專題07立體幾何初步（考點清單18題型解讀）（原卷版）

清單07立體幾何初步【考點題型一】斜二測畫法的概念及計算1、斜二測畫法的概念：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．（1）“斜”：在已知圖形的xOy平面內與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x'軸承45°或135°（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x'軸或z'軸的線段長度不變；平行于y'軸的長度變成原來的一半，2、直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”“三變”：（1）坐標軸的夾角改變；（2）與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄唬?）圖形改變．“三不變”：（1）平行性不改變；（2）與x軸和z軸平行的線段長度不改變；（3）相對位置不改變．3、直觀圖與原圖形面積的關系：按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．【例1】（2223高一下·天津·期末）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（

）A．正方形的直觀圖是正方形B．矩形的直觀圖是矩形C．菱形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形【變式11】（2324高一下·黑龍江牡丹江·期中）如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（

）A． B． C． D．【變式12】（2324高一下·天津北辰·期中）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，則原平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【變式13】（2324高一下·廣東廣州·期中）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（）A． B． C． D．【考點題型二】多面體與旋轉體的結構特征1、多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等側面形狀平行四邊形三角形梯形2、旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形旋轉圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形旋轉軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線直徑所在的直線母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環(huán)【例2】（2324高一下·河南濮陽·月考）下列說法中錯誤的是（

）A．棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形B．用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺C．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐D．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線【變式21】（2324高一下·黑龍江佳木斯·期中）下列命題中正確的是（

）A．梯形的直觀圖可能是平行四邊形B．圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個C．有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺D．底面是矩形的直平行六面體是長方體【變式22】（2324高一下·福建·期中）下列說法正確的是（）A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等B．直四棱柱是長方體C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個圓錐D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形【變式23】（2324高一下·福建福州·期中）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．直四棱柱是長方體B．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺C．棱臺的各側棱延長后必交于一點D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面【考點題型三】幾何體展開圖的最短距離問題求解空間幾何體表面最短路徑問題通常涉及以下步驟：1、化曲為直：將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路線轉化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路線；2、考慮路徑選擇：在空間幾何體的表面上，從一點到另一點的最短路徑可能不是唯一的。有時需要考慮不同的路徑選擇，例如既走側面又走底面的路徑；3、利用幾何性質：在某些情況下，可以利用幾何體的對稱性或者特定的幾何性質來簡化問題。例如，在正方體或其他規(guī)則多面體上，可以利用對稱性找到最短路徑．【例3】（2223高一下·山東濰坊·月考）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側面(經(jīng)過棱)到達頂點，與的交點記為，則從點經(jīng)點到的最短路線長為（

）A． B． C．4 D．【變式31】（2223高一下·河南鄭州·期中）如圖，正三棱錐中，，側棱長為，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【變式32】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現(xiàn)要建設一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，公路上坡路段長為（

）A． B． C． D．【變式33】（2223高一下·全國·單元測試）如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點，且，在母線上取一點，使，則圓柱側面上P、Q兩點的最短距離為．【考點題型四】空間幾何體表面積與體積計算空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【例4】（2324高一下·重慶·月考）某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的（如圖），若被截正方體的棱長是6dm，那么該幾何體的表面積是．【變式41】（2324高一下·河南濮陽·月考）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，直線與的夾角為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【變式42】（2324高一下·重慶·期中）（多選）在等腰梯形中，，，，以所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則下列說法正確的是（

）A．等腰梯形的高為2 B．該幾何體為圓柱C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積為【變式43】（2223高一下·山東·期中）《九章算術》中對一些特殊的幾何體有特殊的稱謂，例如，將底面為直角三角形的直三棱柱叫塹堵，將一個塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開，得到一個陽馬（底面是長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐，即四棱錐）和一個鱉臑（四個面均為直角三角形的四面體，即三棱錐）．在如圖所示的塹堵中，已知，若鱉臑的體積等于12，求：（1）求塹堵的側棱長；（2）求陽馬的體積；（3）求陽馬的表面積．【考點題型五】祖暅原理及其應用1、祖暅原理的內容：冪勢既同，則積不容異。2、祖暅原理的含義：加在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等。3、應用：等地面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等。【例5】（2223高一下·福建福州·期末）九章算術中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖）．現(xiàn)提供一種計算“牟合方蓋”體積的方法．顯然，正方體的內切球同時也是“牟合方蓋”的內切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，該平面截內切球得到的是上述正方形截面的內切圓．結合祖暅原理，兩個同高的立方體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．若正方體的棱長為6，則“牟合方蓋”的體積為（

）

A．144 B． C．72 D．【變式51】（2223高一下·湖南岳陽·期末）中國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數(shù)學家劉徽的有關工作經(jīng)驗，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為6的正四棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為．【變式52】（2223高一下·遼寧·期末）國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，將底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明總成立．據(jù)此，圖中圓柱體（右側圖）的底面半徑b為2，高a為3，則該半橢球體（左側圖）的體積為．

