高考數(shù)學一輪復習(新教材新高考)專題03復數(shù)專項練習(學生版+解析)

專題03復數(shù)（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2023年新Ⅱ卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算、復數(shù)的幾何意義無2022年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2022年新Ⅱ卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算無2021年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算、復數(shù)的幾何意義無2020年新I卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算無2020年新Ⅱ卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是全國卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握復數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復數(shù)分類，需要關注復數(shù)的實部、虛部、及純虛數(shù)2.能正確計算復數(shù)的四則運算及模長等問題，理解并掌握共軛復數(shù)3.熟練掌握復數(shù)的幾何意義即復數(shù)與復平面上點的對應關系【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)、模長運算、幾何意義，題型較為簡單。知識講解數(shù)集的分類其中正整數(shù)的符號為：或虛數(shù)單位，規(guī)定虛數(shù)單位的周期復數(shù)的代數(shù)形式Z=，叫實部，叫虛部復數(shù)的分類復數(shù)相等若共軛復數(shù)若兩個復數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫互為共軛復數(shù)；，推廣：結(jié)論：復數(shù)的幾何意義復數(shù)復平面內(nèi)的點復數(shù)的模，則；復數(shù)的四則運算設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．設z1，z2，z3∈C，則復數(shù)加法滿足以下運算律：(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考點一、復數(shù)的四則運算1.（2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）（

）A． B． C． D．2．（2020年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學真題）（

）A．1 B．?1C．i D．?i3．（2020年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）=（

）A． B． C． D．1．（2023·全國·模擬預測）（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)，求復數(shù)（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）（

）A． B．1 C． D．考點二、求復數(shù)的實部與虛部1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）若，則復數(shù)z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-72．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A．3 B． C．-3 D．1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南通·三模）復數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．2022考點三、復數(shù)相等1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）設i為虛數(shù)單位，且，則的虛部為（

）A． B．2 C．2i D．2．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎瑥蛿?shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．32．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2考點四、復數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查1．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．6 D．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）設復數(shù)滿足，若為純虛數(shù)．則（

）A． B． C． D．1．（2023·湖南·鉛山縣第一中學校聯(lián)考三模）復數(shù)是純虛數(shù)的充分不必要條件是（

）A．且 B． C．且 D．2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知復數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B．12 C． D．3考點五、復數(shù)的幾何意義1．（2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）在復平面內(nèi)，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2021年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點落在第一象限，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）在復平面內(nèi)，所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第二象限，則復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）若在復數(shù)范圍內(nèi)分解為，則在復數(shù)平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則在復平面內(nèi)對應的點為（

）A． B． C． D．考點六、復數(shù)的模長1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）設復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．（2023·山西太原·太原五中校考一模）復平面內(nèi)復數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．31．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．52．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知復數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．3．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知是方程的兩個根，則值為（

）A． B．2 C． D．4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）若復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考二模）已知復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7考點七、復數(shù)的三角形式1．（2023春·四川瀘州·高三瀘縣五中?？奸_學考試）若復數(shù)（，），則把這種形式叫做復數(shù)z的三角形式，其中r為復數(shù)z的模，為復數(shù)z的輻角，則復數(shù)的三角形式正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）任何一個復數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i1．（2021秋·四川資陽·高三四川省資陽中學?？奸_學考試）任何一個復數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）都可以表示成（其中，）的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“為偶數(shù)”是“復數(shù)為實數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·高三專題練習）任何一個復數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（

）A．B．當，時，C．當，時，D．當，時，若為偶數(shù)，則復數(shù)為純虛數(shù)考點八、歐拉公式1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，依據(jù)歐拉公式，下列選項不正確的是（

）A．復數(shù)的虛部為 B．若，則復數(shù)對應點位于第二象限C．復數(shù)的模長等于1 D．復數(shù)的共軛復數(shù)為1．（2023·全國·高三專題練習）歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為數(shù)學中的天橋．若復數(shù)，，則（

）A．-i B．iC． D．3．（多選）（2023·全國·模擬預測）歐拉公式（其中，i為虛數(shù)單位）由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．考點九、復數(shù)多選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預測）已知復數(shù)z=a+bi（a，b），其共軛復數(shù)為，則下列結(jié)果為實數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）在復平面內(nèi)，O為坐標原點，A為對應的點，則（

