2024-2025學年廣東省深圳市福田外國語學校九年級（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省深圳市福田外國語學校九年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在數(shù)學活動課中，同學們利用幾何畫板繪制出了下列曲線，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A.三葉玫瑰線 B.笛卡爾心形線

C.蝴蝶曲線 D.四葉玫瑰線2.下列各等式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是(

)A.(3?x)(3+x)=9?x2 B.8x=2×4x

C.x23.已知點P(m?3,m?1)在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(

)A.B.C.D.4.小明在解關(guān)于x的分式方程xx+1=？x+1A.?1 B.1 C.2 D.?25.下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D，連接CD．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．

∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，

∴①______．

又∵∠4=∠5，MA=MC，

∴△MAD≌△MCB(②______)．

∴MD=MB.∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應分別為(

)A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA

C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA6.某單位向一所希望小學贈送了1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用12個，設B型包裝箱每個可以裝x件文具，根據(jù)題意列方程為(

)A.1080x=1080x?15+12 B.1080x7.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，過點A作AD//BC，連接CD與AB交于點F，E是邊DF的中點，∠ACD=2∠D，若DF=8，BC=6，則AB的長為A.25 B.22 C.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2，AB=5，則對角線BD的長是(

)A.733

B.732二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.分解因式：3a3?12a=

．10.若代數(shù)式52x+6在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．11.如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b與y=?2x+4的交點坐標為(12,3)，則不等式kx+b≥?2x+412.如圖，AD為△ABC中∠BAC的外角平分線，BD⊥AD于D，E為BC中點，DE=5，AC=3，則AB長為______．13.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，點P是BC邊上一點，連接AP，以A為中心，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接CQ、DQ，且∠BCQ=∠DCQ，則CQ的長度為______．三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題5分)

解方程：xx?2+3=x?415.(本小題7分)

先化簡：(1+3x?1)÷x2?4x?1，再從?1，0，116.(本小題8分)

如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(?3,0)，B(?5,3)，C(?1,1)．

(1)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A1B1C1；

(2)P(a,b)是△ABC的AC邊上一點，將△ABC平移后點P的對稱點P′(a+4,b+2)，請畫出平移后的△A2B217.(本小題8分)

端午節(jié)主要風俗有掛鐘道像、賽龍舟、飲用雄黃酒、吃五毒餅、咸蛋、粽子等，在端午節(jié)來臨之際，某單位準備購買粽子和咸蛋共30盒分發(fā)給員工回家過節(jié).其中粽子比咸蛋每盒貴20元．

(1)若用700元購買咸蛋與用900元購買粽子的數(shù)量相同，求粽子和咸蛋每盒的價格；

(2)在(1)的條件下，若購買咸蛋數(shù)量不超過粽子數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費用最少？18.(本小題9分)

如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點.某數(shù)學興趣小組要在AC上找兩個點E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案

在AO，CO上分別取點E，F(xiàn)，使得AE=CF

作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F請回答下列問題：

(1)選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；

(2)在(1)的基礎上，若EF=3AE，S△AED=5，則?ABCD19.(本小題12分)

如圖①②，在四邊形ABCD中，AD//BC，頂點坐標分別為A(?1,3)，B(?2,0)，C(3,0)，D(2,3)，∠ABC=60°，動點N從C開始以每秒1個單位長度的速度沿線段CB向B運動，另一個動點M以每秒2個單位長度的速度從B開始運動，N、M同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

請回答下列問題：

(1)AB=______，AD=______；

(2)如圖①，若點M沿折線BA?AD?DC向C運動，

①t為何值時，MN⊥AB，請說明理由；

②t為何值時，以點M、N和四邊形ABCD的任意兩個頂點為頂點的四邊形是平行四邊形，請說明理由；

(3)如圖②，若點M沿射線BA運動，當線段MN被AD平分時，直接寫出點20.(本小題12分)

綜合與實踐

問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在?ABCD中，∠ADC=90°，點O是邊AD的中點，連接AC.保持?ABCD不動，將△ADC從圖1的位置開始，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，點A，D，C的對應點分別為點E，F(xiàn)，G.當線段AB與線段FG相交于點M(點M不與點A，B，F(xiàn)，G重合)時，連接OM.老師要求各個小組結(jié)合所學的圖形變換的知識展開數(shù)學探究．

初步思考：(1)如圖2，連接FD，“勤學”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)FD//OM，請你證明這一結(jié)論；

操作探究：(2)如圖3，連接BG，“善思”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)OM垂直平分BG，請你證明這一結(jié)論；

拓展延伸：(3)已知AD=22，CD=2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當以點F，C，D為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時線段AM的長度．

參考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.3a(a+2)(a?2)