【變式53】（2324高一下·湖北武漢·月考）我國南北朝的偉大科學教祖暅于5世紀提出了著名的祖暅原理，意思就是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個幾截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖1，為了求半球的體積，可以構造一個底面半徑和高都與半球的半徑相等的圓柱，與半球放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一個新幾何體，用任何一個平行底面的平面去截它們時，兩個截面面積總相等.如圖2，某個清代陶瓷容器的上、下底面為互相平行的圓面（上底面開口，下底面封閉），側面為球面的一部分，上、下底面圓半徑都為6cm，且它們的距離為24cm，則該容器的容積為（容器的厚度忽略不計）．【考點題型六】共面、共線、共點的證明1、證明點或線共面問題的2種方法（1）首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2、證明點共線問題的2種方法（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；（2）直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上．3、證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．【例6】（2223高一下·安徽·月考）空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點.【變式61】（2223高一下·河南信陽·期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點，且.（1）證明：四點共面；（2）設，證明：A，O，D三點共線.【變式62】（2223高一下·河南商丘·月考）如圖，在正四棱臺中，．（1）求正四棱臺的體積；（2）若分別為棱的中點，證明：相交于一點．【考點題型七】線面位置關系的命題判斷1、直觀判斷：通過實物或畫圖來直觀感受空間線面的位置關系，這有助于快速形成判斷。2、邏輯推理：根據(jù)已知條件和線面平行、垂直的判定定理、性質定理，進行邏輯推導，得出結論。3、反例驗證：對于認為是真的命題，嘗試找出反例來驗證其真實性；對于認為是假的命題，嘗試找到支持其真實性的證據(jù)【例7】（2324高一下·河南商丘·月考）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（

）A．若上有兩點到平面距離相等，則B．若，則與是異面直線C．若，則與沒有公共點D．若，則與一定相交【變式71】（2024·海南?？凇ざ＃┰O，m是兩條直線，，是兩個平面，則（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【變式72】（2324高一下·江蘇南京·月考）已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，，則 D．若，，，則【變式73】（2024·江西宜春·三模）已知是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若、，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【考點題型八】線線、線面、面面平行的證明1、線面平行的證明方法（1）線面平行的判定定理：關鍵是找到平面內與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線．（2）面面平行的性質：①兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行于另外一個平面，即α∥β，a?α?a∥β；②兩個平面平行，不在兩個平面內的一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β.2、面面垂直的證明方法（1）利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．（2）利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．（3）利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”．（4）利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．【例8】（2324高一下·黑龍江牡丹江·期中）已知四棱錐，底面為矩形，，，分別是，，的中點.證明：（1）平面平面；（2）平面.【變式81】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，分別是棱的中點，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：（1）平面；（2）.【變式82】（2324高一下·福建三明·期中）如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側棱的中點.（1）求證：平面；（2）若為側棱的中點，求證：平面；（3）設平面平面，求證：.【變式83】（2324高一下·江蘇連云港·期中）如圖，在三棱柱中，為的中點，設平面與底面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：平面．【考點題型九】線線、線面、面面垂直的證明1、直線與直線垂直的判定方法（1）定義法:兩條直線所成的角為90°，則這兩條直線垂直.（2）利用直線與平面垂直的性質定理：.（3）若一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則該直線也垂直于另一條：.（4）平面幾何知識證明共面垂直(如：勾股定理逆定理,等腰三角形三線合一,菱形對角線等等).2、證明線面垂直的方法：（2）線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.（2）面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.（3）性質：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.（4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)3、證明面面垂直的方法：（1）利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角問題；（2）利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，把問題轉化為證明線線垂直加以解決?！纠?】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面，且，求證：平面平面．【變式91】（2324高一下·全國·期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：（1）平面；（2）．【變式92】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面.求證：（1）⊥平面；（2）.【變式93】（2324高一下·廣東深圳·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是等邊三角形，，點分別為和的中點.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面;【考點題型十】翻折問題中的平行與垂直1、確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決。2、確定翻折后關鍵點的位置：所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的變化．只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計算。【例10】（2324高一下·浙江紹興·期中）如圖（1），已知菱形中，，沿對角線將其翻折，使，設此時的中點為，如圖（2）.（1）求證：點是點在平面上的射影；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【變式101】（2223高一下·山東濱州·月考）如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過點作一平面與垂直，分別交于點．

