2024-2025學(xué)年吉林省長春市朝陽區(qū)高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長春市朝陽區(qū)高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?jiān)囶}卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1若集合，，則（）A. B. C. D.2.上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為（）．A. B. C. D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.80 B. C.40 D.5.已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱的是（）A. B.C. D.7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會(huì)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；乙說：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說：“我的獎(jiǎng)沒有戊好但是比丁的強(qiáng)”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是（）A.12 B.13 C.24 D.268.已知實(shí)數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)十位二進(jìn)制數(shù)（例如若，則），已知出現(xiàn)“0”的概率為，出現(xiàn)“1”的概率為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)（）A.X服從二項(xiàng)分布 B.C. D.10.暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.已知，其中，附：0.10.050.010.00500012.7063.84166357.87910.828在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)11.已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若函數(shù)也有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列等式或不等式一定成立的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個(gè)答案是正確的概率為______.（誠信考試，誠實(shí)做人，拒絕抄襲，從我做起）13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_____________.14.在一個(gè)的“乘法幻方”中，每個(gè)空格中都填上一個(gè)正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積均相等.則______.541四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．16.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6.張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領(lǐng)先，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)每局比賽中樊振東獲勝的概率為23，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，（ⅰ）假設(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（ⅱ）最后樊振東以拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報(bào)道樊振東從到實(shí)現(xiàn)了“驚天逆轉(zhuǎn)”，同學(xué)們也認(rèn)同這個(gè)說法么？請結(jié)合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面;（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.18.已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．19.已知雙曲線兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)A2,B2（在的上方），再過點(diǎn)A2,B2分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn).（i）證明：共線；（ii）判斷是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理由.2024-2025學(xué)年吉林省長春市朝陽區(qū)高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?jiān)囶}卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求得集合，可求得.【詳解】依題得，則．故選：C.2.上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為（）．A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，再根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷即可.詳解】由散點(diǎn)圖可知，圖一兩個(gè)變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強(qiáng)，故，圖二、圖三兩個(gè)變量都成負(fù)相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故，，，故，所以.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)分充分性、必要性兩方面進(jìn)行說明即可求解.【詳解】若，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，滿足，但，不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.80 B. C.40 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出其通項(xiàng)即可求特定項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：B5.已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限【正確答案】D【分析】由函數(shù)過點(diǎn)，分類可解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)直線對稱的性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，該曲線關(guān)于x=1對稱的曲線為，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，該點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此有，代入中，得，故選：C7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會(huì)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；乙說：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說：“我的獎(jiǎng)沒有戊好但是比丁的強(qiáng)”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是（）A.12 B.13 C.24 D.26【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，按甲是否是特等獎(jiǎng)分類，再結(jié)合丙的情況列式計(jì)算即可.【詳解】甲是特等獎(jiǎng)，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，所以有種；甲不是特等獎(jiǎng)，則甲有3種情況，乙有3種情況，而丙、丁、戊有1種情況，所以有種；所以5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是.故選：B.8.已知實(shí)數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式【詳解】因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樗裕?，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)十位二進(jìn)制數(shù)（例如若，則），已知出現(xiàn)“0”的概率為，出現(xiàn)“1”的概率為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)（）A.X服從二項(xiàng)分布 B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的定義可判斷A的正誤，利用二項(xiàng)分布可判斷B的正誤，利用公式計(jì)算出的期望和方差后可判斷CD的正誤.【詳解】由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故X中1出現(xiàn)次數(shù)的可能取值有，則可能取值情況與之相同，由二項(xiàng)分布的定義可得：，故A正確.