選擇性必修第二冊 第五章導數(shù)-第05講 函數(shù)的極值（解析版）

第05講函數(shù)的極值

一、知識構建

(一)探究新知

問題1如果函數(shù)在某些點的導數(shù)為0,那么在這些點處函數(shù)有什么性質呢？

以高臺跳水運動問題為例：

問題2對于一般的函數(shù)y=/(x),是否具有同樣的性質？

追問1：如圖，函數(shù)在x=a,A,c,d,e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值

有什么關系？

追問2：y=/U)在這些點處的導數(shù)值是多少？

追問3：在這些點附近，函數(shù))，=Ax)導數(shù)的正負有什么規(guī)律？

知識點1函數(shù)極值的概念

1.極小值點與極小值

如圖，函數(shù)y=/(x)在點x=a的函數(shù)值人〃)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，/3)

=0；而且在點x=a附近的左側f'(x)<0,右側/?'(x)>0,則把點“叫做函數(shù)y=/(x)的極

小值點，大幻叫做函數(shù)y=/(x)的極小值.

2.極大值點與極大值

如圖，函數(shù)y=/(x)在點x=%的函數(shù)值人與比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，/S)

=0；而且在點x=b的左側(力>0,右側/'(x)〈0,則把點b叫做函數(shù)v=*x)的極大值

點，0叫做函數(shù)y=Xx)的極大值.

極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

知識點2求可導函數(shù)_/(x)的極值方法與步驟

1.求函數(shù))，=/(x)的極值的方法

解方程(x)=0,當，(xo)=O時：

(1)如果在xo附近的左側，(x)>0,右側，(x)<0,那么/U>)是極大值;

(2)如果在xo附近的左側/(x)<0，右側，(x)>0,那么而,)是極小直

2.求可導函數(shù)?r)的極值的步驟

⑴確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)，(x).

(2)求/U)的拐點，即求方程尸(力=0的根.

(3)利用/(x)與?r)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值.

關鍵能力分層練

(一)典例剖析

探究一求函數(shù)的極值

例1求函數(shù)式q=*—4x+4的極值.

解由題意可知/'(B二%2—4.

解方程/一4=0,得xi=-2,X2—2.

由，(x)>0得xV-2或x>2；

由/(x)V0得一2cx<2.

當x變化時，f(x),式x)的變化情況如下表:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f(X)+0—0+

28

於)——

由表可知：當x=-2時，式x)有極大值負-2)=了.

4

當x=2時，/(x)有極小值人2)=一

跟蹤訓練1：求下列函數(shù)的極值：

(1)/(x)=6x2+x+2(2),/(X)=X3-12X；

(3)/(x)=6-12x+x3(4)=48X-Y

47

【答案】(1)極小值k，無極大值；(2)極大值16,極小值-16；(3)極大值22,極小值

-10；(4)極小值-128,極大值128.

【分析】對各式進行求導，根據導數(shù)的符號確定單調區(qū)間及極值點，再根據/*)的解析式求

極值即可.

【詳解】⑴/(x)=12x+l,則r(-\)=0,

0x<——ff't>f'(x)<0,f(x)單調遞減；x>-正時，/'(x)>0,/(x)單調遞增；

回“X)有極小值/(一五)=摟，無極大值.

(2)f'(x)=3x2-n,則尸(x)=0有x=±2,

回x<-2時，f'M>0,Ax)單調遞增；—2<x<2時，f'M<0,〃x)單調遞減；x>2時，

尸(幻>0,f(x)單調遞增；

0“X)極大值/(-2)=16,極小值/(2)=-16.

(3)f'M=3x2-l2,則/(幻=0有x=±2,

Ex<-2Bt,/r(x)>0,/(x)單調遞增;—2<x<2時，［(x)<0,/")單調遞減；x>2時，

r(x)>o,“X)單調遞增；

回“X)極大值/(—2)=22,極小值"2)=—10.

(4).f(x)=48-3x2,則尸(x)=0有尤=±4,

回x<—4時,/(幻<0,f(x)單調遞減；T<x<4時，/V)>0,f(x)單調遞增；x>4時，

八幻<0,〃x)單調遞減；

0/(X)極小值/(-4)=-128,極大值/(4)=128.

探究二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的取值范圍(或值)

例2已知函數(shù)/(?MGlnx—ax2—8x+b(“，b為常數(shù))，且x=3為_/(x)的-一個極值點.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(3)若y=/(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個交點，求實數(shù)b的取值范圍.

八

解(1)V/(x)=--2ax-S,：.f'(3)=2—6a—8=0,解得”=一1.

(2)函數(shù)./U)的定義域為(0,+8).

由(1)知ZU)=61nx+x2—8x+b.

,6.2(JT—4x+3)

：.f(x)=-+2x-8=-------L.

