高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第04講不等式及性質(zhì)(原卷版+解析)

第04講不等式及性質(zhì)1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a－b＞0?(2)a－b＝0?.(3)a－b＜0?.2、不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>b?；(2)傳遞性：a>b，b>c?；(3)可加性：a>b?；a>b，c>d?；(4)可乘性：a>b，c>0?;a>b>0，c>d>0?；c<0時(shí)應(yīng)變號(hào)．(5)可乘方性：a>b>0?(n∈N，n≥1)；(6)可開方性：a>b>0?(n∈N，n≥2)．3、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1、【2019年新課標(biāo)2卷理科】若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│2、【2020年新高考1卷（山東卷）】（多選題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．1、（2022·山東日照·二模）若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．2、（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、均為非零實(shí)數(shù)且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．3、若a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系是()A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n4、（2022·重慶·一模）（多選題）設(shè)非零實(shí)數(shù)，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．考向一不等式的性質(zhì)例1、（2022·河北張家口·一模）（多選題）若，則下列不等式中正確的有（

）A． B． C． D．變式1、（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．變式2、（多選題）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則變式3、（2022·山東濟(jì)南·高三期末）（多選題）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最小值為4方法總結(jié)：不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略：(1)不等式成立問題：熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件；(2)與充分性、必要性相結(jié)合的問題：用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否成立，要注意特殊值法的應(yīng)用；(3)與命題真假判斷相結(jié)合的問題：解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．考向二不等式的比較大小例2、(1)已知a1，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是________；(2)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a______b；(填“＞”或“＜”)(3)若實(shí)數(shù)a≠1，比較a＋2與eq\f(3,1－a)的大?。兪?、已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．變式2、設(shè)a>b>0，試比較eq\f(a2－b2,a2＋b2)與eq\f(a－b,a＋b)的大?。椒偨Y(jié)：方法總結(jié)：比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小考向三運(yùn)用不等式求代數(shù)式的取值范圍例3、已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．變式1、(1)已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；(3)已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，求lgeq\f(x2,y)的取值范圍．方法總結(jié)：求代數(shù)式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍1、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式恒成立的是()A．EQ\F(1,a)＜EQ\F(1,b)B．a(chǎn)2＞b2C．EQ\F(a,c\S(2)＋1)＞EQ\F(b,c\S(2)＋1)D．a(chǎn)|c|＞b|c|2、（2021·廣州市第一中學(xué)高三月考）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．3、(2022·江蘇無錫市第一中學(xué)高三10月月考)(多選題)若a>b>0，則一下幾個(gè)不等式中正確的是（）A.B.lg>C.D.2->4、（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且，則下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．5、（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則6、（2022·廣東·華南師大附中三模）（多選題）如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（

