yi+y2-2b2y0-2b

線AB的斜率.

六、與圓有關(guān)的最值問題

利用圓的方程解決最大（小）值問題的方法

⑴由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的

有關(guān)知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題，常涉及的有：

第19頁共111頁

①關(guān)于X,y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率；

②關(guān)于x,y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距；

③關(guān)于x,y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離等.

⑵將待求式轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)解決.

⑶利用三角代換，若點P（x,y）在圓—（y-grmo）上，則設(shè)卜二a：rcos。

（y=b+rsin9

（e為參數(shù)），代入目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)知識求最大（小）值.

2.3圓與圓的位置關(guān)系

一、圓與圓的位置關(guān)系及其判斷

22

1.代數(shù)法:設(shè)兩圓的方程分別為Ci：x+y+D1x+E1y+F1=0(D2+EJ-4F1>0),

22

C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(Di+E^-4F2>0),聯(lián)立得方程組

x2+y2+DM4-Ej+F1=0,

消元后得到一元二次方程（若得到

2

x+y?+D2X+E2y+F2=0,

的是一元一次方程，則要求出方程組的解進(jìn)行判斷），計算判別式△的值，按下列表中

的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.

2.幾何法：設(shè)兩圓的半徑分別為匕以圓心距為d,按下列表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示一

公共點個數(shù)01210

△的值△<0△二0△>0△二0△<0

與的關(guān)系

dr1,r2d>ri+r2d=ri+r2|ri-r2|<d<ri+r2d=|ri-r2|d<|ri-r2|

公切線條數(shù)43210

第20頁共111頁

二、兩圓位置關(guān)系的判斷

1.幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而

判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中常用的方法.

2.代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，得到方程組，解方程組，根據(jù)方程組解的組數(shù)判斷兩

圓的位置關(guān)系.

三、兩圓相切問題

1.兩圓相切包括內(nèi)切和外切，若只知道相切，則需分內(nèi)切、外切兩種情況討論，再根

據(jù)兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系列方程解決問題.

2.求兩圓外公切線問題的關(guān)鍵

⑴判斷兩圓的位置關(guān)系；

⑵設(shè)公切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑得參數(shù)所滿足的方程，求出參數(shù)值

得切線方程.

⑶可通過作圖解決，畫圖要標(biāo)準(zhǔn)，做到“草圖不草”.

四、兩圓的公共弦問題

1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法

2222

設(shè)圓CiX+y+D1x+E1y+F1=0(D?+E?-4F1>0),EIC2X+y+D2x+E2y+F2=0(D^+E^-4F2>0).

x2_|_y2_|_0x_|_Ey+Fl=0,①

由22,①-②，得(D「D2)x+(E「E2)y+FLF2=0.③

22

(x+y+D2x+E2y+F2=0,②

設(shè)兩圓交點分別為A%,y)B(X2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②，也適合方程③，

因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.

故當(dāng)兩圓相交時，。92伙+(匕電?+^*2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程，即公共弦所

在直線的方程.

當(dāng)兩圓外離時，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線的方程.

當(dāng)兩圓相切時，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.

第21頁共111頁

若兩圓是等圓，貝IJ(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線

的方程.

2.兩圓公共弦長的求法

⑴代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長.

⑵幾何法：用幾何法解兩圓的公共弦問題的步驟

①將兩圓的方程作差，求出公共弦所在直線的方程；

②求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；

③利用勾股定理求出公共弦長.

3.求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程的方法

22

一般地，過圓G/+y2+DiX+Eiy+F尸0(D什ER4FI〉0)與圓C2：x+y+D2x+E2y+F2=0

(Dg+EZ-4F2>0)交點的圓的方程可設(shè)為x2+y2+DiX+Eiy+Fi+A(x2+y2+D2X+E2y+F2)=0

(XER,入W-1),再由其他條件求出入即得圓的方程.

五、解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟

⑴審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.

⑵建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.

⑶求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知.

⑷還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實際問題中去.