10.x>?3

11.x≥112.7

13.414.解：xx?2+3=x?42?x，

方程兩邊都乘x?2，得x+3(x?2)=?(x?4)，

解得：x=2，

檢驗：當x=2時，x?2=0，

所以x=215.解：(1+3x?1)÷x2?4x?1

=(x?1x?1+3x?1)?x?1(x?2)(x+2)

=x+2x?1?x?116.(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求；

(2)如圖所示，△A2B2C217.解：(1)設粽子每盒的價格為x元，則咸蛋每盒的價格為(x?20)元，

由題意得：700x?20=900x，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗，x=90是原方程的解，且符合題意，

∴x?20=90?20=70，

答：粽子每盒的價格為90元，咸蛋每盒的價格為70元；

(2)設購買咸蛋為m盒，則購買粽子為(30?m)盒，

由題意得：m≤2(30?m)，

解得：m≤20，

設總費用為w元，

則w=70m+90(30?m)=?20m+2700，

∵?20<0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當m=20時，w最小，

此時，30?m=30?20=10，

答：購買咸蛋2018.(1)甲方案，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠BAE=DCFAE=CF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，

∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，

∵∠BEF=180°?∠AEB，∠DFE=180°?∠CFD，

∴∠BEF=∠DFE，

∴BE//DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

乙方案，證明：∵BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，

∴BE//DF，∠AEB=∠CFD=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴BE=DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)由(1)得△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EF=3AE，

∴AC=5AE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴S△ABC=S△ADC=5S△AED=5×5=25，

∴S?ABCD=2×25=50，

19.(1)2，3；

(2)①由題意知N點運動過程中的坐標為(3?t,0)，

∵MN⊥AB，

∴△BMN是直角三角形，

∵∠ABC=60°，

∴∠BNM=30°，

∴BM=2t，BN=(5?t)2(0<t≤1)，

∴BMBN=2t(5?t)2=12，

即4t=5?t或4t=t?5，

解得t=1或t=?53(舍去)，

∴t=1時，MN⊥AB；

②由題意，分兩種情況，當MD/?/NC時，MN//AB時，

由題得當1≤t<52時，M點在AD上運動，

若想M，N與四邊形ABCD的任意兩個頂點構(gòu)成平行四邊形，MN//CD，

即MD//NC且MD=NC，

∵MD=AD?AM=3?(2t?2)=5?2t，NC=t，

∴5?2t=t，

∴t=53；

當MN//AB時，

根據(jù)題意，BH=AB?sin30°=1，

∴BC=1+1+3=5，

∴AM=2t?2，NB=5?t，

∴2t?2=5?t，

∴t=73；

當AM=NC時，

2t?2=t，

∴t=2；

故t的值為53或73或2；

(3)設直線AB的解析式為y=kx+b，

代入A，B兩點，

則3=?k+b0=?2k+b，

得k=3b=23，

∴y=3x+23，

∴M(x,3x+23)N(3t,0)，

∵MN被AD平分，

∴MN的中點P(3?t+x2,3x+232)，

∵P在線段AD上，

∴P點縱坐標為3，

∴3x+232=3，

∴x=0，

∴y=3x+23=23，

∴M點坐標為(0,23)，

20.(1)證明：如圖1，連接CF，DF，

∵將△ADC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴∠ADC=∠EFG，OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵∠ADC=90°，

∴∠EFG=90°，

∵點O是邊AD的中點，

∴OA=OD，

∴OA=OF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

又∵∠ADC=90°，

∴∠BAD=180°?90°=90°，

∴∠BAD=∠EFG=90°，

∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，

OM=OM,OA=OF,

∴Rt△OAM≌Rt△OFM(HL)，

∴∠AOM=∠FOM，

∵∠AOF是△OFD的一個外角，

∴∠AOF=∠AOM+∠FOM=∠ODF+∠OFD，

即2∠AOM=2∠ODF，

∴∠AOM=∠ODF，

∴FD//OM；

(2)證明：如圖2，延長OM交BG于點N，

由(1)知：Rt△OAM≌Rt△OFM，

∴AM=FM，∠AMO=∠FMO，

∵將△ADC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴CD=GF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∴AB=GF，

∴AB?AM=GF?MF，

即BM=GM，

∵∠AMO=∠FMO，∠AMO=∠BMN，∠FMO=∠GMN，

∴∠BMN=∠GMN，

∴OM垂直平分BG；

(3)解：∵以點F，C，D為頂點的三角形是等腰三角形，

∴FC=FD或FC=CD或FD=CD，

當FC=FD時，如圖3，過點F作FH⊥CD于H，交AB于L，過點O作OK⊥FH于K，

則四邊形AOKL、OKHD、ALHD均為矩形，

∴AL=OK=DH，LK=OA，

∵AD=22，CD=2，點O是邊AD的中點，

∴LK=OA=OD=2，

∵FC=FD，F(xiàn)H⊥CD，

∴DH=12CD=1，

∴OK=AL=DH=1，

由