）A．z的虛部為i B． C． D．1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)，下列命題正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則為實數(shù)2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知復平面內(nèi)復數(shù)對應向量，復數(shù)滿足，是的共軛復數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則【基礎過關】1．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）復數(shù)，則復數(shù)的實部和虛部分別是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)為復數(shù)的共軛復數(shù)，且滿足，在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則（

）A． B． C．1 D．5．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（

）A．i B． C．1 D．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）復數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）設復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．8．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）設復數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．110．（2023·江蘇·二模）當時，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【能力提升】1．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學?？既＃┮阎獜蛿?shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（

）A．2 B． C． D．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設復數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┰O復數(shù)滿足，則的虛部是（

）A． B．3 C． D．45．（2023·廣東汕頭·金山中學?？既＃┮阎翘摂?shù)單位，則復數(shù)對應的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．7．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃蛿?shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知復數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B．12 C． D．39．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）在復平面上，復數(shù)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知復數(shù)，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【真題感知】1．（2023·全國Ⅰ卷·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．12．（2022·全國Ⅰ卷·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2021·全國Ⅰ卷·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國甲卷·統(tǒng)考（理科）高考真題）設，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．25．（2023·全國乙卷·統(tǒng)考（文科）高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．56．（2023·全國乙卷·統(tǒng)考（理科）高考真題）設，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國甲卷·統(tǒng)考（文科）高考真題）（

）A． B．1 C． D．8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若．則（

）A． B． C． D．11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．專題03復數(shù)（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2023年新Ⅱ卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算、復數(shù)的幾何意義無2022年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2022年新Ⅱ卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算無2021年新I卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算、復數(shù)的幾何意義無2020年新I卷，第1題,5分復數(shù)的四則運算無2020年新Ⅱ卷，第2題,5分復數(shù)的四則運算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是全國卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握復數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復數(shù)分類，需要關注復數(shù)的實部、虛部、及純虛數(shù)2.能正確計算復數(shù)的四則運算及模長等問題，理解并掌握共軛復數(shù)3.熟練掌握復數(shù)的幾何意義即復數(shù)與復平面上點的對應關系【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)、模長運算、幾何意義，題型較為簡單。知識講解數(shù)集的分類其中正整數(shù)的符號為：或虛數(shù)單位，規(guī)定虛數(shù)單位的周期復數(shù)的代數(shù)形式Z=，叫實部，叫虛部復數(shù)的分類復數(shù)相等若共軛復數(shù)若兩個復數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫互為共軛復數(shù)；，推廣：結(jié)論：復數(shù)的幾何意義復數(shù)復平面內(nèi)的點復數(shù)的模，則；復數(shù)的四則運算設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．設z1，z2，z3∈C，則復數(shù)加法滿足以下運算律：(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考點一、復數(shù)的四則運算（2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.2．（2020年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學真題）（

