2024-2025學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)怡海中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)怡海中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.?6的相反數(shù)是(

)A.?6 B.?16 C.6 2.下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是(

)A.2，3，4 B.1,1,2 C.1,3,2 D.3.我國近年來大力推進(jìn)國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000，建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一.用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為(

)A.1.29×108 B.12.9×108 C.4.下列計(jì)算正確的是(

)A.x6÷x4=x2 B.5.函數(shù)y=?x2+1的圖象大致為A. B.

C. D.6.關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x?1，下列說法正確的是A.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1) B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)

C.當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小 D.y的最小值為?37.將拋物線y=x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，平移后所得新拋物線的表達(dá)式為(

)A.y=(x+2)2?5 B.y=(x+2)2+58.如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，各彩條的寬度相等，如果要使彩條所占面積是圖案面積的六分之一．設(shè)彩條的寬為x?cm，根據(jù)題意可列方程(

)A.(20?2x)(30?2x)=20×30×16

B.(20?2x)(30?2x)=20×30×(1?16)

9.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).則正確的是(

)A.若AC=BD，則四邊形EFGH為矩形

B.若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形

C.若EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分

D.若EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等10.如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)

①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2A.①②③ B.①③ C.①②④ D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢，每種秧苗各隨機(jī)抽取40株，分別量出每株高度，計(jì)算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知______種秧苗長勢更整齊(填“甲”、“乙”或“丙”)．12.方程3x2+x?10=0的兩個(gè)根是x1=?2，x2=513.若關(guān)于x的一元二次方程(m?2)x2+x+m2?4=0的一個(gè)根為14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC=4，DE=1.6，則BE的長為______．15.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若E為BO的中點(diǎn)，則AE的長為______．

16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1.下列結(jié)論：①abc<0；②3a+c>0；③(a+c)2?b2<0；三、計(jì)算題：本大題共1小題，共9分。17.某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不超過45%，

經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65，y=55；x=75時(shí)，y=45，

(1)求出一次函數(shù)的解析式；

(2)若該商場獲利為w元，試寫出利潤w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；

(3)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場可以獲利最大，最大利潤為多少元？四、解答題：本題共8小題，共63分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題6分)

計(jì)算：?12024+19.(本小題6分)

解下列一元二次方程

(1)x2+6x?7=0；

20.(本小題6分)

已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m+1)x+m2+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)求m的取值范圍；

21.(本小題8分)

2024年5月28日，神舟十八號航天員葉光富、李聰、李廣蘇密切協(xié)同，完成出艙活動(dòng)，活動(dòng)時(shí)長達(dá)8.5小時(shí)，刷新了中國航天員單次出艙活動(dòng)時(shí)間紀(jì)錄，進(jìn)一步激發(fā)了青少年熱愛科學(xué)的熱情.某校為了普及“航空航天”知識，從該校1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加“航空航天”知識測試，將成績整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

成績統(tǒng)計(jì)表組別成績x(分)百分比A組x<605%B組60≤x<7015%C組70≤x<80aD組80≤x<9035%E組90≤x≤10025%根據(jù)所給信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的成績統(tǒng)計(jì)表中a=______%，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在______組(填A(yù)、B、C、D或E)；

(3)試估計(jì)該校1200名學(xué)生中成績在90分以上(包括90分)的人數(shù)．22.(本小題8分)

如圖直線：y1=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(?6,0)，B(?1,5)．

(1)求直線AB的表達(dá)式；

(2)若直線y2=?2x?3與直線AB相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)D.求四邊形OBMD的面積；

(3)根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式23.(本小題9分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：AD=AF；

(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求EF的長．24.(本小題9分)

我們不妨約定：若某函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”，其圖象上這一點(diǎn)，稱為“和諧點(diǎn)”，例如：“和諧函數(shù)”y=2x?1，其“和諧點(diǎn)”為(1,1)．

(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“和諧函數(shù)”的，請?jiān)谙鄳?yīng)的題目后面括號中打“√”．

