基礎課47 雙曲線

基礎課47雙曲線課時評價·提能基礎鞏固練1.已知等軸雙曲線C的焦距為12，則C的實軸長為（B）.A.32 B.62 C.12[解析]因為2c=12，所以c=6.因為a=b，所以2a2=c2=362.“mn<0”是“mxA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]因為方程mx2+ny2又當mn<0時，方程mx所以“mn<0”是“方程mx2+ny23.已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,5，F(xiàn)20,?A.x216?y29=1 [解析]依題意得c=5，PF所以b=c2?a2=4，因為雙曲線的焦點在y4.已知雙曲線的漸近線方程為y=±2x，則雙曲線的離心率為（A.52 B.5 C.55 D.5[解析]當雙曲線的方程為x2a2?y2b2當雙曲線的方程為y2a2?x2b2綜上所述，雙曲線的離心率為52或5.故選D5.已知雙曲線x2?y224=1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2A.23 B.24 C.25 D.26[解析]由雙曲線的定義可得PF解得PF2=6因為F1F2=2c=10，則因此S△F1P6.若等軸雙曲線C：x2?yA.1 B.2 C.2 D.1[解析]由題意可知，雙曲線C的方程為x2∴漸近線的方程為y=±又2c=4，則c=2，∴a=b=2，7.已知雙曲線M：x24?y2b2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，記FA.3+1 B.3+12 [解析]如圖，由題意可得，PF1⊥因為點P在第一象限，PF且PF1?P在Rt△F1PF2中，由勾股定理可得PF12+PF22=F1F22，即8.(2024·九省適應性測試)設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過坐標原點的直線與C的左、右支分別交于A,B兩點,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4A.2 B.2 C.5 D.7[解析]如圖,設雙曲線的半焦距長為c,離心率為e,由雙曲線的對稱性可知|F1A|=|F2B|,|F1B|=|F2A|,則四邊形AF1BF2為平行四邊形,令|F1A|=|F2B|=m,則|F1B|=|F2A|=2m,由雙曲線的定義可知|F2A|-|F1A|=2a,故2m-m=2a,即m=2a,即|F1A|=|F2B|=m=2a,|F1B|=|F2A|=4a,F2A·F2B=|F2A|·|F2B|cos∠AF2B=4a·2acos則cos∠AF2B=12,即∠AF2B=π3,故∠F2BF1=則cos∠F2BF1=|F1B|2即20a2-4c216a2=-12,即2016-4e故選D.綜合提升練9.（多選題）已知雙曲線E：x2a2A.E的實軸長為2 B.E的焦距為4C.E的離心率為2 D.E的漸近線方程是y[解析]由題意得222a2?224=1，解得a=2，即雙曲線E的方程為x24?y24=1,所以雙曲線E的實軸長為4，焦距為4210.（多選題）已知F1,F2是橢圓x2a12+y2b12=A.a12?C.14e12+[解析]由題意可得a12?b12不妨設P是第一象限的點，PF1=由橢圓和雙曲線的定義可得m+n=解得m=a1因為∠F在△F1PF2化簡為a12+3a22=4由a12+3a22=4c2，可得a1由e12+e22=141e12+3e22e12+e2211.[2024·湖北模擬]（雙空題）已知Px0,y0是雙曲線E：x24?y2=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)[解析]在雙曲線E中，a=2，b=1根據(jù)對稱性，不妨設點P在雙曲線E的右支上，如圖，則PF因為F1F2=2c=25所以PF1=在△PF1F2則sin∠F所以S△12.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0[解析]設雙曲線C的焦距為2c，離心率為e.當PF1?PF2=0∵e=5根據(jù)雙曲線C上點的橫坐標的取值范圍以及平面向量內(nèi)積的幾何意義可知，當PF1?PF2<0時，應用情境練13.如圖，某水杯的主體部分可以近似看作是離心率為5的雙曲線C：x2?y2b2=1b>0的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若P為雙曲線C[解析]由題意可知a=1,e=ca=所以b=故雙曲線C的方程為x2?y2設雙曲線C的右焦點為F2,則焦點F25,0到漸近線所以PF2與點P到雙曲線C又PF=2a+PF2，所以PF與點P14.已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>1,b>0的焦距為2c，直線l過點a,0[解析]設直線l的方程為xa+yb由點到直線的距離公式，且a>1，得點1,0到直線l的距離d1=ba?1所以s=由s≥45c，得2ab因為e=ca，所以5e即4e4?25e2+即e的取值范圍為[52,創(chuàng)新拓展練15.（改編）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點（在x軸上）F1，F(xiàn)2，它們的離心率分別為e1，e2，若P為它們的一個交點，且∠F1[解析]設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，虛半軸長為b2,橢圓與雙曲線的焦距為2c，則由∠F∴PF1∴22a將①②兩式相加得4a12+∴4e12+e22=121e12+∴雙曲線的漸近線方程為y=±16.已知雙曲線C：x2a2?y2=1a>0（1）求雙曲線C的方程.（2）設P為雙曲線上一點，點M，N在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若P恰為線段MN的中點，試判斷△MON(O[解析]（1）由題意，得Fc,0，當BF⊥AF時則由BF=5?2∴2c2?又e=ca>1，∴解得a2∴雙曲線C的方程為x2（