第22頁共111頁

第3章圓錐曲線與方程知識點清單

目錄

第三章圓錐曲線與方程

3.1橢圓

3.2雙曲線

3.3拋物線

第23頁共111頁

第三章圓錐曲線與方程

3.1橢圓

3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、橢圓的定義

平面內(nèi)到兩個定點匕，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于FE）的點的軌跡叫作橢圓，兩

個定點FF2叫作橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

V

y1

MA

「、、

ML，

」一.\,1\、

圖形J友、

、、0X

%。\\!

y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程-+^=l(a>b>0)^+--l(a>b>0)

占

F】(-c,0),F2(C,0)Fi(0,-c),F2(0,C)

a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

三、點與橢圓的位置關(guān)系

22

點P（x。，y。）與橢圓次￡=l（a>b>0）的位置關(guān)系：

aD

22

⑴點P在橢圓上;

22

⑵點P在橢圓內(nèi)部=.+需<1;

22

⑶點P在橢圓外部O次碧>1.

第24頁共1"頁

四、直線與橢圓的位置關(guān)系

1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷

22

一般地，聯(lián)立直線Ax+By+C=O(A,B不全為0)與橢圓號+言=l(a>b>0)的方程,

aD

Ax+By+C=0,

得卜2y2整理，得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程.

=+二=1,

位置關(guān)系A(chǔ)的取值交點的個數(shù)

相交△>02

相切△=01

相離△<00

2.弦長公式

設(shè)直線I：y=kx+b與橢圓交于兩點Pi(xi,yi),P2(x2,y2),

222

貝PiP2=Vl+k|xi-x2|=V1+k7(Xi+x2)-4XiX2

或PR二Jl+3yLy2卜小+9Y(%+商.4yly2(kW0).

五、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

1.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定a?,b?的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般是先“定性"，即判斷焦點所在的坐標(biāo)軸，再“定量”，

即確定a,b的值.

⑵求a,b的值，一方面可利用條件直接求出，另一方面可用待定系數(shù)法設(shè)出相應(yīng)的

標(biāo)準(zhǔn)方程，然后計算.

22

如果明確橢圓的焦點在X軸上，那么設(shè)所求的橢圓方程為a+M=l(a〉b〉0).

22

如果明確橢圓的焦點在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓方程為￡+a=1似>心0).

第25頁共111頁

如果中心在原點，但焦點的位置不能明確是在X軸上，還是在y軸上，那么方程可以

設(shè)為mx2+ny2=l(m>0,n>0,mWn).

六、橢圓中焦點三角形問題

1.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點匕F2構(gòu)成的aPFR稱為焦點三角形.關(guān)于橢圓的

焦點三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，并結(jié)合勾股定理、正弦定理、余弦定理

等知識求解.

2.焦點三角形的常用結(jié)論：

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

②在△PFR中，由余弦定理可知=PF?+PF2-2PFrPF2COSZFIPF2.

③設(shè)P(xP1yP),則焦點三角形F1PF2的面積為c-lyp^lPRPFa-sinZRPF^b^an^^.

七、直線與橢圓的相交弦問題

1,求相交弦的長的兩種方法

⑴求出直線與橢圓的兩交點的坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求弦長.

⑵聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元，得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程，設(shè)兩個交點

分別為A%,y)B(X2,y2),根據(jù)弦長公式AB=VFT項刈供|

(或AB=(l+.M—y2l(kwo)),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求弦長.

2.與橢圓中點弦有關(guān)的三種題型及解法

⑴利用根與系數(shù)的關(guān)系求中點坐標(biāo)：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去x(或

y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

⑵利用點差法求直線斜率或方程：利用弦的端點在橢圓上，端點坐標(biāo)滿足橢圓方程,

將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，得到中點坐標(biāo)和直線斜率的關(guān)系，即若橢

2

圓方程為w+￡=l(a>b>0),直線與橢圓相交于點A(xi,yi),B(x2,y2),Xi#x2,且弦AB

3D

第26頁共111頁

(五+注=1①

的中點為M(x,y),貝1」卜：b：1①一②，整理得a2(y&y到+b2(x^x為=0,所以

9+*1②，

yi-y_b2x+x_b2x

----2~一.x一2二—?—

22

X1-X2ayi+y2ay'

這樣就建立了中點坐標(biāo)與直線斜率之間的關(guān)系，從而使問題得以解決.

22

⑶利用共線法求直線方程：設(shè)橢圓靠+￡=l(a〉b〉0)與直線AB的一個交點為A(x,y),

另一個交點為B,如果弦AB的中點為P(x01y0),那么利用中點坐標(biāo)公式可得B(2xo-x,

2y0-y),則有,+*1,生守+經(jīng)膏八，兩式作差即可得所求直線的方程.

