6.3球的表面積和體積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步6.3球的表面積和體積

情境引入

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球.因為球形，充滿了無限可能.

小至微觀粒子，大至宇宙星體......

同學(xué)們，你能列舉我們生活中的球嗎？2021年6月23日，國家重大科技基礎(chǔ)設(shè)施“地球模擬裝置”——寰，在北京懷柔科學(xué)城東區(qū)落成啟用，這是我國首個研制成功的地球系統(tǒng)數(shù)值模擬大科學(xué)裝置.

把地球搬進(jìn)實驗室？其核心軟件模擬大氣圈、水圈、冰凍圈、巖石圈、生物圈的演變規(guī)律，對地球的過去進(jìn)行反演、對現(xiàn)在進(jìn)行觀察、對未來進(jìn)行預(yù)測.在地球模擬實驗室的科普展廳，懸掛著直徑3米、清晰度達(dá)到5K的LED球形屏，裝置模擬實驗的部分結(jié)果會通過球體進(jìn)行可視化直觀展示.提出問題：展廳中這個直徑3米LED球形屏上風(fēng)起云涌，頗為壯觀.它究竟有多大，占據(jù)多大空間？表面積多少呢？探索新知——球的截面探究一球的截面類比1.一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的部分是線段——弦？用一個平面去截球，得到的截面是什么？圓面用一個平面去截球面，得到的截面是什么？圓什么情況下，得到的圓最大？2.直線過圓心時，得到的弦最長——直徑.探索新知——球的截面球的大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.一大小圓的定義球的小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.探索新知——球的截面探究一球的截面類比垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.1.圓心與弦中點的連線垂直于弦.球心與截面圓心的連線與圓面是怎樣的位置關(guān)系呢？1.球心與截面圓心的連線與圓面垂直.探索新知——球的截面球的大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.一大小圓的定義球的小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.二球的截面性質(zhì)：1.球心和截面圓心的連線垂直于該截面．探索新知——球的切線探究二球的切線類比1.直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切.2.過圓外一點可以引2條直線與圓相切，且切線長相等.1.球的切線怎樣定義？2.過球外一點P，可以引多少條直線與球相切？3.這些切線的長度相等嗎？所有切點組成什么圖形？探索新知——球的切線三球的切線當(dāng)直線與球有唯一交點時，稱直線與球相切，其中它們的交點稱為直線與球的切點.1.過球外一點的所有切線長都相等.四球的切線性質(zhì)2.這些切點的集合是一個圓.探索新知——球的體積和表面積探究三球的表面積和體積（1）球的表面積：能否采用展開的方法，求球體的表面積呢？（2）球的體積：給你一個半徑為R的實心鐵球，如何測量該球的體積呢？思考：當(dāng)球的半徑變化時，球的體積隨之改變，你是否每次都要這樣測量呢？不能，球體無法展開為一個平面圖形排水法HRh延伸閱讀——祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”

夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。課后探究：查閱資料，阿基米德是如何推算出球體體積的？如何推導(dǎo)求球的表面積計算公式？延伸閱讀——祖暅原理五球的表面積和體積計算公式探索新知——球的體積和表面積OR思考：計算球的表面積與體積，關(guān)鍵需要確定哪個量？例題講解——初步應(yīng)用例2如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，會溢出杯子嗎？（假設(shè)冰激凌融化前后體積不變）例題講解——初步應(yīng)用例3一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8

cm，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5

cm，求鋼球的半徑.8.5cm3cm8cm例題講解——初步應(yīng)用O’∟例題講解——鞏固提升RO’∟R例題講解——鞏固提升變式訓(xùn)練2如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為

.∟OO’A例題講解——鞏固提升過點O作OO’?該截面交于點O’，OA=R，故(R-2)2+42=R2,解得R=5cm.分析：設(shè)球半徑為R，正方體容器上底正方形所在平面截球所得截面為圓面,易知Rt△OO’A中，OO’=R-2，O’A=4，例5正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積．分析正方體內(nèi)接于球，則球和正方體中心重合，故正方體對角線與球的直徑相等.ABCDC1B1A1OD1例題講解——鞏固提升變式訓(xùn)練(1)若一個正方體內(nèi)接于表面積為4π的球,則正方體的表面積等于

.(2)若兩球的表面積之差為48π,它們的半徑之和為6,則兩球的體積之差的絕對值為

.（3）有三個球，一球切于正方體的各面，一球切于正方體的各側(cè)棱一球過正方體的各頂點，求這三個球的體積之比___________.8例題講解——鞏固提升數(shù)學(xué)思想概念課堂小結(jié)球的表面積和體積球的截面性質(zhì)、切線性質(zhì)球的表面積和體積計算公式的應(yīng)用了解祖暅原理及