2.5.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征;2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的圖示圓的定義圓是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于

的所有的點(diǎn)組成的集合,這個(gè)定點(diǎn)即圓心,而定長就是半徑

這些點(diǎn)構(gòu)成了圓的圓周圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

r>0圓心為C(a,b),半徑為r的圓的方程

,把它叫作圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

特別地,圓心在原點(diǎn)(0,0),半徑為r的圓的方程為

定長

(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2名師點(diǎn)睛1.圓心在原點(diǎn),半徑為r=1的圓稱為單位圓,其方程為x2+y2=1.2.同一個(gè)圓,由于建立的坐標(biāo)系不同,圓的方程也不同.3.幾種特殊形式的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程形式圓心在原點(diǎn)x2+y2=r2(r≠0)過原點(diǎn)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2(r≠0)條件方程形式圓心在x軸上且過原點(diǎn)(x-a)2+y2=a2(a≠0)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2+(y-b)2=b2(b≠0)與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)與兩坐標(biāo)軸都相切(x-a)2+(y-a)2=a2(|a|≠0)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圓.(

)(2)若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圓的半徑一定是a.(

)(3)圓x2+y2=r2上的所有點(diǎn)都在兩條平行線x=r,x=-r和兩條平行線y=-r,y=r圍成的正方形內(nèi).(

)××√2.確定圓的基本要素是什么?3.若M(x0,y0)在圓x2+y2=25上,則x0,y0的取值范圍分別是什么?提示確定圓的基本要素有兩個(gè),即圓心(位置)與半徑(大小).提示x0∈[-5,5],y0∈[-5,5].知識點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2點(diǎn)在圓上d=r此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)可以代入圓的方程(x0-a)2+(y0-b)2=r2位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓內(nèi)d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2知識點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)點(diǎn)(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1上.(

)(2)點(diǎn)(a,b)一定在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)內(nèi).(

)(3)點(diǎn)P(1,3)在以A(2,-1)為圓心,5為半徑的圓外.(

)2.點(diǎn)P(1,3)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不確定×√×B解析

∵12+32<24,故點(diǎn)在圓內(nèi).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

求圓心C在直線x-2y-3=0上,且過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析

解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑,再寫方程,也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解,還可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.解

(方法1)∵點(diǎn)C為圓心,且點(diǎn)C在直線x-2y-3=0上,∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).∵該圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn),∴|CA|=|CB|,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),直線AB的斜率kAB=,∴弦AB的垂直平分線的斜率為k=-2,∴弦AB的垂直平分線的方程為y+4=-2x,整理得2x+y+4=0.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),變式探究1將本例改為“過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)且以線段AB為直徑”,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

由于圓的直徑為線段AB,因此圓的圓心即為線段AB的中點(diǎn)(0,-4).變式探究2將本例改為“過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)且圓心C在x軸上”,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

(方法1)因?yàn)樵搱A過A(2,-3),B(-2,-5)兩點(diǎn),所以圓心一定在線段AB的中垂線上.由kAB=,則線段AB中垂線的斜率為k=-2.又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),因此線段AB的中垂線的方程為y+4=-2x.(方法2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=5.規(guī)律方法

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定圓心C(a,b)及半徑r,其求解方法:首先考慮幾何法,通過借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑(如方法1、方法2).一般地,在解決有關(guān)圓的問題時(shí),利用圓的幾何性質(zhì)可以簡化計(jì)算.其次是利用待定系數(shù)法,如方法3,建立關(guān)于a,b,r的方程組,進(jìn)而求得圓的方程,此法思路清晰,但是計(jì)算量較大.探究點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】

已知圓心為點(diǎn)C(-3,-4),且經(jīng)過原點(diǎn),求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圓的位置關(guān)系.分析

根據(jù)題意求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后判斷點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.規(guī)律方法

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用(1)位置關(guān)系的判斷①幾何法:判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系;②代數(shù)法:將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊,判斷與r2的大小關(guān)系.(2)位置關(guān)系的應(yīng)用代入點(diǎn)的坐標(biāo),利用不等式求參數(shù)的取值范圍.變式訓(xùn)練(1)點(diǎn)M(a,a+1)與圓C:(x-1)2+y2=1的關(guān)系是(

)A.點(diǎn)M在圓C外B.點(diǎn)M在圓C上C.點(diǎn)M在圓C內(nèi)D.不確定與a的取值有關(guān)A(2)若點(diǎn)P(-2,4)在圓(x+1)2+(y-2)2=m的外部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(0,5)解析