其中點差法是解決中點弦問題最常用的方法，點差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可

以用于解決對稱問題.

3.1.2橢圓的幾何性質(zhì)

一、橢圓的幾何性質(zhì)

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

4,y

瓦

12

圖形

B.0BX

4t￡2

4

A

標(biāo)準(zhǔn)方程5+§=l(a>b>0)》聲l(a>b〉O)

范圍-aWxWa,-bwywb-bWxWb,-aWyWa

對稱性對稱軸為x軸、y軸，對稱中心為原點

Ai(-a,0),A2(a,0),Ai(0,-a),A2(0,a),

頂點

Bi(0,-b),B2(0,b)Bi(-b,0),B乂b,0)

軸長長軸長為2a,短軸長為2b

離心率(0<e<l)

第27頁共111頁

1.橢圓的通徑：過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦叫作橢圓的通徑，通徑長為二.

a

2.焦半徑：橢圓上的任一點P(x。，y。)與焦點Fi或Fz之間的線段的長度叫作橢圓的焦

半徑.記ri=PFi,r2=PF2,貝

①當(dāng)焦點在x軸上時，ri=a+exo,r2=a-ex0；

②當(dāng)焦點在y軸上時，r尸a+eyO,上二a-ey0.

3.焦點弦：過焦點的直線與橢圓相交形成的弦.焦點弦中通徑最短.

二、橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

1.已知橢圓方程，確定橢圓的幾何性質(zhì)的步驟

⑴將所給方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式；

⑵判斷焦點所在的坐標(biāo)軸；

⑶確定a,b,由a?=b?+c2求出c,從而確定相關(guān)性質(zhì).

2.利用橢圓的性質(zhì)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通常用待定系數(shù)法：

2222

⑴與橢圓3+￡=l(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為\+￡=ki(k>0,a>b>0)或

aDaD

22

—ka(k2>0,a>b>0).

2222

⑵與橢圓京+21(a>b>0)有相同焦點的橢圓的方程為京至+亡亡1(1<擊4).

三、橢圓離心率的求解

1.求橢圓離心率的兩種方法

(1)若已知a,c,則可直接利用e==￡求解；若已知a,b(或b,c),可由a?=b'+c?求出

a

C(或a),再代入e=；求解；

⑵若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式，由a?=b?+c2轉(zhuǎn)化為關(guān)

于a,c的齊次方程或不等式，然后兩邊同時除以a的最高次鬲，得到關(guān)于e的方程

或不等式，解得e的值或范圍，最后結(jié)合0<e<l得出結(jié)果.

第28頁共111頁

四、與橢圓有關(guān)的最值問題

1.與橢圓有關(guān)的最值問題的常用解法

⑴利用定義將其轉(zhuǎn)化為幾何問題，解題時可結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何中的定理、

性質(zhì)等進(jìn)行求解.特別地，橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點，距

離的最大值為a+c,最小值為a-c.

⑵利用換元法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理，此時，應(yīng)注意橢圓中x,y的取值

范圍.

五、與橢圓有關(guān)的定點、定值問題

1.解決定點問題，需要注意兩個方面

⑴抓“特值”，涉及的定點多在兩條坐標(biāo)軸上，所以可以從斜率不存在或斜率為0的

特殊情況入手找出定點，為解題指明方向.

⑵抓“參數(shù)之間的關(guān)系”，定點問題多是直線過定點，其實質(zhì)就是求解直線方程中參

數(shù)之間的關(guān)系，所以要熟悉直線方程的特殊形式，若直線方程為y=kx+b,則直線恒

過點(0,b),若直線方程為y=k(x-a),則直線恒過點(a,0).

2.定值問題就是在運(yùn)動變化中尋找不變量的問題，解決定值問題的常用方法：

⑴從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

⑵直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

第29頁共111頁

3.2雙曲線

3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)到兩個定點匕F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于FR的正數(shù)）的點的

軌跡叫作雙曲線，兩個定點Fi,F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫作雙曲線

的焦距.

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

i7l

/J

/

、/\

圖形、、、/1\

---------------p**--------------------------?\—

￡%\0X

yo\

/

x?y2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程7-京=1（@>。，b>0）Q-"l（a>。，b>0）

焦點F4c,0）,F2（C,0）F:（0,-C）,F2（0,C）

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2

三、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

⑴定位：