）A．1 B．?1C．i D．?i【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)除法法則進行計算.【詳解】故選：D【點睛】本題考查復數(shù)除法，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3．（2020年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接計算出答案即可.【詳解】故選：B【點睛】本題考查的是復數(shù)的計算，較簡單.1．（2023·全國·模擬預測）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復數(shù)的除法運算即可得出答案.【詳解】．故選:D.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)，求復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數(shù)乘法計算法則可得答案.【詳解】，則.故選：C3．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可化簡求解.【詳解】，故選：D.考點二、求復數(shù)的實部與虛部1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）若，則復數(shù)z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算、復數(shù)的概念求值即可.【詳解】依題意，，故z的虛部為-5.故選：A2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A．3 B． C．-3 D．【答案】C【分析】先化簡復數(shù)，再利用共軛復數(shù)及復數(shù)的概念求解.【詳解】因為，所以，則的虛部是，故選：C．1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算化簡，再由虛部的概念即可得答案.【詳解】因為，所以所以的虛部為.故選：A.2．（2023·江蘇南通·三模）復數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．2022【答案】A【分析】利用錯位相減法求和，結(jié)合復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，所以，所以復數(shù)z的虛部為1012，故選：A考點三、復數(shù)相等1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）設i為虛數(shù)單位，且，則的虛部為（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【分析】由復數(shù)的乘法運算化簡，再由復數(shù)相等求出，即可求出的虛部.【詳解】由可得：，則，所以的虛部為2.故選：B.2．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用復數(shù)運算規(guī)則求得，求得的值，進而得到的值.【詳解】，則，故.故選：D1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算和復數(shù)相等的概念分別求出的值即可求解.【詳解】因為，所以，則有，解得，所以，故選：D.2．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由復數(shù)相等的充要條件可得的值.【詳解】因為，所以，由復數(shù)相等的充要條件得，所以.故選：C.考點四、復數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查1．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】利用復數(shù)的除法運算求出，再結(jié)合復數(shù)的概念求解作答.【詳解】依題意，，因為復數(shù)是純虛數(shù)，且，則且，解得，所以.故選：D2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）設復數(shù)滿足，若為純虛數(shù)．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求出，即可得解.【詳解】由，得，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以.故選：B.1．（2023·湖南·鉛山縣第一中學校聯(lián)考三模）復數(shù)是純虛數(shù)的充分不必要條件是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】運用純虛數(shù)的定義，結(jié)合充分條件，、與必要條件的定義即可求得結(jié)果.【詳解】因為復數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是且，又因為且是且的充分不必要條件，所以且是復數(shù)為純虛數(shù)的充分不必要條件.故選：C.2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知復數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B．12 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算，可得答案.【詳解】由題意，因為復數(shù)是純虛數(shù)，故，解得，故選：C考點五、復數(shù)的幾何意義1．（2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）在復平面內(nèi)，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復數(shù)對應的點為，位于第一象限.故選：A.2．（2021年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學真題）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復數(shù)的除法可化簡，從而可求對應的點的位置.【詳解】，所以該復數(shù)對應的點為，該點在第一象限，故選：A.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點落在第一象限，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡，根據(jù)對應點所在象限列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，對應點，由于點在第一象限，所以，解得.故選：A1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）在復平面內(nèi)，所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用除法運算化簡復數(shù)，可得到對應點為，即可求得答案【詳解】由題意得,故在復平面內(nèi)所對應的點為,位于第三象限,故選：C.2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復數(shù)的乘方運算和除法運算求解作答.【詳解】，所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限.故選：B3．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第二象限，則復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】設，然后由復數(shù)除法運算得，根據(jù)對應的點在第二象限可解.【詳解】設，則，因為復數(shù)對應的點位于第二象限，所以,得，所以復數(shù)對應的點在第三象限.故選：C4．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）若在復數(shù)范圍內(nèi)分解為，則在復數(shù)平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限【答案】B【分析】先求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義結(jié)合復數(shù)的減法運算及乘法求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，當，時，，，所以；當，時，，綜上，復數(shù)對應的點位于虛軸上.故選：B．5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則求復數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)點所在象限列不等式組即可求解.【詳解】由題得，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在第四象限，所以，解得：，所以a的取值范圍是.故選：C6．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預測）已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)對應點的對稱關系得，應用復數(shù)除法化簡目標式即得結(jié)果.【詳解】由對應點為，則對應點為，故，所以.故選：D7．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則在復平面內(nèi)對應的點為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的幾何意義得到復數(shù)，然后求得，再利用幾何意義求解.【詳解】解：由題意得，則，所以在復平面內(nèi)對應的點為，故選：A考點六、復數(shù)的模長1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）設復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的四則運算及模的運算即可得解.【詳解】因為，所以．故選：A．2．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得，進而得出，然后利用復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】因為，所以，所以，.故選：D.3．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃推矫鎯?nèi)復數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)分析出對應點軌跡方程，再根據(jù)的幾何意義以及圓外一點到圓上點的距離最小值求法求解出結(jié)果.【詳解】設，因為，所以，即z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為圓C：，如圖，又，所以表示圓C上的動點到定點的距離，所以為，故選：B．1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】利用復數(shù)的除法可求，從而可求其模.【詳解】由題設可得，故，故，故選：B.2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知復數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡，由純虛數(shù)的概念求出，由復數(shù)的除法運算以及復數(shù)的模長公式可得結(jié)果.【詳解】復數(shù)，則，依題意得，，解得，即，，所以.故選：.3．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知是方程的兩個根，則值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求根公式得，然后由復數(shù)的模公式計算可得.【詳解】，方程有兩個虛根，則，，所以．故選：C4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）若復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】首先設復數(shù)，()，根據(jù)條件化簡求得的關系式，再根據(jù)復數(shù)模的幾何意義求最值.【詳解】設，()，由，得，則，復數(shù)的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，如圖，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點到的距離，如圖可知，的最小值是點與的距離.故選：B.5．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┮阎獜蛿?shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】設，根據(jù)復數(shù)模的計算公式和三角恒等變換的知識可得到，由此確定最大值.【詳解】由可設：，，（其中），當時，即時，.故選：C.考點七、復數(shù)的三角形式1．（2023春·四川瀘州·高三瀘縣五中?？奸_學考試）若復數(shù)（，），則把這種形式叫做復數(shù)z的三角形式，其中r為復數(shù)z的模，為復數(shù)z的輻角，則復數(shù)的三角形式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形式的定義直接判斷.【詳解】復數(shù)的模為1，輻角為，所以復數(shù)的三角形式為.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）任何一個復數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i【答案】B【分析】現(xiàn)將復數(shù)表示為三角形式，再利用棣莫弗定理求解.【詳解】，；故選：B．1．（2021秋·四川資陽·高三四川省資陽中學校考開學考試）任何一個復數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）都可以表示成（其中，）的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“為偶數(shù)”是“復數(shù)為實數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，故，，即可判斷.【詳解】由為實數(shù)，得，故，，即，，故為偶數(shù)是“復數(shù)為實數(shù)”的充要條件.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）任何一個復數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（

