2025屆新疆維吾爾自治區(qū)七校聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆新疆維吾爾自治區(qū)七校聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，△ABC中，AC＝BC，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝4，△ABC的面積是16，則△ADM周長(zhǎng)的最小值為（）A．20 B．16 C．12 D．102．在實(shí)數(shù)0.2，，，π-3，，，1.050050005……（相鄰兩個(gè)5之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）中，無(wú)理數(shù)有（）A．2

個(gè) B．3

個(gè) C．4

個(gè) D．5

個(gè)3．若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別4和6，則它的周長(zhǎng)是（）A．14 B．15 C．16 D．14或164．下列調(diào)查適合抽樣調(diào)查的是（）A．審核書稿中的錯(cuò)別字 B．企業(yè)招聘，對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行面試C．了解八名同學(xué)的視力情況 D．調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力5．下列計(jì)算正確的是（）A．+= B．=4 C．3﹣=3 D．=6．如圖，在3×3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出（）個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱．A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)7．將數(shù)據(jù)0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．8．已知?jiǎng)t的值為：A．1．5 B． C． D．9．已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則等于()A． B． C． D．10．下列三組線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，2，4 C．3，4，5 D．3，3，6二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，則∠C=______．12．已知一組數(shù)據(jù)：2，4，5，6，8，則它的方差為__________.13．已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．14．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的面積為______________．15．八邊形的外角和等于▲°．16．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于，點(diǎn)在上，，，，則=_________．17．如圖所示，直線y＝x+1（記為l1）與直線y＝mx+n（記為l2）相交于點(diǎn)P(a，2)，則關(guān)于x的不等式1﹣n≥（m﹣1）x的解集為_____．18．?dāng)?shù)據(jù)-3、-1、0、4、5的方差是_________．三、解答題(共66分)19．（10分）已知：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（1）如圖1，∠BOC和∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）如圖2，過(guò)O點(diǎn)的直線分別交△ABC的邊AB、AC于E、F（點(diǎn)E不與A，B重合，點(diǎn)F不與A、C重合），BP平分外角∠DBC，CP平分外角∠GCB，BP，CP相交于P．求證：∠P＝∠BOE+∠COF；（3）如果（2）中過(guò)O點(diǎn)的直線與AB交于E（點(diǎn)E不與A、B重合），與CA的延長(zhǎng)線交于F在其它條件不變的情況下，請(qǐng)直接寫出∠P、∠BOE、∠COF三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．20．（6分）（1）如圖1，求證：（圖1）（2）如圖2，是等邊三角形，為三角形外一點(diǎn)，，求證：（圖2）21．（6分）在四邊形中，，，是對(duì)角線，于點(diǎn)，于點(diǎn)(1)如圖1，求證：(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于四邊形面積的．22．（8分）（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系________；（2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．23．（8分）已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AB，DN⊥AC，M、N分別為垂足．求證：DM=DN．24．（8分）在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上．（1）如圖，若，以為邊作等邊，交于點(diǎn)，連接．求證：①；②平分．（2）如圖，若，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．25．（10分）父親兩次將100斤糧食分給兄弟倆，第一次分給哥哥的糧食等于第二次分給弟弟的2倍，第二次分給哥哥的糧食是第一次分給弟弟的3倍，求兩次分糧食中，哥哥、弟弟各分到多少糧食？26．（10分）如圖，邊長(zhǎng)為a，b的矩形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】連接CD，CM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BA邊的中點(diǎn)，故CD⊥BA，再根據(jù)三角形的面積公式求出CD的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故CD的長(zhǎng)為AM＋MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，CM．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BA邊的中點(diǎn)，∴CD⊥BA，∴S△ABC＝BA?CD＝×4×CD＝16，解得CD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，∴MA＝MC，∵CD≤CM+MD，∴CD的長(zhǎng)為AM+MD的最小值，∴△ADM的周長(zhǎng)最短＝（AM+MD）+AD＝CD+BA＝8+×4＝8+2＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2、C【解析】根據(jù)無(wú)理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】在所列實(shí)數(shù)中有，，π-3，，1.050050005……這4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)和有理數(shù)，熟練掌握兩者的定義是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】根據(jù)題意，①當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)=6+6+4=16；②當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)=4+4+6=14.故選D.4、D【分析】根據(jù)“抽樣調(diào)查”和“全面調(diào)查”各自的特點(diǎn)結(jié)合各選項(xiàng)中的實(shí)際問(wèn)題分析解答即可.【詳解】A選項(xiàng)中，“審核書稿中的錯(cuò)別字”適合使用“全面調(diào)查”；B選項(xiàng)中，“企業(yè)招聘，對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行面試”適合使用“全面調(diào)查”；C選項(xiàng)中，“了解八名同學(xué)的視力情況”適合使用“全面調(diào)查”；D選項(xiàng)中，“調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力”適合使用“抽樣調(diào)查”.故選D.【點(diǎn)睛】熟知“抽樣調(diào)查和全面調(diào)查各自的特點(diǎn)和適用范圍”是解答本題的關(guān)鍵.5、D【解析】解：A．與不能合并，所以A錯(cuò)誤；B．，所以B錯(cuò)誤；C．，所以C錯(cuò)誤；D．，所以D正確．故選D．6、A【分析】把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.【詳解】解：如圖，可以畫6個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換，能確定對(duì)稱軸的位置是解題關(guān)鍵.7、D【分析】絕對(duì)值小于1的負(fù)數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法，解題關(guān)鍵在于掌握其一般形式.8、B【解析】試題解析：∵，∴a=b，∴．故選B．考點(diǎn)：比例的性質(zhì)．9、C【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得第二個(gè)三角形沒(méi)有標(biāo)注的邊為a，且a和c的夾角為70°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠1．【詳解】解：∵兩個(gè)三角形全等，∴第二個(gè)三角形沒(méi)有標(biāo)注的邊為a，且a和c的夾角為70°∴∠1=180°－70°－50°=60°故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解決此題的關(guān)鍵．10、C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】A．1+2=3,不符合三角形的三邊關(guān)系,不能構(gòu)成三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;B．1+2＜4,不符合三角形的三邊關(guān)系,不能構(gòu)成三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;C．3+4＞5,符合三角形的三邊關(guān)系,能構(gòu)成三角形,故本選項(xiàng)符合題意;D．3+3=6,不符合三角形的三邊關(guān)系,不能構(gòu)成三角形,故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形,掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、38°【解析】首先發(fā)現(xiàn)此圖中有兩個(gè)等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等找到角之間的關(guān)系．結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28°∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．故答案為38°．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得∠ADC=76°是正確解答本題的關(guān)鍵．12、1【分析】先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再由方差的計(jì)算公式計(jì)算方差．【詳解】解：一組數(shù)據(jù)2，1，5，6，8，

