高考數學一輪復習(新教材新高考)第14講泰勒展開式及相關不等式放縮在導數中的應用(高階拓展)專項練習(學生版+解析)

第14講泰勒展開式及相關不等式放縮在導數中的應用（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較指數冪的大小比較對數式的大小2022年全國甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較三角函數值大小2021年全國乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較對數式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的載體內容，設題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質2能運用泰勒公式求解【命題預測】泰勒公式是高等數學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數學的始終．泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式，去逼近一個已知的函數，而且這種逼近有很好的性質：與在點具有相同的直到階的導數，所以泰勒公式能很好的集中體現高等數學中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應用了．但泰勒公式無論在科研領域還是在證明、計算應用等方面，它都起著很重要的作用．運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構造、轉化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想．在高中階段，會基本運用即可知識講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個在處具有階導數的函數利用關于的次多項式來逼近函數的方法．【定理1】若函數在包含的某個閉區(qū)間上具有階導數，且在開區(qū)間上具有階導數，則對閉區(qū)間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量．2．常見函數的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數的泰勒展開式：結論1．結論2．結論3（）．結論4．結論5；；．結論6；結論7結論8．結論9．考點一、泰勒展開式的綜合應用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（

）A． B． C． D．1．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考模擬預測）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）設，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東肇慶·高三統(tǒng)考期末）若，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測），則（

）A． B．C． D．5．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【能力提升】一、單選題1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）設，則（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若，，，則（

）．A． B． C． D．5．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┰O，，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．7．（2022秋·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）下列結論中正確的個數為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．38．（2023·云南·校聯(lián)考三模）若，則（

）A． B． C． D．9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．11．（2023·四川內江·統(tǒng)考三模）設，，，則（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．14．（2023·廣西桂林·?？寄M預測）已知，則（

）A． B．C． D．15．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設，則（

）A． B．C． D．二、解答題16．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若當時，求的取值范圍．17．（2022春·廣東廣州·高二?？计谥校┮阎瘮?(1)求函數的單調區(qū)間；(2)證明：.18．（2022春·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知函數.(1)若恒成立，求實數的取值范圍；(2)證明：.19．（2023·全國·高三專題練習）證明：20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若時，求的最小值．