）A．B．當，時，C．當，時，D．當，時，若為偶數(shù)，則復數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【分析】利用復數(shù)的三角形式與模長公式可判斷A選項的正誤；利用復數(shù)的棣莫弗定理可判斷B選項的正誤；計算出復數(shù)，可判斷C選項的正誤；計算出，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，則，可得，，A選項正確；對于B選項，當，時，，B選項錯誤；對于C選項，當，時，，則，C選項正確；對于D選項，，取，則為偶數(shù)，則不是純虛數(shù)，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查復數(shù)的乘方運算，考查了復數(shù)的模長、共軛復數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中等題.考點八、歐拉公式1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，依據(jù)歐拉公式，下列選項不正確的是（

）A．復數(shù)的虛部為 B．若，則復數(shù)對應點位于第二象限C．復數(shù)的模長等于1 D．復數(shù)的共軛復數(shù)為【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式，即可由復數(shù)的除法運算以及幾何意義，模長公式，共軛復數(shù)的定義，結(jié)合選項即可求解.【詳解】，故復數(shù)的虛部為，A正確，對應的點為，由于，所以，故對應的點為第二象限，故B正確，對于C，，故模長為，故C正確，，所以共軛復數(shù)為，故D錯誤，故選：D1．（2023·全國·高三專題練習）歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式即可代入求解,根據(jù)復數(shù)的除法運算即可化簡求解.【詳解】有題意可知，故虛部為，故選：B2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為數(shù)學中的天橋．若復數(shù)，，則（

）A．-i B．iC． D．【答案】B【分析】由歐拉公式求的代數(shù)形式，再結(jié)合復數(shù)運算法則求.【詳解】由歐拉公式可得：，，則．故選：B.3．（多選）（2023·全國·模擬預測）歐拉公式（其中，i為虛數(shù)單位）由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】求得的值判斷選項A；舉特例否定選項B；分別求得的代數(shù)形式進行比較判斷選項C；對進行化簡整理判斷選項D.【詳解】由題意得．選項A：，故選項A正確；選項B：當時，，故選項B錯誤；選項C：，，，故選項C正確；選項D：．，故選項D正確．故選：ACD.考點九、復數(shù)多選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預測）已知復數(shù)z=a+bi（a，b），其共軛復數(shù)為，則下列結(jié)果為實數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】逐個代入化簡，檢驗虛部是否為0，即可判斷.【詳解】對于A，，不一定為實數(shù);對于B，;對于C，;對于D，.故選：BCD.2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）在復平面內(nèi)，O為坐標原點，A為對應的點，則（