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，∴這組數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查求一組數(shù)的方程．掌握平均數(shù)和方差的計(jì)算公式是解決此題的關(guān)鍵．13、或【解析】到兩坐標(biāo)軸距離相等，說(shuō)明此點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，那么x=y，或x=-y．據(jù)此作答．【詳解】設(shè)(x,y).∵點(diǎn)為直線y=?2x+4上的一點(diǎn)，∴y=?2x+4.又∵點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等，∴x=y或x=?y.當(dāng)x=y時(shí),解得x=y=，當(dāng)x=?y時(shí)，解得y=?4，x=4.故點(diǎn)坐標(biāo)為或故答案為：或【點(diǎn)睛】考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，列出方程求解即可.14、84或24【解析】分兩種情況考慮：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根據(jù)勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根據(jù)勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，則S△ABC=BC?AD=84；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根據(jù)勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根據(jù)勾股定理得：DC==5，∴BC=BD?DC=9?5=4，則S△ABC=BC?AD=24.綜上，△ABC的面積為24或84.故答案為24或84.點(diǎn)睛：此題考查了勾股定理，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用勾股定理是解本題的關(guān)鍵.15、360【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°進(jìn)行解答．【詳解】根據(jù)多邊形的外角和等于360°,∴八邊形的外角和等于360°16、【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=2DE=2（1+2.5）=7，過(guò)O作OF⊥AB于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF=AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵,∴DE=1+2.5=3.5∵DE⊥BC，∠B=30°，∴BE=2DE=7，

過(guò)O作OF⊥AB于F，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴OC=OB，∠BDE=90°，

