專(zhuān)題拓展圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題（技巧解密6考點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)）

專(zhuān)題拓展：圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題一、圓錐曲線中的最值范圍問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：1、幾何法：通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；2、代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．二、最值范圍問(wèn)題的一般解題步驟第一步設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)，設(shè)直線的方程等；第二步聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程；第三步求最值：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求其最值．三、參數(shù)取值范圍問(wèn)題1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；4、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)一：距離或長(zhǎng)度的最值范圍例1．（2324高二下·河南·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求的方程；(2)過(guò)的另一條直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)焦距為，當(dāng)時(shí)，將代入橢圓方程可得，，解得，所以，又，解得，所以的方程為；（2）設(shè)直線，與橢圓線方程聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理，，所以，同理可得，，，因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．【變式11】（2324高二上·重慶·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是.(1)求拋物線的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中垂線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即.由點(diǎn)到直線的距離公式得，得，所以?huà)佄锞€的方程為.（2）由(1)知，，.當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，直線斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，，設(shè)，，則，，，∴.易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的中垂線方程為，令得，∴，從而，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.【變式12】（2324高二下·廣東·階段聯(lián)考）雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）依題意，，焦半徑，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；（2）顯然直線不可能與軸平行，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，在條件下，設(shè)，，則，，由，得，即，整理得，代入韋達(dá)定理得，，化簡(jiǎn)可消去所有的含的項(xiàng)，解得：或（舍去），則直線的方程為，得，又都在雙曲線的右支上，故有，，此時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.考點(diǎn)二：多邊形面積的最值范圍例2.（2324高二上·山西朔州·期末）若橢圓過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)；(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則，所以橢圓E的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，所以解得，由韋達(dá)定理可得，由弦長(zhǎng)公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【變式21】（2324高二上·福建寧德·期末）拋物線被直線截得的弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．(1)求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)；準(zhǔn)線方程為；(2)32【解析】（1）解法一：設(shè)拋物線與直線交于，．整理得，所以，因?yàn)樗?，則拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為；解法二：設(shè)拋物線與直線交于，．因?yàn)榻氐玫南业闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故，，則，作差得，所以，因?yàn)?，所以則拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為（2）解法一：依題意設(shè)直線的方程為，，，．聯(lián)立方程組整理得，故所以因?yàn)?，直線的方程為，同理可得所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以四邊形面積的最小值為32．解法二：依題意設(shè)直線的方程為，，，．聯(lián)立方程組整理得，故．所以因?yàn)?，同理可得所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以四邊形面積的最小值為32．【變式22】（2324高二下·浙江·期中）已知點(diǎn)為焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線上的一點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線且交雙曲線右支于兩點(diǎn)，直線分別交該雙曲線斜率為正的漸近線于兩點(diǎn)，設(shè)四邊形和三角形的面積分別為和，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)等軸雙曲線方程為，代入點(diǎn)可得，所以，所以雙曲線方程為.（2）因?yàn)椋?，又，所以，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，因?yàn)槭请p曲線右支的兩點(diǎn)，所以，解得.又因?yàn)殡p曲線斜率為正的漸近線為，直線，可得，同理可得，而，所以，即，所以.考點(diǎn)三：坐標(biāo)或截距的最值范圍例3.（2324高二上·云南大理·期末）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，若．(1)求雙曲線的離心率；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由可得，所以，故，離心率為（2），，所以，由于，所以，解得，【變式31】（2324高二下·內(nèi)蒙古·月考）已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與拋物線相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)，，由題意知直線l的方程為由得，∴，又∵，，∴，結(jié)合已求內(nèi)容及，解得，則拋物線G的方程為.（2）由題意設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，，.∴線段的中垂線方程為，∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為.對(duì)于方程，由得或.此時(shí)易知.【變式32】（2324高二上·陜西漢中·月考）雙曲線焦點(diǎn)是橢圓C：頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓C上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)是橢圓：的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以，且，解得.故橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，所以直線的斜率存在.因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以可設(shè)直線的方程為.代入橢圓方程得.因?yàn)椋?設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，..因?yàn)?，?整理得.令，則.所以.等號(hào)成立的條件是，此時(shí)，滿(mǎn)足，符合題意.故的最大值為考點(diǎn)四：斜率或傾斜角的最值范圍例4.（2223高二上·江蘇徐州·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且虛軸長(zhǎng)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的取值范圍.【答案】(1)；；(2)或.【解析】（1）由題意知：，解得，雙曲線的方程為.（2）聯(lián)立直線與雙曲線：，消得：.，可得且，設(shè)，則，，則，整理得，∴或，綜上，的取值范圍為或.【變式41】（2223高二上·河南·期末）已知橢圓方程短軸長(zhǎng)為2，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)作直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，如果線段MN的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，得，由離心率，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由直線與軸垂直，且直線與直線相交，得直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由，得，則，即，設(shè)，則，由線段中點(diǎn)在直線上，得，即，由，得，即，解得或，所以直線的斜率的取值范圍為或.【變式42】（2223高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)F直線l與拋物線交于MN兩點(diǎn)，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.【答案】(1)或；(2)【解析】（1）由題意可得：，解得或，故拋物線方程為或.（2）拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，解得，此時(shí)，則，若直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，若是鈍角，則，且三點(diǎn)不共線，∵，則，解得或，注意到，故直線斜率范圍為.