1 第1課時(shí)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)

3．3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.了解拋物線的幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2.通過拋物線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．1.數(shù)學(xué)抽象：依據(jù)拋物線的方程、圖象研究拋物線的幾何性質(zhì)．2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由拋物線的性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3.邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算：直線和拋物線的位置關(guān)系的判定．第1課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)知識(shí)點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0，0)離心率e＝11．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝3p，則|PQ|等于()A．4pB．5pC．6pD．8p解析：選A.因?yàn)镻Q過焦點(diǎn)，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.2．拋物線y2＝x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于________．解析：在拋物線y2＝2px(p>0)中，p的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．答案：eq\f(1,2)3．已知拋物線y2＝8x，求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍．解：已知拋物線y2＝8x，所以p＝4.所以拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)，焦點(diǎn)為(2，0)，準(zhǔn)線為直線x＝－2，對(duì)稱軸為x軸，變量x的范圍為x≥0.考點(diǎn)一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，求拋物線的方程．【解】設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由對(duì)稱性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以點(diǎn)(1，eq\r(3))在拋物線y2＝2px上，點(diǎn)(－1，eq\r(3))在拋物線y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定拋物線的類型(焦點(diǎn)所在的位置).(2)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)求出參數(shù)p.(4)寫出所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2的拋物線方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：選C.依題意設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p＞0).因?yàn)榻裹c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2，所以eq\f(p,2)＝2，所以2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.故選C.2．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：橢圓的方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短軸在x軸上，所以拋物線的對(duì)稱軸為x軸，所以設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即eq\f(p,2)＝3，所以p＝6，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x.考點(diǎn)二拋物線性質(zhì)的應(yīng)用(1)設(shè)P是拋物線y2＝4x上任意一點(diǎn)，設(shè)A(3，0)，則|PA|取得最小值為________．(2)已知正三角形AOB的一個(gè)頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)．【解】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)閥2＝4x，x≥0，則|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.當(dāng)x＝1時(shí)，|PA|取得最小值2eq\r(2).故填2eq\r(2).(2)如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因?yàn)閤1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq\f(\r(3),3)x1，與yeq\o\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2eq\r(3)p，所以|AB|＝2y1＝4eq\r(3)p，即這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為4eq\r(3)p.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．(4)焦點(diǎn)弦：解決焦點(diǎn)弦問題．設(shè)A，B是拋物線x2＝4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選D.由|OA|＝|OB|，知拋物線上點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,4)))，則S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,4)＝16，解得a＝4，所以|AB|＝8，|OA|＝|OB|＝4eq\r(2)，所以∠AOB＝90°.1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y解析：選D.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±2py(p＞0).由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4知p＝8，故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±16y.2．拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B，且AB垂直于x軸．若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)解析：選A.因?yàn)閨AB|＝2eq\r(2)，AB垂直于x軸，不妨設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\r(2)，代入拋物線方程得x＝1，所以線段AB所在直線方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).3.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)A(x0，y0)，由題意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).因?yàn)閨AF|＝3，所以y0＋eq\f(p,2)＝3，因?yàn)閨AM|＝eq\r(17)，所以xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝17，所以xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是()A．y2＝－11x B．y2＝11xC．y2＝－22x D．y2＝22x解析：選C.在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，解得x＝－eq\f(11,2)，所以拋物線的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,2)，0))，即eq\f(p,2)＝eq\f(11,2)，所以p＝11，所以拋物線的方程是y2＝－22x，故選C.2．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選D.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，所以eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值為eq\f(p,2)，所以拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3，＋∞).3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程9x2＋4y2＝1與3x＋2y2＝0的曲線大致為()解析：選D.將方程9x2＋4y2＝1與3x＋2y2＝0轉(zhuǎn)化為eq\f(x2,\f(1,9))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1與y2＝－eq\f(3,2)x，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，且開口向左．故選D.4．邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：選C.設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0).又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點(diǎn)A在x軸上方)，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.5．已知拋物線的離心率為e，焦點(diǎn)為(0，e)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：由e＝1，得焦點(diǎn)為(0，1)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.答案：x2＝4y6．拋物線y2＝4x的弦AB⊥x軸，若|AB|＝4eq\r(3)，則焦點(diǎn)F到直線AB的距離為________．解析：由拋物線的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4eq\r(3)，且AB⊥x軸得yeq\o\al(2,A)＝(2eq\r(3))2＝12，所以xA＝eq\f(yeq\o\al(2,A),4)＝3，所以所求距離為3－1＝2.答案：27．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，可設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，從而△AOB的面積為eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，解得p＝2或p＝－2(舍).所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.[B能力提升]8．已知圓x2＋y2＝r2(r>0)與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C，D兩點(diǎn)．若四邊形ABCD是矩形，則r＝()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\r(5)解析：選C.由對(duì)稱性可假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，易得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\r(r2－\f(1,4))))，由四邊形ABCD是矩形，可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(r2－\f(1,4)))).將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y2＝2x得，r2－eq\f(1,4)＝1，解得r＝eq\f(\r(5),2)，故選C.9．拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________．解析：由拋物線可知焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線y＝－eq\f(p,2)，由于△ABF為等邊三角形，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)M，則|FM|＝p，不妨取Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(p2＋4),2)，－\f(p,2)))，|FM|＝eq\r(3)|MB|，即p＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(p2＋4),2)))，解得p＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，其面積為________．解析：據(jù)題意知，△PMF為等邊三角形時(shí)，PF＝PM，所以PM垂直拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,4)，m))，則M(－1，m)，則等邊三角形邊長(zhǎng)為1＋eq\f(m2,4)，因?yàn)镕(1，0)，所以由PM＝FM，得1＋eq\f(m2,4)＝eq\r(（－1－1）2＋m2)，解得m2＝12，所以等邊三角形邊長(zhǎng)為4，其面積為4eq\r(3).答案：4eq\r(3)11．已知拋物線y2＝8x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|.若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)．解：由|OA|＝|OB|可知，AB⊥x軸，設(shè)垂足為點(diǎn)M.又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝eq\f(2,3)|OM|.因?yàn)镕(2，0)，所以|OM|＝eq\f(3,2)|OF|＝3，所以M(3，0).設(shè)A(3，m)在第一象限，代入y2＝8x得，m2＝24，所以m＝2eq\r(6)或m＝－2eq\r(6)，所以A(3，2eq\r(6))，B(3，－2eq\r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq\r(33)，所以△OAB的周長(zhǎng)為2eq\r(33)＋4eq\r(6).[C拓展沖刺]12．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，且垂直于x軸的弦為AB，O為拋物線的頂點(diǎn)，則∠AOB的度數(shù)()A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能確定解析：選C.設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，則其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，將x＝eq\f(p,2)代入拋物線方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).在直角三角形AOF中，|OF|＜|AF|，故∠AOF＞45°，由