）A． B． C． D．7、已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．8、若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π第04講不等式及性質(zhì)1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a－b＞0?a＞b.(2)a－b＝0?a＝b.(3)a－b＜0?a＜b.2、不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?aeq\a\vs4\al(>)c；(3)可加性：a>b?a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc;a>b>0，c>d>0?ac>bd；c<0時(shí)應(yīng)變號(hào)．(5)可乘方性：a>b>0?aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方性：a>b>0?eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1、【2019年新課標(biāo)2卷理科】若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，滿足，，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?，知B錯(cuò)，排除B；取，滿足，，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．2、【2020年新高考1卷（山東卷）】（多選題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD1、（2022·山東日照·二模）若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，若，，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以無法判斷與大小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.2、（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、均為非零實(shí)數(shù)且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，取，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，則，即，D正確．故選：D3、若a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系是()A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n【答案】B【解析】由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，即2a>a＋1，∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝logax在定義域上單調(diào)遞增，∴m>p>n.4、（2022·重慶·一模）（多選題）設(shè)非零實(shí)數(shù)，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)，，，滿足，此時(shí)不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，且，所以，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，，，滿足，此時(shí)，，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，，所以，故D正確.故選：BD考向一不等式的性質(zhì)例1、（2022·河北張家口·一模）（多選題）若，則下列不等式中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不成立，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，故D不正確,故選:AB.變式1、（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以，的符?hào)不能確定，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以，故B正確，因?yàn)?，所以，故C正確，因?yàn)椋?，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC變式2、（多選題）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則【答案】BC【解析】若，，則，故A錯(cuò)；若，，則，化簡(jiǎn)得，故B對(duì)；若，則，又，則，故C對(duì)；若，，，，則，，，故D錯(cuò)；故選：BC．變式3、（2022·山東濟(jì)南·高三期末）（多選題）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最小值為4【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以取不到等?hào)，所以的最小值不為4，所以D錯(cuò)誤，故選：BC方法總結(jié)：不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略：(1)不等式成立問題：熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件；(2)與充分性、必要性相結(jié)合的問題：用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否成立，要注意特殊值法的應(yīng)用；(3)與命題真假判斷相結(jié)合的問題：解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．考向二不等式的比較大小例2、(1)已知a1，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是________；【答案】M>N【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1).因?yàn)閍1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.(2)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a______b；(填“＞”或“＜”)【答案】＜【解析】易知a，b都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.(3)若實(shí)數(shù)a≠1，比較a＋2與eq\f(3,1－a)的大?。窘馕觥縜＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1).因?yàn)閍2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，所以當(dāng)a>1時(shí)，a＋2>eq\f(3,1－a)；當(dāng)a<1時(shí)，a＋2<eq\f(3,1－a).變式1、已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．【答案】M>N【解析】方法一M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.變式2、設(shè)a>b>0，試比較eq\f(a2－b2,a2＋b2)與eq\f(a－b,a＋b)的大?。夥ㄒ?作差法)：eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝＝．因?yàn)閍>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．所以>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．解法二(作商法)：因?yàn)閍>b>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0．所以eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝＝eq\f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1．所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．方法總結(jié)：方法總結(jié)：比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小考向三運(yùn)用不等式求代數(shù)式的取值范圍例3、已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．【解析】因?yàn)椋?<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】(－4，2)(1，18)變式1、(1)已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；(3)已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，求lgeq\f(x2,y)的取值范圍．【解析】(1)設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y).因?yàn)椋?<x＋y<4，2<x－y<3，所以－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10，1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，所以－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，故3x＋2y的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).(2)由題意，知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b.設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3，))所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).因?yàn)?≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，所以5≤f(－2)≤10，故f(－2)的取值范圍是[5，10].(3)由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2.又lgeq\f(x2,y)＝2lgx－lgy＝eq\f(1,2)×(lgx＋lgy)＋eq\f(3,2)×(lgx－lgy)，所以－1≤lgeq\f(x2,y)≤5，故lgeq\f(x2,y)的取值范圍是[－1，5].方法總結(jié)：求代數(shù)式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍1、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式恒成立的是()A．EQ\F(1,a)＜EQ\F(1,b)B．a(chǎn)2＞b2C．EQ\F(a,c\S(2)＋1)＞EQ\F(b,c\S(2)＋1)D．a(chǎn)|c|＞b|c|【答案】C【解析】由題意可知，若a＞0＞b，則EQ\F(1,a)＞EQ\F(1,b)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若a＝1，b＝－2，則a2＜b2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍＞b，且EQ\F(1,c\S(2)＋1)＞0，所以EQ\F(a,c\S(2)＋1)＞EQ\F(b,c\S(2)＋1)，故選項(xiàng)C正確；若c＝1，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選C．2、（2021·廣州市第一中學(xué)高三月考）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，故A正確；若，，滿足，但此時(shí)，故B錯(cuò)；因?yàn)?，由不等式的可開方性，可得，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由可得，故D正確.故選：B.3、(2022·江蘇無錫市第一中學(xué)高三10月月考)(多選題)若a>b>0，則一下幾個(gè)不等式中正確的是（）A.B.lg>C.D.2->【答案】BCD【解析】A.因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；B.，故正確；