考點(diǎn)五：向量代數(shù)式的最值范圍例5.（2223高二上·山東德州·期中）已知圓M：，點(diǎn)，P是圓M一動(dòng)點(diǎn)，若線段PN的垂直平分線與PM交于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；(2)若點(diǎn)A是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】(1)；(2)【解析】（1）圓的圓心，半徑為，由題意可知，又點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則，且，則，由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，則點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，則，進(jìn)而①又，所以，將其代入①得，由橢圓的有界性可知，所以當(dāng)時(shí)，取最大值【變式51】（2324高二下·江西新余·期末）已知雙曲線的方程為，實(shí)軸長(zhǎng)和離心率均為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)過(guò)且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】(1)，；(2)1.【解析】（1）由離心率，又，則，又長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；其漸近線方程為.（2）直線的傾斜角為，故其斜率為1，又過(guò)點(diǎn)，的方程為；設(shè)由，得，【變式52】（2324高二下·河北衡水·一調(diào)）已知F是拋物線E：的焦點(diǎn)，是拋物線E上一點(diǎn)，與點(diǎn)F不重合，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）∵，點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合，∴，∴．∵點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，∴，（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）．∴，得，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，代入，整理得，，，設(shè)，則．∵，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．考點(diǎn)六：參數(shù)的最值范圍例6.（2223高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，分別是橢圓的左右頂點(diǎn).橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線的斜率為正時(shí)，設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)，記，，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題可知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線，，由得解得或（舍），且的直線方程為，的直線方程為，令解得，所以，同理，所以,由，可得所以即，因?yàn)?，所以，所以，所?的取值范圍為.【變式61】（2324高二上·山東青島·月考）已知拋物線上的一點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是.(1)求拋物線的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與C交于，兩點(diǎn)，線段的中垂線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義有，所以?huà)佄锞€的方程為.（2），拋物線的準(zhǔn)線為，依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，，所以，由于垂直平分，所以直線的方程為，令得，則，，，所以.【變式62】（2223高二上·浙江杭州·期末）已知點(diǎn)分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點(diǎn)，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可知，所以，，由已知，可得，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，整理可得所以，解得，由，可得，，原點(diǎn)到直線的距離，所以設(shè)，，易知漸近線方程為，不妨設(shè)在漸近線上，由得，同理，所以，到直線的距離，所以所以，，則令，則故的取值范圍是1．（2324高二上·北京西城·期末）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓的圓心為為此圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的離心率；(2)記線段與橢圓的交點(diǎn)為，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意得，且，即，解得，所以橢圓的離心率.（2）由題意，得.設(shè)，則.所以，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍為.2．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知拋物線：，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)是的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)；(2)16【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即：．（2）如圖：設(shè)，，，，直線的方程為（直線斜率存在且不為0）．聯(lián)立方程組，消去得：，所以．因?yàn)?，用代替，得：．由拋物線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．3．（2324高二上·安徽亳州·月考）已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點(diǎn)．(1)求a，b的值及C的離心率；(2)若動(dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】(1)，，離心率為；(2)【解析】（1）因?yàn)椋跈E圓C：上，所以,解得，，所以，C的離心率為；（2）由（1）得，，故，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，所以四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.4．（2324高二上·四川宜賓·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.求△OPQ面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當(dāng)k=0時(shí)，S最小，最小值為.5．（2324高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)斜率為1的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知得橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，所以，所以，所以．（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立消去得：，所以，由，解得．因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．6．（2324高二上·重慶·月考）已知點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求直線在軸上的截距的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得，得，故拋物線的方程為.（2）若直線的斜率為零，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，即，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，滿(mǎn)足，因此，直線在軸上的截距的取值范圍.7．（2324高二上·福建福州·期末）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，且離心率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支相交于A，B兩點(diǎn)，求直線MA和MB的斜率之和的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）易得，，解得，故得，故的方程為，（2）由題意得的斜率存在，故設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，，可得，則，，設(shè)，則，，解得，結(jié)合，故，令，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故直線MA和MB的斜率之和的最大值為.8．（2324高二下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）作切線，過(guò)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)．記直線，的斜率分別為，，求的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題可得的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)在拋物線，所以，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，即，解得（舍去），所以?huà)佄锞€的方程為（2）由題可得，設(shè)，，由于拋物線方程為，即，則，所以切線的斜率，由于，所以直線的斜率為，則直線的方程為：，即，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，則，，所以，同理所以，由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以，故的最小值為9．已知橢圓C：左、右焦點(diǎn)分別、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且橢圓C的離心率與雙曲線的離心率乘積為1，P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q.(1)求橢圓C的方程；(2)若且，求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可知雙曲線的離心率為，從而橢圓離心率，又因?yàn)椋?，可得，從而；故橢圓