①y=x?3______；

②y=?12x+1______；

③y=x2?2x______．

(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B是“和諧函數(shù)”y=x2?(2m+1)x+(m?1)2(其中m>0)上的“和諧點(diǎn)”，且82≤AB≤10225.(本小題11分)

如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)與點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使∠CAP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接BP，設(shè)△ACP的面積為S1，△BCP的面積為S2

參考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.B

9.D

10.C

11.甲

12.(?2,0)、(513.?2

14.415.3

16.②③④

17.解：(1)將x=65y=55，x=75y=45代入y=kx+b中55=65k+b45=75k+b，

解得：k=?1b=120，

∴y=?x+120(60≤x≤87)．

(2)W=(?x+120)(x?60)，

W=?x2+180x?7200，

W=?(x?90)2+900．

(3)又∵60<x≤60×(1+45%)，

即60≤x≤87，

則x=87時(shí)獲利最多，

將x=8718.解：?12024+(?2)2?(3?π19.解：(1)x2+6x?7=0，

(x?1)(x+7)=0，

∴x?1=0或x+7=0，

解得，x1=1，x2=?7；

(2)3x(2x+1)=4x+2，

6x2+3x=4x+2，

6x2?x?2=0，

(3x?2)(2x+1)=020.解：(1)∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m+1)x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

∴Δ≥0，

∴[?2(m+1)]2?4(m2+5)≥0，

解得：m≥2；

(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x221(1)20．

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．

(2)D．

(3)1200×25%=300(人)．

∴估計(jì)該校1200名學(xué)生中成績在90分以上(包括90分)的人數(shù)約300人．22.解：(1)將A(?6,0)，B(?1,5)代入y1=kx+b得，?6k+b=0?k+b=5，

解得k=1b=6，

∴直線AB的表達(dá)式為y1=x+6；

(2)聯(lián)立y1=x+6y2=?2x?3，

解得x=?3y=3，

∴M(?3,3)，

當(dāng)y2=0時(shí)，?2x?3=0，

解得x=?32，

∴D(?32,0)，

∴S四邊形OBMD=S△AOB?S△ADM=12×6×5?1223.(1)證明：∵平行四邊形ABCD，

∴AB//CD，

∴∠F=∠CDF，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∴∠ADF=∠F，

∴AD=AF；

(2)解：∵平行四邊形ABCD，

∴CD=AB=3，

∵AD=6，AB=3，

∴AF=6，BF=3=CD，

∵∠F=∠CDE，∠FEB=∠DEC，BF=CD，

∴△FEB≌△DEC(AAS)，

∴DE=EF，

如圖，連接AE，

∵AD=AF，

∴AE⊥DF，∠FAE=12∠BAD=60°，∠F=30°，

∴AE=12AF=3，

由勾股定理得，EF=A24.(1)①×，②√，③√；

(2)∵y=x2?(2m+1)x+(m?1)2是“和諧函數(shù)”，

∴x=x2?(2m+1)x+(m?1)2，

整理得，x2?(2m+2)x+(m?1)2=0，

∵點(diǎn)A、點(diǎn)B是“和諧函數(shù)”上的“和諧點(diǎn)”，

設(shè)A(x1,x1)，B(x2,x2)，

∴Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1?x2=(m?1)2，

∴AB=(x1?x2)2+(x1?x2)2

=2|x1?x2|

=2(x1+x2)2?4x1x2

=42m，

∵82≤AB≤102，

∴82≤42m≤102，

∴4≤m≤254；25.解：(1)將A(?1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：

a?b+c=09a+3b+c=0c=3，

解得a=?1b=2c=3，

∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3；

(2)如圖①，連接AC，過A作直線AP，使∠CAP=45°，過C作CD⊥AP于D，過D作EF⊥x軸于E，作CF⊥EF于F，

∴∠ACD=45°=∠CAD，

∴AD=CD，

∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，

∴△DEA≌△CFD(AAS)，

∴AE=DF，DE=CF，

設(shè)