由/'(x)>0可得x>3或0<x<l,

由，(x)<0可得l<x<3(x<0舍去).

，函數(shù)人x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(3,+8),單調遞減區(qū)間為(1,3).

(3)由(2)可知函數(shù)負x)在(0,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,十8)上單調遞增.

且當x=1和x=3時，，(x)=0.

二丸力的極大值為_/U)=61n1+1—8+6=。-7,

4c)的極小值為犬3)=61n3+9—24+6=61n3+h~\5.

?.?當x充分接近0時，犬x)<0,當x充分大時，/U)>0,

伏1)R—7>0,

???要使犬x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，只需[/(3)=6+61n3-15<0.

：.h的取值范圍是7<*<15-61n3.

跟蹤訓練2：已知x=l是函數(shù)〃%)=33+.+1)*2_(42+〃_3卜的極值點，則：

⑴求實數(shù)”的值.

(2)討論方程f(x)=加(小eR)的解的個數(shù)

【答案】⑴4=3

⑵答案見解析

【分析】(1)求導，由題意可得了'(1)=0,即可得解，要注意檢驗；

(2)利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間及極值，由此作出函數(shù)/(X)的大致圖象，結合函數(shù)圖象

即可得解.

【詳解】(1)f\x)=x2+2(a+l)x-(a2+a-3),

因為x=l是函數(shù)〃x)=gx3+(“+1)》2-卜』+a-3)x的極值點，

所以尸(1)=0,即1+2(“+1)—("+“-3)=0,

解得。=3或-2,

當”=3時，/\x)=x2+8x-9=(x+9)(x-l),

令用x)>0,則x>l或x<—9,令/(耳<0,則

所以函數(shù)/(x)在(L-9)上遞增，在(-9,1)上遞增，

所以f(x)的極小值點為1,極大值點為-9,符合題意，

當a=-2時，/,(X)=X2-2X+1=(X-1)->0,

所以“X)在R上遞增，所以“X)無極值點，

綜上所述。=3；

(2)由(1)可得/(乂)=卜+4*2-9》，

函數(shù)f(x)在(1,y),(f,-9)上遞增，在(-9,1)上遞增,

14

則/'(X)極大值=F(一9)=162J(x)極小值=/(l)=-y

又當Xf-00時，當Xfk時，

作出函數(shù)/(力的大致圖象，如圖所示，

14

當機＞162或相＜一~I時，方程f(x)=m有1個解，

當加二162或m=--1時，方程，(幻=機有2個解,

(二)目標自測

單選題

1.如圖是函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=/'(x)的圖象，則函數(shù)y=/(x)的極小值點的個數(shù)為()

【答案】A

【分析】根據導函數(shù)y=/'(x)的圖象判斷出函數(shù)y=/")的單調性即可求解.

【詳解】當導函數(shù)的圖象連續(xù)，且其符號從負值變?yōu)檎档臅r候，

其對應的原函數(shù)有極小值，

觀察所給導函數(shù)的圖象可知，導函數(shù)的符號為先正，再負，后正，

則原函數(shù)先增，再減，后增，則極小值點的個數(shù)為：1.

故選：A.

2.若函數(shù)y=〃x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，則()

A.-3是函數(shù)y=〃x)的極小值點B.-1是函數(shù)y=Ax)的極小值點

C.-2是函數(shù)y=〃x)的極大值點D.1是函數(shù)y=〃x)的極大值點

【答案】A

【分析】根據給定的函數(shù)圖象，確定導數(shù)為正或負的x取值區(qū)間，再逐項判斷作答.

【詳解】觀察導函數(shù)y=/'(x)的圖象知，當x<—3時，r(x)<0,當x>-3時，f'(x)>0,

當且僅當4-1時取等號，

因此函數(shù)y=/(X)在(-00,-3)上單調遞減，在(-3,+00)上單調遞增，

于是得-3是函數(shù)》=/(x)的唯一極值點，且是極小值點，A正確，B,C,D都不正確.

故選：A

3.若f(x)在區(qū)間(a,b)內有定義，且切3(。力)，貝『"'(5)=0"是"我是函數(shù)/*)的極值點”的

()

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分條件也非必要條件

【答案】D

【分析】根據極值的概念，導數(shù)的幾何意義即可求解.

(詳解】由/U)=0不一定能得到X0是函數(shù)f(x)的極值點，

反例〃幻=/，八0)=0,但x=0并不是/(X)的極值點,

反過來：xo是函數(shù)/W的極值點也不一定能得到/'(%)=0,

反例f(x)=|x|,x=0為/(x)的極小值點，但/”(%)不存在,

團"((%)=0"是是函數(shù)/(x)的極值點"的既非充分條件也非必要條件,

故選：D.

