2025年中考數(shù)學(xué)題型突破（全國）題型5 圓的相關(guān)證明與計(jì)算 類型1 圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE1PAGE類型一圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算（專題訓(xùn)練）1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

，，，，，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．2.如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的外接圓，，，又，，，，在中，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，，，，根據(jù)圓周角定理可知，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4.如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)弧長公式計(jì)算求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于，則，由圓周角定理得：，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可．【詳解】∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．5.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時(shí)，S側(cè)有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．6．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7.如圖，AB為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，如圖，AB為的直徑，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弦所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.8．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．11.如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中點(diǎn)，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∵OC⊥AB,∴，,∴∴∴圓心O到弦AB的距離為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.12．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．13.如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為對角線，經(jīng)過圓心．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為圓的直徑，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝，

∴OC＝AB＝，

∵＝?AB?CH＝?AC?BC，

∴CH＝，

∴sin∠BOC＝＝，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出CH的長，屬于中考常考題型．16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，，所對的圓心角為，所對的圓周角，又，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．17.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【分析】直接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∴∠C=90°故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，靈活掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．18．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．19.如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)、在⊙O上，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【詳解】∵,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，鄰補(bǔ)角的定義.20．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．21.如圖，內(nèi)接于圓，，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.22．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，∴∴∵∴，∵∴,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23.如圖，已知是的直徑，是弦，若則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先由圓周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根據(jù)是的直徑確定∠ADB=90°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答．【詳解】解：∵是弦，若∴∠DAB=∠BCD=36°∵是的直徑∴∠ADB=90°∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．24.如圖，是圓上一點(diǎn)，是直徑，，，點(diǎn)在圓上且平分弧，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又在圓上且平分弧，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長，從而可求DC的長.【詳解】解：∵是圓O的直徑，∴∠A=∠D=90°.又在圓上且平分弧，∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，，，根據(jù)勾股定理，得BC==2.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CD==.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25.如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、三角形的內(nèi)角和、等邊對等角，熟練應(yīng)用幾何知識是解題的關(guān)鍵．26．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長為8，點(diǎn)C在延長線上，且．

(1)求的半徑；(2)求的正切值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正切的定義即可得．【詳解】（1）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，連接，

由圓周角定理得：，弦的長為8，且，，解得，的半徑為．（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

的半徑為5，，，，，，即，解得，，，則的正切值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．27.如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)弦交于點(diǎn)且．（1）求證：是的切線；（2）求的直徑的長度．【答案】（1）見解析；（2）的直徑的長度為【解析】【分析】(1)先用勾股定理的逆定理證明△AEM為直角三角形，且∠AEM=90°，再根據(jù)MN∥BC即可證明∠ABC=90°進(jìn)而求解；(2)連接BM，由AB是直徑得到∠AMB=90°，再分別在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．【詳解】解：(1)，，為的直徑，是的切線．(2)如圖，連接

為的直徑，又，即，，∴的直徑的長度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中切線的證明，圓周角定理，直角三角形中銳角的三角函數(shù)的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定及銳角三角函數(shù)的定義是解決此類題的關(guān)鍵．28．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真