）A．z的虛部為i B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)復數(shù)的虛部概念判斷A；根據(jù)共軛復數(shù)的概念判斷B；根據(jù)復數(shù)模的計算判斷C；根據(jù)復數(shù)的乘方以及復數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】由題意，z的虛部為1，選項A錯誤．，選項B正確．，則，故，選項C正確．由題意知，故，則，而，，選項D錯誤，故選：BC1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)，下列命題正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則為實數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)復數(shù)的模長公式、共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的乘方，結(jié)合舉反例，可得答案.【詳解】對于A，設，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，設，，，，故C正確；對于D，設，，，當或時，，故D錯誤.故選：AC.2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知復平面內(nèi)復數(shù)對應向量，復數(shù)滿足，是的共軛復數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義和模長公式計算可得A正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的乘方運算法則計算可得B正確；根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和模長公式計算可得C錯誤；D正確.【詳解】依題意，，則，故A正確；又，，，，即，故B正確；設，由得，，則，，故C錯誤；，.故D正確.故選：ABD.3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)復數(shù)的特征、幾何意義以及復數(shù)運算判斷各選項即可.【詳解】對于A，若，例如：，則，故A錯誤；對于B，若，則，所以或至少有一個成立，即或，故B正確；對于C，由，則，∵，∴，故C正確；對于D：若，則，故D正確.故選：BCD.【基礎過關】1．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）復數(shù)，則復數(shù)的實部和虛部分別是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i【答案】C【分析】應用復數(shù)乘法運算化簡復數(shù)，即可確定實部、虛部.【詳解】由題意，則復數(shù)的實部和虛部分別是1和2.故選：C2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算及共軛復數(shù)的概念計算即可.【詳解】，則.故選：A.3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的乘法可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，所以，，因此，.故選：C.4．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)為復數(shù)的共軛復數(shù)，且滿足，在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義，利用復數(shù)的運算以及復數(shù)相等，建立方程組，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，可得實部與虛部，根據(jù)復數(shù)的模長公式，可得答案.【詳解】設，在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，故，則，即，由，得，結(jié)合，解得，則，故.故選：C.5．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（

）A．i B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則得到，求出虛部.【詳解】由得，故復數(shù)z的虛部為1故選：C6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）復數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)得乘除法運算求出復數(shù)z，再根據(jù)虛部得定義即可得解.【詳解】解：，所以復數(shù)的虛部為-2.故選：A.7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）設復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法規(guī)則和復數(shù)的實部虛部定義求解.【詳解】因為復數(shù)滿足，即，所以，所以復數(shù)的虛部是；故選：D.8．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由復數(shù)的運算求出復數(shù)z，再由復數(shù)幾何意義即可解答.【詳解】由題意，所以，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點，為第四象限內(nèi)的點.故選：D9．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）設復數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】設，則，根據(jù)復數(shù)的乘除法運算可得，結(jié)合虛部的定義即可求解.【詳解】設，則，所以，，得，解得，所以復數(shù)z的虛部為.故選：B.10．（2023·江蘇·二模）當時，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先對復數(shù)進行化簡，再確定實部和虛部的符號即可得解．【詳解】因為，所以，故復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點位于第二象限，故選：B．【能力提升】1．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學?？既＃┮阎獜蛿?shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的模公式及復數(shù)的除法法則，結(jié)合復數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可知，由，得，所以復數(shù)z的虛部為.故選：A.2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】設，代入，利用復數(shù)相等求解.【詳解】解：設，則，所以，則，解得或，所以，故選：D.3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設復數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設復數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的概念以及復數(shù)的模長公式可求出結(jié)果.【詳解】設，則，依題意得，即，則.故選：A4．（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┰O復數(shù)滿足，則的虛部是（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法的運算和共軛復數(shù)及復數(shù)虛部的概念即可得到答案.【詳解】，則，故，虛部為，故選：C．5．（2023·廣東汕頭·金山中學?？既＃┮阎翘摂?shù)單位，則復數(shù)對應的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)可得，然后根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可得出答案.【詳解】因為，，該復數(shù)對應的點為，該點為第一象限.故選：A.6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將虛數(shù)z代入方程，利用復數(shù)相等解方程組即可得