4.如圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=/'(x)的圖象，則下列結論正確的是(

A.在區(qū)間(—2,1)內/(X)是增函數(shù)

B.在區(qū)間(1,3)內“X)是減函數(shù)

C.在區(qū)間(4,5)內f(x)是增函數(shù)

D.在x=2時，/(x)取極小值

【答案】C

【分析】根據圖象確定,'(X)的正負，即可得函數(shù)“X)的單調性.

a

【詳解】由圖象可知：當x<-；，2c<4時，r(x)<0,此時/(x)單調遞減，

當-：<x<2和x>4時，/'(x)>0,此時f(x)單調遞增，

對于A,在12,一2單調遞減，單調遞增，故A錯誤，

對于B,“X)在(1,2)單調遞增，(2,3)單調遞減，故B錯誤，

對于C,〃x)在(4,5)單調遞增，故C正確，

對于D,x=2時，f(x)取極大值，故D錯誤，

故選：C

5.函數(shù)卜=丁-3尤2-9x(-2<x<2)有()

A.極大值為5,無極小值B.極小值為-27,無極大值

C.極大值為5,極小值為-27D.極大值為5,極小值為-11

【答案】A

【分析】利用導數(shù)可求出結果.

【詳解】y=3x2-6x-9=3(x-3)(x+l),

由y'>0,得由y'<0,得-l<x<2,

所以函數(shù)y=丁—3犬—9x(—2<x<2)在(-2,T)上單調遞增，在㈠⑵上單調遞減,

所以丫=%3-3/-9*(-2〈》<2)在廣-1時，取得極大值5,無極小值.

故選：A

6.函數(shù)〃苫)=丁+加在x=l處有極值為10,那么a，b的值為()

A.4,-11B.一3,3

C.4,一11或一3,3D.3,3

【答案】A

【分析】由題意可知I由此可求出并驗證即可求解.

【詳解】f\x)=3jc+2ax+b,

［f(l)=O\3+2a+b=0

由題意可知，X?押?,2N

,/(1)=10\\+a+b+a=10

b--3-2a

則，解得

a2-?-12=0

［。二一3

當“3時，r(x)=3(x-1)&0，

IU—J

??.在X=1處不存在極值，不符合題意;

\a=4

②當萬=_1］時，/,(X)=3X2+8X-11=(3X+I1)(X-1),

f(x)<0,xe(l,w),/^x)>0,符合題意.

???｛：：-

故選：A.

填空題

7.函數(shù)/(x)=lnx-or在*=1處有極值，則常數(shù)“=.

【答案】1

【分析】根據極值定義可得/⑴=0,求導并將x=l代入計算即可求得。=1

【詳解】由/(x)=lnx—依可得尸(x)=5-a,

又/(X)在x=I處有極值,所以可得了")=0,

即/⑴=；-。=0,所以4=1.經檢驗滿足題意，

故答案為：1

8.函數(shù)y=d-6x+a的極大值是

【答案】4四+。##。+4正

【分析】利用導數(shù)的性質，結合極大值的定義進行求解即可.

【詳解】由y=x3—6x+a=>yf=3x2—6=3(x+\/2)(x-及)，

當X>五時，函數(shù)y=x3-6x+a單調遞增，

當-夜vx<0時，y'<。，函數(shù)y=x'-6x+a單調遞減，

當x<-0時，函數(shù)y=x3-6x+a單調遞增，

所以當x=-0時，函數(shù)y=V-6x+a有極大值，

極大值為：(-V2)3-6x(-V2)+?=4>/2+a

故答案為：40+a

9.若函數(shù)/(x)=V-6x+加恰有2個不同的零點，則實數(shù)機的值是.

【答案】4丘或-4丘

【分析】由題可得工(x)=d-6x與人(力=-加，恰有2個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質

即得.

【詳解】因為/(x)=V-6x+加恰有2個不同零點，

故函數(shù)工(犬)=/一6犬與人(犬)=-加，恰有2個交點，

對于工(x)=、-6x,(X)=3X2-6,由/：(x)>0,得x>應或x<—V2,

由<'(x)<0,得一x/5<x<夜,

所以當x變化時t(x),/(x)變化如下：

X(-oo,-V2)(3甸6(叵+8)

ZV)+0一0+

極大值極小值

因為工(X)與力(X)恰有兩個交點，又/(四)=2&-6&=-4虛，/(-V2)=4>/2,

故_m=/(垃)，或_根=工(->/^),

所以m=4^2或m=-4>/2.

故答案為：4夜或-4忘.

解答題

10.設函數(shù)/(X)=T3+12X+1,(作答需列表格)

⑴求函數(shù)的極值；

(2)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.

【答案】⑴極大值17,極小值T5

(2)(-2,2)

【分析】(1)求導，利用導數(shù)的正負即可確定單調性，進而可得極值,

(2)利用導數(shù)的正負即可求解單調性.