故，故B錯(cuò)誤；所以，，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.已知，其中，附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)【正確答案】BD【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息解決ABC，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來解決D選項(xiàng)．【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，由題得，解得，即在被調(diào)查者中，男?女生人數(shù)為80，100，可得到如下列聯(lián)表，性別鍛煉情況合計(jì)經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男483280女4060100合計(jì)8892180對于A：由表可知，A顯然錯(cuò)誤，對于B：男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B正確；對于C：在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為C錯(cuò)誤；對于D：零假設(shè)：假設(shè)假設(shè)是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān)，則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.01，D正確.故選：BD．11.已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若函數(shù)也有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列等式或不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對于A，由題意可得有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，從而可進(jìn)行判斷，對于B，根據(jù)圖象分析判斷，對于CD，由零點(diǎn)的定義結(jié)合方程化簡變形進(jìn)行判斷.【詳解】，因?yàn)樵瘮?shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，即，則，即，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)槿魏瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，所以，同理，所以，故C正確，D錯(cuò)誤；由的圖象與直線的交點(diǎn)可知，B正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個(gè)答案是正確的概率為______.（誠信考試，誠實(shí)做人，拒絕抄襲，從我做起）【正確答案】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，設(shè)事件表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，這個(gè)答案是正確的概率為，故13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_____________.【正確答案】【分析】利用“1”的靈活運(yùn)用，結(jié)合基本不等式即得.【詳解】因?yàn)椋瑒t因?yàn)閤>0，，所以，則原式，當(dāng)即時(shí)，取等號.所以的最小值為.故答案為.14.在一個(gè)的“乘法幻方”中，每個(gè)空格中都填上一個(gè)正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積均相等.則______.541【正確答案】10【分析】根據(jù)題中的條件設(shè)出每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積，列出等式求解即可．【詳解】在一個(gè)乘法幻方中，每一行數(shù)之積、每一列數(shù)之積、對角線上的數(shù)之積都相等，設(shè)積為，則乘法幻方可表示為如圖所示：54120故對角線，解得：，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.故10.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用與間的關(guān)系，得到，再構(gòu)造成，即可證明結(jié)果.（2）利用（1）中結(jié)果得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由及，得，∴，∴．又，由①－②，得，∴．∵，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，∴，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．16.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6.張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領(lǐng)先，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為23，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，（?。┘僭O(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（ⅱ）最后樊振東以拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報(bào)道樊振東從到實(shí)現(xiàn)了“驚天逆轉(zhuǎn)”，同學(xué)們也認(rèn)同這個(gè)說法么？請結(jié)合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.【正確答案】（1）（2）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.（ii）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算即可.（2）（i）求出的所有可能值及各個(gè)值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即可；（ii）求出張本智和勝的概率、樊振東以贏得比賽的概率即可得解.小問1詳解】在比分為后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以落敗的情況分三種：第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為，第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為，第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為，所以所求事件的概率為：．【小問2詳解】（i）隨機(jī)變量的可能取值為，,,，所以的分布列為2345數(shù)學(xué)期望為.（ii）由（i）得，張本智和勝的概率為，樊正東勝的概率為，且張本智和勝的概率大于樊正東勝的概率，又因?yàn)樽詈蠓龞|以拿下本場比賽，且獲勝的概率為，所以可以這么說樊正東從到實(shí)現(xiàn)“驚天逆轉(zhuǎn)”.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面;（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，由題意得，，由線面垂直的判定定理可得平面，由題意可得四邊形為平行四邊形，可得，繼而即可證明.（2）取的中點(diǎn)為，連接，由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與平面所成角的正弦值為，計(jì)算可得，再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，，平面，又平面，，又，平面，平面，分別為線段的中點(diǎn)，，且，又，且，，且，故四邊形為平行四邊形，，平面.【小問2詳解】在菱形中，，和都是正三角形，取的中點(diǎn)為，連接，，又平面，平面，，即兩兩互相垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，已知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，，，，設(shè)平面的法向量為，取，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的余弦值為.18.已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；（2）設(shè)切點(diǎn)分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉(zhuǎn)化為方程兩個(gè)不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值的表達(dá)式，分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.【小問1詳解】由，得，令f'x<0得，則在上單調(diào)遞減，令f'x>0得，則在上單調(diào)遞增，則的極小值為;【小問2詳解】，設(shè)切點(diǎn)分別為，則在處的切線方程為，又切點(diǎn)過原點(diǎn)，所以，即，同理，所以為方程兩個(gè)不同的根，設(shè)，則，若，則在0,+∞單調(diào)遞減，gx=0若