第14講泰勒展開式及相關不等式放縮在導數中的應用（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較指數冪的大小比較對數式的大小2022年全國甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較三角函數值大小2021年全國乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關不等式放縮比較對數式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的載體內容，設題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質2能運用泰勒公式求解【命題預測】泰勒公式是高等數學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數學的始終．泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式，去逼近一個已知的函數，而且這種逼近有很好的性質：與在點具有相同的直到階的導數，所以泰勒公式能很好的集中體現高等數學中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應用了．但泰勒公式無論在科研領域還是在證明、計算應用等方面，它都起著很重要的作用．運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構造、轉化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想．在高中階段，會基本運用即可知識講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個在處具有階導數的函數利用關于的次多項式來逼近函數的方法．【定理1】若函數在包含的某個閉區(qū)間上具有階導數，且在開區(qū)間上具有階導數，則對閉區(qū)間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量．2．常見函數的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數的泰勒展開式：結論1．結論2．結論3（）．結論4．結論5；；．結論6；結論7結論8．結論9．考點一、泰勒展開式的綜合應用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因為，所以，所以因為所以綜上所述：故選：C其他方法放縮法因為，所以，即因為，所以，即綜上所述：，故選：C構造函數法假設成立，即令，則等價證明：，即證：（原式得證，略）假設成立，即令，則等價證明：，設，則,令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數單調遞增，所以函數在單調遞增，所以，即：，所以假設不成立，即，綜上所述：，故選：C2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結合三角函數的性質可得;構造函數,利用導數可得,即可得解.【詳解】[方法一]：泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.[方法二]：構造函數因為當故，故，所以；設，，所以在單調遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法三]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法四]：構造函數因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.【詳解】[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關系.記，則，，由于所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，即函數在（1，+∞)上單調遞減令，即函數在（1，3)上單調遞增綜上，，故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.1．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考模擬預測）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩個重要的不等式，說明大小即可【詳解】先用導數證明這兩個重要的不等式①，當且僅當時取“=”，函數遞減，函數遞增故時函數取得最小值為0故，當且僅當時取“=”②，當且僅當時取“=”，函數遞增，函數遞減，故時函數取得最大值為0，故，當且僅當時取“=”故故選：C2．（2023秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意構造函數，求導，利用導數判斷函數的單調性，進而利用單調性比較大小即可求解.【詳解】因為，，，故構造函數，則，故在上單調遞增，故，即，故選：A.3．（2023春·廣東肇慶·高三統(tǒng)考期末）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可構造函數，再求導判斷單調性，即可求解.【詳解】，設，則，當時，則單調遞增，當時，則單調遞減，，即，故選：B【點睛】思路點睛：構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及數與數之間的內在聯(lián)系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測），則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用導數研究函數的單調性可得到，即可判斷、的大小關系；構造函數判斷與0.1的大小，構造函數判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大?。驹斀狻苛?，，則，所以當時，即在上單調遞增，所以，即，即，即，令，則，在時，，則為減函數，∴，即；令，，則，故在為減函數，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．【點睛】結論點睛：常用的不等式：，，，，，.5．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過構造，，三個函數，將三個數與進行比較，得到，；再通過構造，，通過二次求導的方法比較b和c的大小即可得到答案.【詳解】先比較和的大?。簶嬙?，則對恒成立，則在單調遞增，此時，當且僅當時取等，所以，則；構造，則對恒成立，則在單調遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；構造，則對恒成立，則在單調遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O，，，設，，，易知在上單調遞增，則，所以在上單調遞減，，即在上恒成立，則在上單調遞減，由，則，即，則.綜上，故選：B【點睛】方法點睛：本題考查通過導數的綜合運用.比大小問題要熟悉各類常見的放縮，找出結構的相同之處，通過構造函數，運用導數這一工具，對數據進行大小的比較.【能力提升】一、單選題1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，構造函數，，再利用導數探討單調性，即可比較大小作答.【詳解】設，則，從而在上單調遞增，則，即，設，則，從而在上單調遞增，則，即，所以．故選：D【點睛】思路點睛：某些數或式大小關系問題，看似與函數的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯(lián)系，抓住其本質，構造函數，分析并運用函數的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）設，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造，對求導，可得的單調性和最值，可知，得出，同理構造，可得，即可得出答案.