【詳解】(1)r(x)=-3x2+12,令/'(x)=0,解得x=±2,

所以xJ'(x)J(x)的變化情況如下表：

X(—,-2)-2(-2,2)2(2,+oo)

/'(x)—04-0—

極小單調遞極大單調遞

單調遞減

值增，fl'i減

故當x=-2時，/(x)取極小值，且極小值為〃-2)=-15,

當x=2時，/(x)取極大值，且極大值為"2)=17

(2)由(1)中表格可知，“X)的單調遞增區(qū)間為(-2,2),單調遞減區(qū)間為(口,-2),(2,+8)

11.已知函數(shù)/(x)=x3+3〃iN+nr在犬=一1時有極值0

⑴求機，〃的值；

⑵求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間與極值.

2

【答案】⑴m==l

⑵答案見解析

13“一〃=1

【分析】(1)由導數(shù)與極值的關系得。,八，解出即可：

[3-O/71+A2=。

(2)由(1)得/'(x)=3/+4x+l,分別令r(x)<0和r(x)>0,解出即可得到其單調區(qū)

間.

【詳解】(1)由題可得/'(x)=3/+6〃a+〃，

0°可得，產”12

解得〃?==經檢驗，符合題意,

1)=0[3~6/n+72=O

2

所以"

(2)由(1)知，/(%)=^+2x2+x,/f(x)=3x2+4x+l,

當r（x）<0時，解得_1<x<-g；當/'（x）>0時，解得X<—1或列表如下:

1

X(F-1)-1（一嚴）

3

f'W+0—0+

/(x)增極大值減極小值增

所以函數(shù)“X）的單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為和（-g,+8）,

極大值為〃T）=0,極小值為

12.函數(shù)/（x）=xlnx-or+1在點J⑴）處的切線斜率為-2.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）求Ax）的單調區(qū)間和極值.

【答案】（1）3；（2）增區(qū)間為（e?,一）,減區(qū)間為（0,/）.極小值Je2,無極大值.

【分析】（1）根據導數(shù)的幾何意義，導數(shù)值為切線的斜率求出實數(shù)“的值：

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值.

【詳解】解：（1）函數(shù).f（x）=xlnx-ar+l的導數(shù)為f（x）=lnx+l-a,

在點41J⑴）處的切線斜率為左=1一。=2,

⑴=—2,即1—a=—2,;.a=3；

（2）由（1）得，/'（x）=lnx-2,xG（0,+oo）,

令r（x）>0,得X>e2,令r（x）<0,得0<x</,

即fM的增區(qū)間為卜2,+8）,減區(qū)間為（0,/）.

在x=e2處取得極小值1-/,無極大值.

【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值問題，屬于容易題.

（三）素養(yǎng)提升

1.已知函數(shù)/（x）=，-3）e*,則的極小值點為（）

A.-3B.1C.Ge"D.—2e

【答案】B

【分析】“X）的定義域為R,求導得1（x）=（x+3）（x-l）e*,分析析（X）的符號,“X）的單

調性，極值點，即可得出答案.

【詳解】解：“X)的定義域為R，

f'(x}=2xex+(x2-3)e*=(x2+2x-3)ex=(x+3)(%-l)ex,

所以在(f-3)上/'(x)>0,f(x)單調遞增,

在(-3,1)上/'(x)<0,單調遞減，

在(1，+8)上r(x)>0,f(x)單調遞增，

所以x=l是〃x)的極小值點，

故選：B.

2.若函數(shù)/(力=公3-法在彳=1處有極值為2,則a、b的值分別為()

[a=\[a=\\a=-\\a=-\

A。%=-3[=3C-[=3D-1=-3

【答案】D

【分析】由已知可得出可求得。、方的值，再結合極值點的定義檢驗即可.

1*)=2

【詳解】因為/(力=0-加,則/(x)=3妝2_6

(尸⑴=3"b=0a=-1

因為函數(shù)f(x)=o?-bx在x=l處有極值為2,則，'v'解得

f(\')=a-b=2,腫伶b=-3f

此時，/'(工)=一312+3,由/4x)>?？傻靡?vx<l,由/'(x)<0可得不<一1或x>l,

所以，函數(shù)/(X)在(-1,1)上單調遞增，在(1,內)上單調遞減，

函數(shù)F(x)在X=1處取得極大值，合乎題意.

故選：D.

多選題

3.如圖是導函數(shù)y=/'(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞減B.函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(-8,0)上單調遞減

c.函數(shù)y=/(x)在X=1處取得極大值D.函數(shù)y=/(x)在x=-2處取得極小值

【答案】ACD

【分析】根據導函數(shù)圖象，結合函數(shù)的單調性與極值與導數(shù)的關系逐項判斷即可.

【詳解】對于A.因