∵OC=OA，

∴OB=OA，∴BF=AF，

∵∴∠FEO=60°，

∴∠EOF=30°，∴EF=OE=，

∴BF=BE-EF=7-，∴AF=BF=，∴AE=AF-EF=．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17、x≥1【分析】先利用y＝x+1確定a＝1，然后結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線y＝x+1不在直線y＝mx+n的下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】當(dāng)y＝2時(shí)，a+1＝2，解得a＝1，不等式1﹣n≥（m﹣1）x變形為x+1≥mx+n，而x≥1時(shí)，x+1≥mx+n，所以關(guān)于x的不等式1﹣n≥（m﹣1）x的解集為x≥1．故答案為:x≥1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．18、9.1．【分析】根據(jù)公式求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差．【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：方差是．故答案為：9.1．【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的問(wèn)題，解題時(shí)利用平均數(shù)與方差的公式進(jìn)行計(jì)算即可．三、解答題(共66分)19、（1）∠BOC＝90°+∠A，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解；（2）證明∠P＝90°﹣∠A，得到∠P+∠BOC＝180°即可解決問(wèn)題；（3）畫出圖形由∠P+∠BOC＝180°，∠BOC+∠BOE+∠COF＝360°，可得∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．【詳解】解：（1）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；（2）∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠GCB，∴∠PBC＝∠CBD，∠PCB＝∠BCG，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP）＝180°﹣（∠CBD+∠BCG）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，∴∠P+∠BOC＝180°，∵∠BOC+∠BOE+∠COF＝180°，∴∠P＝∠BOE+∠COF；（3）如圖3中，∵∠P+∠BOC＝180°，∠BOC+∠BOE+∠COF＝360°，∴∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20、（1）見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明△ABE≌△ADC即可求解；（2）延長(zhǎng)CP至B，使PB=PA，連接AB，證△APB為等邊三角形得AP=PB=AB，再證△△BAC≌△PAE得EP=BC，可得.【詳解】（1）∴即又，∴△ABE≌△ADC∴(2)如圖，延長(zhǎng)CP至B，使PB=PA，連接AB，∵∴∠APB=60，又PB=PA，∴△APB為等邊三角形，∴AP=PB=AB,∠BAP=60，∵是等邊三角形，∴AC=AE,∠EAC=60°，∴∠BAP=∠EAC，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，即：∠BAC=∠PAE，在△BAC和△PAE中，∴△BAC≌△PAE(SAS)，∴BC=PE，∵BC=BP+PC=AP+PC，∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知的等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法.21、（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由已知條件、直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可依次得出∠BAE=30°，∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE與AB，AE與AD的關(guān)系，進(jìn)而可得△ABE的面積=四邊形ABCD的面積，即得△CDF的面積與四邊形ABCD的面積的關(guān)系；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性質(zhì)得出EG與AB的關(guān)系，進(jìn)而可得△BCE的面積＝四邊形ABCD的面積，同理可得△ADF的面積與四邊形ABCD的面積的關(guān)系，問(wèn)題即得解決．【詳解】（1）證明：，，，，，≌（AAS），；（2）△ABE的面積＝△CDF的面積＝△BCE的面積＝△ADF的面積＝四邊形ABCD面積的．理由如下：∵AD=BC，，DB=BD，∴△ADB≌△CBD，∴四邊形ABCD的面積=2×△ABD的面積=AB×AD，∵，∴∠BAE=30°，∴∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面積＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝四邊形ABCD的面積；∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面積═四邊形ABCD的面積；作EG⊥BC于G，如圖所示：∵∠CBD＝∠ADB＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面積＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝四邊形ABCD的面積，同理：△ADF的面積＝矩形ABCD的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)；熟練掌握30°角的直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22、（1）；（2），理由詳見解析.【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)AAS證得≌，于是，進(jìn)一步即得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖②，先根據(jù)AAS證明≌，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：（1）.理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴∵，∴，∴，∴.∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌（AAS），∴.∴.故答案為：.（2）.理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).∵，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．23、見解析．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AB，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD是角平分線，最后利用角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AD垂直平分BC，∴AC=AB，即是等腰三角形，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)判定定理是解題的關(guān)鍵．24、（1）①見解析；②見解析；（2）見解析【分析】（1）①利用SAS即可證出△ABF≌△CAE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延長(zhǎng)線于N，利用AAS證出△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN，然后根據(jù)角平分線的判定定理即可證出結(jié)論；（2）在CB上截取一點(diǎn)G，使CF=FG，連接AG，利用SAS證出△EAC≌△GCA，可得CE=AG，∠AEC=∠CGA，然后利用ASA證出△AGF≌△PCF，可得AG=CP，從而證出結(jié)論．【詳解】解：（1）①△ABC為等邊三角形∴AB=CA，∠B=∠CAE=∠BAC=60°在△ABF和△CAE中∴△ABF≌△CAE∴②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延長(zhǎng)線于N∵△ABF≌△CAE∴∠BAF=∠ACE∴∠AOC=180°－∠ACE－∠OAC=180°－∠BAF－∠OAC=180°－∠BAC=120°∴∠MDN=360°－∠AOC－∠DMO－∠DNO=60°∵△ACD為等邊三