【詳解】令，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，由可知，設，則在區(qū)間上是減函數．且．所以函數在區(qū)間上是增函數．所以，即．即：．故選：A．3．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數，其中，利用導數分析函數的單調性，可得出，然后利用不等式的基本性質、對數函數的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞增，所以，，即，因為，則，所以，，又因為，則，故，故.故選：A.4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，構造函數，利用求導，討論得知當時，單調遞減；當時，單調遞增．故，計算可比較大小,從而可得出結論.【詳解】令，則．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．故，可得，當且僅當時，等號成立，從而．因為，所以，故．故選：A.5．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┰O，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數，，根據導函數得出在上單調遞增，即可得出，即，構造，根據導函數得出函數的單調性，進而得出，即.【詳解】令，，則.令，則.當時，，所以在上單調遞增.又，所以，即，所以.令，則恒成立，所以，在R上單調遞增.又，所以，即，所以.綜上所述，.故選：A.6．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造，，根據導函數得出函數在上單調遞增，即可得出，所以，根據進而可判斷.【詳解】令，，則.當時，有，，所以，所以，在上恒成立，所以，在上單調遞增，所以，，所以，，即，所以.顯然，，所以：.故選：B.7．（2022秋·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）下列結論中正確的個數為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】構造函數利用導數說明函數的單調性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C8．（2023·云南·校聯(lián)考三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數并利用其單調性得出，再構造函數并利用其單調性得出；構造函數通過單調性可得到，從而得到結果.【詳解】設，，則，即當時，，∴在上單調遞增，∴，∴，即，設函數，，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，所以，所以，所以；設函數，則，令，，當時，，所以單調遞增，而，所以，又在成立，所以在上恒成立，所以，即，所以，綜上，.故選：D.【點睛】思路點睛：構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及數與數之間的內在聯(lián)系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數，利用函數的單調性判定大小即可.【詳解】設，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以（時等號成立），所以，即，即；設，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以，綜上．故選：D．10．（2023·全國·模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據觀察，比較大小，可轉化為比較和的大小，從而構造函數，求導判斷函數單調性并利用單調性比較大??；比較大小，可轉化為比較和大小，即比較和的大小，從而構造函數，求導判斷函數單調性并利用單調性比較大小.【詳解】設，則．當時，，所以函數在上單調遞減，所以，所以，故，即，即．設，則．令，則．當時，，函數在上單調遞減．又，所以當時，，所以當時，，函數在上單調遞增，所以，即，即，所以．綜上可知，．故選：D．【點睛】關鍵點睛：本題中比較a，c的大小是難點，求解時細致觀察這兩個數的特點，發(fā)現0.25這個題眼非常關鍵，從而函數的構造也就明顯了，一次求導不能順利解決問題時要注意二次求導．11．（2023·四川內江·統(tǒng)考三模）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函數單調性借助1比較b，c大?。桓鶕到Y構構造函數比較a，b大小，即可解答.【詳解】因為在上單調遞增，于是，即，令，則，所以在上單調遞減，所以，即，取，則，所以，即，所以.故選：A12．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過將，變形，構造函數比較，，將泰勒展開，再與進行比較即可.【詳解】由已知，，，設，，則，其中，令，則，當時，，∴在上單調遞減，，∴當時，，，在上單調遞增，∴，即，∴有.對于與，，將泰勒展開，得，，∴.綜上所述，，，的大小關系為.故選：C.【點睛】對于數值比較大小，可使用等價變形化同構，再構造函數，利用函數的單調性進行比較.13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數與，根據函數的單調性比較大小.【詳解】由題意可得：∵，利用三角函數線可得當時，，∴構造函數∴，，即，令∴在上單調遞增，即，∴，∴，∴．故選：A．14．（2023·廣西桂林·?？寄M預測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于都與有關系，如果是的話，對應分別是，和，分別構建，結合導數分析運算可得，方法一：構建，結合導數分析運算可得；方法二：利用常見不等式，，分析可得.【詳解】先比較，構建，則，構建，則，構建，則對恒成立，∴在上單調遞增，則，可得，則，即，構建，則在上單調遞減，且，故在內存在零點，當時，；當時，；且，可得：當時，；當時，；故在上單調遞增，在上單調遞減，∵，則，可得，且，故在內恒成立，則在內恒成立，∴在上單調遞增，則，即，則，所以；再比較，方法一：構建，求導，∵，則，即，故在上恒成立，所以在上單調遞增，則，即，則，所以；方法二（結論法）：我們知道，，所以恒成立令，可得，所以；綜上所述：.故選：D.15．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據進行構造函數，利用導數判斷單調性，推出a與1的大小關系，同理判斷b與1的關系，判斷的大小范圍時采用分析的方法，結合的特點，構造函數，利用導數判斷單調性，即可判斷其范圍.【詳解】設函數,求導得：,∴在上單調遞減，所以，A錯誤；設函數，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故，僅當時取等號，即，則時，，即，所以，D錯誤；由，下面證明，，即證,令，即證：，即，構造函數，即證，由，所以在上單調遞減，則，即證，令，，即在上單調遞減，故，即成立，故成立，所以，故選：B【點睛】難點點睛：本題比較大小，要明確數的結構特點，確定其中的變量，進而構造相應的函數，利用單調性進行大小比較，難點是本題解答時要選擇恰當的變量，連續(xù)構造相應的函數，進行解答.二、解答題16．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若當時，求的取值范圍．【答案】【分析】方法一：令，所以，，再對分和兩種情況討論判斷是否成立即得解.【詳解】[方法一]：由題得，令，所以，當時，恒成立，僅當時，在單調遞增，所以，所以函數在上單調遞增.所以滿足題意；當時，得，得，所以在單調遞減，在單調遞增，又，所以函數在單調遞減，又，所以函數在上，與已知矛盾，不合題意，所以舍去.綜上所述：.[方法二]：，由指數不等式，當且僅當時，等號成立．得，從而當，即時，，而，于是當時，．由可得從而當時，1），故當時，，而，當時，0，不合題意．綜合得的取值范圍