（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．【變式102】（2223高一下·山東濟南·期末）如圖1，在等腰中，分別為的中點，過作于．如圖2，沿將翻折，連接得到四棱錐為中點．（1）證明：平面；（2）當時，求直線與平面所成的角的正弦值．【變式103】（2223高一下·江西宜春·期末）如圖（1），六邊形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿進行翻折，得到的圖形如圖（2）所示，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值；【考點題型十一】平行與垂直中的動點探究1、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題的主要類型①探索條件，即探索能使結論成立的條件是什么.②探索結論，即在給定的條件下，探索命題的結論是什么.2、對命題條件探索的三種方法：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性.③把幾何問題轉化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.3、對命題結論探索的方法首先假設結論成立，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結論就肯定假設，如果得到了矛盾的結果就否定假設.【例11】（2324高一下·云南昆明·月考）如圖，在等腰梯形中，，，，平面，平面，，點P在線段上運動.（1）求證：；（2）是否存在點P，使得平面？若存在，試求點P的位置；若不存在，請說明理由.【變式111】（2324高一下·河北保定·月考）如圖，在正方體中，，點E在棱上，且.（1）求三棱錐的體積；（2）在線段上是否存在點F，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【變式112】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在正三棱柱中，．點D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，連接BD，F(xiàn)E，CE，CF，BE．試問：線段BE上是否存在一點G，使得？若存在，指出點G的位置；若不存在，請說明理由．【變式113】（2324高一下·湖南衡陽·期中）如圖，已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點．（1）證明：平面；（2）設，當為何值時，平面？試證明你的結論．【考點題型十二】異面直線所成角的求解求兩條異面直線所成的交的一般步驟：第一步構造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（一般用三角形中位線、平行四邊形的性質）作出異面直線所成的角；第二步證明：證明作出的角就是要求的角；第三步計算：求角度（常利用三角形的有關知識）；第四步結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角?！纠?2】（2324高一下·湖南永州·月考）在空間四邊形ABCD中，分別是AB，CD的中點，，則異面直線AD與BC所成角的大小為（

）A． B． C． D．【變式121】（2023·陜西商洛·一模）如圖，在長方體中，已知，，E為的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式122】（2324高一下·山西·月考）如圖，在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式123】（2324高一下·湖北武漢·月考）已知圓錐的頂點為，側面面積為，母線長為為底面圓心，為底面圓上的兩點，且，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【考點題型十三】直線與平面所成角的求解1、利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟：第一步：在這個平面內找兩條直線，證直線和這兩條直線垂直；第二步：確定這個平面內的兩條直線是相交直線；第三步：根據(jù)判定定理得出結論。2、線面垂直的判定定理的實質是由線線垂直推出線面垂直，途經(jīng)是找到平面內的兩條相交直線均與已知直線垂直?！纠?3】（2324高二下·河南·月考）在直三棱柱中，，則與平面所成的角為（

）.A． B． C． D．【變式131】（2024·云南曲靖·二模）在三棱錐中，兩兩垂直，，則直線與平面所成角的正切值等于（

）A． B． C． D．【變式132】（2024高一下·江蘇·專題練習）已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，為斜邊，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為（）．A． B． C． D．【變式133】（2324高一下·北京·期中）如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，側棱的長為2，E、F分別為和AC中點，則直線EF與平面所成角的余弦值為，異面直線與所成角的余弦值為．【考點題型十四】二面角的求解1、二面角的平面角的頂點是二面角棱上任意一點，為了解題方便，可以把其放在某一特殊位置，這要具體問題具體分析。2、求二面角的關鍵是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即過二面角的一個半平面內不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.【例14】（2324高二上·北京·月考）在長方體中，若，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【變式141】（2324高二上·上海浦東新·期中）如圖，正方體中，，則二面角的余弦值為.【變式142】（2324高一下·山東菏澤·月考）三棱錐中，平面ABC，，，，，則二面角的大小為.【變式143】（2024高三·全國·專題練習）如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，測得從D，C到庫底與水壩的交線AB的距離分別為m，m.又測得AB的長為5m，CD的長為m，則水庫底面與水壩斜面所成的二面角的大小為.【考點題型十五】空間點面距的求解求點到平面的距離的方法從平面外一點作一個平面的垂線，這個點與垂足間的距離就是這個點到這個平面的距離.求點到平面的距離一般采用以下三種方法：一是直接作出點到平面的垂線，當該點到已知平面的垂線不易作出時，可轉化為過與已知平面等距離的點作垂線，然后計算；二是通過補形進行轉化，轉化為易于求解的點；三是采用等體積法.【注意】線面距與面面距通?？赊D化為點面距求解?！纠?5】（2024高一下·全國·專題練習）如圖直四棱柱的體積為8，底面為平行四邊形，的面積為，則點A到平面的距離為（）A．1 B． C． D．2【變式151】（2223高二下·江蘇連云港·月考）在四棱錐中，平面，，，與平面所成角為，底面為直角梯形，，則點到平面的距離為（

）A． B．2 C． D．【變式152】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知棱長為1的正方體分別是AB和BC的中點，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．【變式153】（2024高一下·全國·專題練習）用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為.【考點題型十六】空間幾何體的外接球問題球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要認真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對稱性，明確接點的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點間的關系，確定相關的數(shù)量關系，并作出合適的截面進行求解.【例16】（2324高一下·廣東潮州·期中）已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【變式161】（2324高一下·江蘇·月考）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球的球面上，該圓錐的底面直徑為2，側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則球的表面積等于．【變式162】（2024·湖北·模擬預測）已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，且，，，則球O的半徑為.【變式163】（2324高一下·重慶·期中）我國古代數(shù)學名著《九章算術》，將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．如圖所示，在長方體中，已知，．該“陽馬”的外接球的表面積．【考點題