由于點(diǎn)P(-2,4)在圓的外部,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程(x+1)2+(y-2)2=m表示圓,所以m>0.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,5).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.2.方法歸納:利用圓的定義求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,幾何性質(zhì)法、待定系數(shù)法求圓的方程;幾何法、代數(shù)法判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.3.注意事項(xiàng):求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),依據(jù)題意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解題,可以化繁為簡,提高解題效率,而使用待定系數(shù)法則運(yùn)算較為復(fù)雜.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圓心是(a,b),半徑為r>0.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.與圓(x-1)2+y2=4同圓心且經(jīng)過點(diǎn)P(-2,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=25D解析

由圓(x-1)2+y2=4的方程可知圓心為(1,0).設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=r2,點(diǎn)P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r2=25,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=25.故選D.12345678910111213141516172.圓心在y軸上,半徑長為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1A解析

設(shè)圓心(0,b),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-b)2=1,則12+(2-b)2=1,解得b=2.所以圓心為(0,2),所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=1.故選A.12345678910111213141516173.圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=5A解析

圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的半徑為1,故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-1)2=1,故選A.12345678910111213141516174.圓C:(x+2)2+(y-4)2=2的圓心關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(

)A.(4,-2) B.(-2,4)C.(2,-4) D.(4,2)C解析

由題知,圓C:(x+2)2+(y-4)2=2的圓心為(-2,4),該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為(2,-4).故選C.12345678910111213141516175.(多選題)下列說法正確的是(

)AC12345678910111213141516176.(多選題)已知點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的值不可能是(

)AD解析

由已知條件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-1<a<1.故選AD.12345678910111213141516177.已知圓C的圓心在直線2x-y+3=0上,半徑為r,且與直線l:x-y+4=0相切于點(diǎn)P(-2,2),則圓C的圓心為

;半徑r=

.

(-1,1)12345678910111213141516178.已知圓C過O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)判斷P(3,2)和圓C的位置關(guān)系.解

(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)閳AC過O(0,0),A(1,1),B(4,2),故所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y+3)2=25.(2)因?yàn)?3-4)2+(2+3)2=26>25,所以點(diǎn)P(3,2)在圓C外.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練D9.[2024甘肅蘭州高二期末]已知點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的動點(diǎn),則AP的中點(diǎn)的軌跡方程是(

)A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1解析

設(shè)AP的中點(diǎn)B(x,y),則P(2x-3,2y),因?yàn)辄c(diǎn)P為圓x2+y2=1上的動點(diǎn),所以(2x-3)2+4y2=1,123456789101112131415161710.已知直線l平分圓x2+(y-3)2=4,且與直線x+y=0垂直,則直線l的方程是(

)A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0D解析

因?yàn)橹本€l平分圓x2+(y-3)2=4,且與直線x+y=0垂直,所以直線l過圓心(0,3),且斜率為1,所以直線l的方程是y-3=x,整理得x-y+3=0.故選D.123456789101112131415161711.(多選題)關(guān)于圓(x-2)2+y2=5的說法,正確的是(

)A.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱B.關(guān)于直線y=0對稱C.關(guān)于直線x-y+2=0對稱D.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱ABD解析

由題可知,該圓圓心的坐標(biāo)為(2,0).圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形,而點(diǎn)(2,0)是圓心,所以選項(xiàng)A正確;圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形,直線必過圓心,直線x-y+2=0不過圓心,直線x+3y-2=0過圓心,所以選項(xiàng)B,D正確,選項(xiàng)C不正確;故選ABD.123456789101112131415161712.(多選題)圓上的點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)仍在圓上,且圓的半徑為,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(

)A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5AD1234567891011121314151617解析

∵圓上的點(diǎn)A(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上,∴圓心在直線x+y=0上.設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y+a)2=5,則(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.則該圓的圓心為(1,-1)或(0,0),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故選AD.123456789101112131415161713.(多選題)設(shè)有一組圓Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列說法正確的是(

)A.不論k如何變化,圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)C.經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為4πABD

1234567891011121314151617解析

圓心坐標(biāo)為(k,k),在直線y=x上,故A正確;令(3-k)2+(0-k)2=4,化簡得2k2-6k+5=0.∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0無實(shí)數(shù)根,故B正確;由(2-k)2+(2-k)2=4,化簡得k2-4k+2=0.∵Δ=16-8=8>0,則方程k2-4k+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根,∴經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有兩個(gè),故C錯(cuò)誤;由圓的半徑為2,得圓的面積為4π,故D正確.故選ABD.123456789101112131415161714.圓心在第一象限,半徑為1,且同時(shí)與x,y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(x